円えんの面積めんせき — 公式こうしきと求もとめ方かた・おうぎ形がた

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 曲線きょくせんで囲かこまれた 円えんの面積めんせき の求もとめ方かたを学まなびます。 5年生ねんせいまでは直線ちょくせんで囲かこまれた図形ずけい (三角形さんかくけい・四角形しかくけい) の面積めんせきを求もとめてきましたが、 いよいよ円えんに挑戦ちょうせんします。 円周率えんしゅうりつは 3.14 を使つかいます。

• 円えんの面積めんせきの公式こうしき (半径はんけい × 半径はんけい × 3.14)
• 直径ちょっけいが与あたえられたときの求もとめ方かた
• おうぎ形おうぎがたの面積めんせき
• 組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせき

ポイント: 円えんの面積めんせきは 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14 です。 円周えんしゅう (まわりの長ながさ) を求もとめる 「直径ちょっけい × 3.14」 とまちがえやすいので、 はっきり区別くべつしましょう。 面積めんせきで使つかうのは 半径はんけい です。

1. 円えんの面積めんせきの公式こうしき

円えんを細こまかいおうぎ形がたに切きって、 上下じょうげこうごに並ならべかえると、 だんだん長方形ちょうほうけいに近ちかづきます。 その長方形ちょうほうけいの 「たて」 が半径はんけい、 「よこ」 が円周えんしゅうの半分はんぶん (半径はんけい × 3.14) になるので、 円えんの面積めんせきは次つぎのようになります。

$円の面積=半径\times 半径\times 3.14$

例題れいだい: 半径はんけい$5$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

$5\times 5\times 3.14=25\times 3.14=78.5 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $25\times 3.14$ は、 $25\times 3=75$ と $25\times 0.14=3.5$ をたして $78.5$。 正ただしい。

例題れいだい: 半径はんけい$10$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

$10\times 10\times 3.14=100\times 3.14=314 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $100\times 3.14=314$。 正ただしい。

大事だいじ: 公式こうしきの 「半径はんけい × 半径はんけい」 は、 同おなじ半径はんけいを $2$回かける ことです。 $5\times 5$、 $10\times 10$ のように。 半径はんけい × $2$ ($5\times 2$ など) としないように気きをつけましょう。

2. 直径ちょっけいが与あたえられたとき

直径ちょっけいが与あたえられたときは、 まず 半分はんぶんにして半径はんけいを求もとめて から公式こうしきを使つかいます。

例題れいだい: 直径ちょっけい$14$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう。

半径はんけいは $14÷2=7$ cm。

$7\times 7\times 3.14=49\times 3.14=153.86 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $49\times 3.14$ は $49\times 314=15386$ の小数点しょうすうてんを $2$ けたずらして $153.86$。 正ただしい。

注意ちゅうい: 直径ちょっけいをそのまま公式こうしきに入いれてしまうミスがとても多おおいです。 直径ちょっけい$14$ cm を $14\times 14\times 3.14$ としてはいけません。 これは半径はんけい$14$ cm の円えんの面積めんせきになってしまいます。

3. おうぎ形がたの面積めんせき

円えんを $2$本の半径はんけいで切きり取とった形かたちを おうぎ形おうぎがた といい、 $2$本の半径はんけいがつくる角かくを 中心角ちゅうしんかく といいます。 おうぎ形がたは円えんの一部いちぶなので、 円えんの面積めんせきに 「中心ちゅうしん角かくが $360°$ のうちどれだけか」 をかけて求もとめます。

$おうぎ形の面積=円の面積\times \frac{360}{}$

例題れいだい: 半径はんけい$6$ cm、 中心角ちゅうしんかく $90°$ のおうぎ形がたの面積めんせきを求もとめましょう。

まず円えんの面積めんせきを求もとめます。 $6\times 6\times 3.14=113.04$ cm²。 中心ちゅうしん角かくは $90÷360=\frac{1}{4}$ なので、

$113.04\times \frac{1}{4}=28.26 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: $113.04÷4=28.26$。 半径はんけい$6$ の円えんを $4$等分とうぶんした $1$ つ分ぶんだから、 円えんの面積めんせきの $\frac{1}{4}$。 正ただしい。

ポイント: 中心ちゅうしん角かくが $180°$ なら半円はんえん ($\frac{1}{2}$)、 $90°$ なら $\frac{1}{4}$、 $60°$ なら $\frac{1}{6}$ とすぐ分数ぶんすうで思おもい出だせるようにしておくと速はやいです。

4. 組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせき

円えんの公式こうしきは、 ほかの図形ずけいと組み合わせくみあわせて使つかうことがよくあります。 「たし算さんで求もとまる形かたちか、 ひき算さんで求もとまる形かたちか」 をまず決きめましょう。

例題れいだい: 1辺$10$ cm の正方形せいほうけいの中なかに、 半径はんけい$5$ cm の円えん (正方形せいほうけいにぴったり入はいる円えん) をかいたとき、 円えんのまわりの色いろのついた部分ぶぶん (正方形せいほうけいから円えんをのぞいた部分ぶぶん) の面積めんせきを求もとめましょう。

• 正方形せいほうけいの面積めんせき: $10\times 10=100$ cm²
• 円えんの面積めんせき: $5\times 5\times 3.14=78.5$ cm²

色いろのついた部分ぶぶんは、 正方形せいほうけいから円えんをのぞいた残のこりなので、

$100-78.5=21.5 \left(2^{}\right)$

検算けんざん: 正方形せいほうけい$100$ から円$78.5$ を引ひくと $21.5$。 正ただしい。

ポイント: 直径ちょっけい$10$ cm の円えんが正方形せいほうけいにぴったり入はいるとき、 円えんの半径はんけいは正方形せいほうけいの $1$辺へんの半分はんぶん ($5$ cm) です。 ここで半径はんけいをまちがえないように。

どう問とわれるか

• 「半径はんけい$7$ cm の円えんの面積めんせきを求もとめましょう」 のような 基本きほんの面積めんせき計算けいさん が定番ていばんです。 円周えんしゅう率りつは $3.14$。
• 「直径ちょっけい$12$ cm の円えんの面積めんせき」 のように、 直径ちょっけいから半径はんけいを求もとめさせる問題もんだいもよく出でます。
• 「半径はんけい$6$ cm、 中心ちゅうしん角かく$60°$ のおうぎ形おうぎがたの面積めんせき」 や、 円えんと四角形しかくけいを組み合わせくみあわせた図形ずけいの面積めんせきも出でます。

まとめ

• 円えんの面積めんせき = 半径はんけい × 半径はんけい × 3.14
• 直径ちょっけいが与あたえられたら、 まず半分はんぶんにして半径はんけいを出だす
• おうぎ形おうぎがたの面積めんせき = 円えんの面積めんせき × $\frac{360}{}$
• 円周えんしゅう (直径ちょっけい × 3.14) と面積めんせき (半径はんけい × 半径はんけい × 3.14) を区別くべつする
• 組み合わせくみあわせた図形ずけいは、 たし算さんかひき算さんかを先さきに決きめる

次じ章しょうでは、 立体りったいの大おおきさを表あらわす 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの体積たいせき を学まなびます。