算数さんすう検定けんてい6級きゅう

円えんの面積めんせき — 公式こうしきと求もとめ方かた・おうぎ形がた

最終さいしゅう確認かくにん日び: 2026年ねん6月がつ17日にち

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、曲線きょくせんで囲かこまれた 円えんの面積めんせき の求もとめ方かたを学まなびます。 5年生ねんせいまでは直線ちょくせんで囲かこまれた図形ずけい (三角形さんかくけい・四角形しかくけい) の面積めんせきを求もとめてきましたが、いよいよ円えんに挑戦ちょうせんします。円周率えんしゅうりつは 3.14 を使つかいます。

円えんの面積めんせきの公式こうしき (半径はんけい × 半径はんけい × 3.14)
直径ちょっけいが与あたえられたときの求もとめ方かた
おうぎ形おうぎがたの面積めんせき
組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせき

ポイント: 円えんの面積めんせきは 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 です。円周えんしゅう (まわりの長ながさ) を求もとめる「直径ちょっけい × 3.14」とまちがえやすいので、はっきり区別くべつしましょう。面積めんせきで使つかうのは 半径はんけい です。

1. 円えんの面積めんせきの公式こうしき

円えんを細こまかいおうぎ形がたに切きって、上下じょうげこうごに並ならべかえると、だんだん長方形ちょうほうけいに近ちかづきます。その長方形ちょうほうけいの「たて」が半径はんけい、「よこ」が円周えんしゅうの半分はんぶん (半径はんけい × 3.14) になるので、円えんの面積めんせきは次つぎのようになります。

$円の面積 = 半径 \times 半径 \times 3.14$

例題れいだい: 半径はんけい $5$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

$5 \times 5 \times 3.14 = 25 \times 3.14 = 78.5 ({cm}^{2})$

検算けんざん: $25 \times 3.14$ は、 $25 \times 3 = 75$ と $25 \times 0.14 = 3.5$ をたして $78.5$ 。正ただしい。

例題れいだい: 半径はんけい $10$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

$10 \times 10 \times 3.14 = 100 \times 3.14 = 314 ({cm}^{2})$

検算けんざん: $100 \times 3.14 = 314$ 。正ただしい。

大事だいじ: 公式こうしきの「半径はんけい × 半径はんけい」は、 同おなじ半径はんけいを $2$ 回かける ことです。 $5 \times 5$ 、 $10 \times 10$ のように。半径はんけい × $2$ ( $5 \times 2$ など) としないように気きをつけましょう。

2. 直径ちょっけいが与あたえられたとき

直径ちょっけいが与あたえられたときは、まず 半分はんぶんにして半径はんけいを求もとめて から公式こうしきを使つかいます。

例題れいだい: 直径ちょっけい $14$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

半径はんけいは $14 \div 2 = 7$ cm。

$7 \times 7 \times 3.14 = 49 \times 3.14 = 153.86 ({cm}^{2})$

検算けんざん: $49 \times 3.14$ は $49 \times 314 = 15386$ の小数点しょうすうてんを $2$ けたずらして $153.86$ 。正ただしい。

注意ちゅうい: 直径ちょっけいをそのまま公式こうしきに入いれてしまうミスがとても多おおいです。直径ちょっけい $14$ cm を $14 \times 14 \times 3.14$ としてはいけません。これは半径はんけい $14$ cm の円えんの面積めんせきになってしまいます。

3. おうぎ形がたの面積めんせき

円えんを $2$ 本の半径はんけいで切きり取とった形かたちを おうぎ形おうぎがた といい、 $2$ 本の半径はんけいがつくる角かくを 中心角ちゅうしんかく といいます。おうぎ形がたは円えんの一部いちぶなので、円えんの面積めんせきに「中心ちゅうしん角かくが $360 °$ のうちどれだけか」をかけて求もとめます。

$おうぎ形の面積 = 円の面積 \times \frac{中心角}{360}$

例題れいだい: 半径はんけい $6$ cm、中心角ちゅうしんかく $90 °$ のおうぎ形がたの面積めんせきを求もとめましょう。

まず円えんの面積めんせきを求もとめます。 $6 \times 6 \times 3.14 = 113.04$ cm²。中心ちゅうしん角かくは $90 \div 360 = \frac{1}{4}$ なので、

$113.04 \times \frac{1}{4} = 28.26 ({cm}^{2})$

検算けんざん: $113.04 \div 4 = 28.26$ 。半径はんけい $6$ の円えんを $4$ 等分とうぶんした $1$ つ分ぶんだから、円えんの面積めんせきの $\frac{1}{4}$ 。正ただしい。

ポイント: 中心ちゅうしん角かくが $180 °$ なら半円はんえん ( $\frac{1}{2}$ )、 $90 °$ なら $\frac{1}{4}$ 、 $60 °$ なら $\frac{1}{6}$ とすぐ分数ぶんすうで思おもい出だせるようにしておくと速はやいです。

4. 組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせき

円えんの公式こうしきは、ほかの図形ずけいと組み合わせくみあわせて使つかうことがよくあります。「たし算さんで求もとまる形かたちか、ひき算さんで求もとまる形かたちか」をまず決きめましょう。

例題れいだい: 1辺 $10$ cm の正方形せいほうけいの中なかに、半径はんけい $5$ cm の円えん (正方形せいほうけいにぴったり入はいる円えん) をかいたとき、円えんのまわりの色いろのついた部分ぶぶん (正方形せいほうけいから円えんをのぞいた部分ぶぶん) の面積めんせきを求もとめましょう。

正方形せいほうけいの面積めんせき: $10 \times 10 = 100$ cm²
円えんの面積めんせき: $5 \times 5 \times 3.14 = 78.5$ cm²

色いろのついた部分ぶぶんは、正方形せいほうけいから円えんをのぞいた残のこりなので、

$100 - 78.5 = 21.5 ({cm}^{2})$

検算けんざん: 正方形せいほうけい $100$ から円 $78.5$ を引ひくと $21.5$ 。正ただしい。

ポイント: 直径ちょっけい $10$ cm の円えんが正方形せいほうけいにぴったり入はいるとき、円えんの半径はんけいは正方形せいほうけいの $1$ 辺へんの半分はんぶん ( $5$ cm) です。ここで半径はんけいをまちがえないように。

どう問とわれるか

「半径はんけい $7$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう」のような 基本きほんの面積めんせき計算けいさん が定番ていばんです。円周えんしゅう率りつは $3.14$ 。
「直径ちょっけい $12$ cm の円えんの面積めんせき」のように、直径ちょっけいから半径はんけいを求もとめさせる問題もんだいもよく出でます。
「半径はんけい $6$ cm、中心ちゅうしん角かく $60 °$ のおうぎ形おうぎがたの面積めんせき」や、円えんと四角形しかくけいを組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせきも出でます。

よくまちがえるところ

円えんの問題もんだいでは、公式こうしきの取とりちがえと、半径はんけい・直径ちょっけいの取とりちがえがほとんどです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
円周えんしゅうの公式こうしきで面積めんせきを求もとめる	半径はんけい 5 cm の円えんの面積めんせきを 10 × 3.14 = 31.4 とする	面積めんせきは半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 = 78.5
直径ちょっけいをそのまま公式こうしきに入いれる	直径ちょっけい 14 cm の円えんの面積めんせきを 14 × 14 × 3.14 とする	半分はんぶんにして半径はんけい 7 cm。 7 × 7 × 3.14
半径はんけい × 半径はんけいを半径はんけい × 2 とする	5 × 5 のかわりに 5 × 2 = 10 とする	同おなじ半径はんけいを 2 回かいかける
おうぎ形がたで中心ちゅうしん角かくの割合わりあいをかけ忘わすれる	半径はんけい 6 cm・中心ちゅうしん角かく 90° を 113.04 のままにする	円えんの面積めんせき × 中心ちゅうしん角かく/360 = 28.26

いちばん多おおいのは 円周えんしゅうと面積めんせきの取とりちがえ です。円周えんしゅう (まわりの長ながさ) は直径ちょっけい × 3.14 で、答えこたえの単位たんいは cm。面積めんせき (広ひろさ) は半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 で、答えこたえの単位たんいは cm² です。問題もんだい文ぶんに「まわりの長ながさ」「ひもの長ながさ」とあれば円周えんしゅう、「広ひろさ」「面積めんせき」「ぬる部分ぶぶん」とあれば面積めんせきだと読よみ取とりましょう。単位たんいを先さきに決きめておくと、使つかう公式こうしきもはっきりします。

円えんの計算けいさんの手順てじゅん

つぎの順じゅんに進すすめると、半径はんけいの取とりちがえもかけ忘わすれも起おきません。例れいとして「直径ちょっけい 14 cm、中心ちゅうしん角かく 90° のおうぎ形がたの面積めんせき」を求もとめます。

順番じゅんばん	すること	このときの計算けいさん
1	与あたえられたのが直径ちょっけいか半径はんけいかを確たしかめる	直径ちょっけい 14 cm
2	半径はんけいを出だす (直径ちょっけいなら 2 でわる)	14 ÷ 2 = 7 (cm)
3	長ながさを求もとめるのか広ひろさを求もとめるのか決きめる	広ひろさなので半径はんけい × 半径はんけい × 3.14
4	まず円えん全体ぜんたいで計算けいさんする	7 × 7 × 3.14 = 153.86 (cm²)
5	おうぎ形がたなら中心ちゅうしん角かく/360 をかける	153.86 × 1/4 = 38.465 (cm²)

答えこたえを出だしたら、だいたいの大おおきさも見みておきましょう。半径はんけい 7 cm の円えんは、 1 辺へん 14 cm の正方形せいほうけい (196 cm²) にすっぽり入はいるので、 153.86 cm² は自然しぜんです。これが 200 をこえたら、どこかで直径ちょっけいを使つかっています。