資料しりょうの整理せいり・場合ばあいの数かず — 代表だいひょう値ちとならべ方かた・組み合わせくみあわせ

この章しょうで学まなぶこと

仕上しあげとして、 たくさんの数かず (データ) を整理せいりしてその特とくちょうを読よみとる方法ほうほうと、 ならべ方かた・組み合わせくみあわせの数かぞえ方かた (場合の数ばあいのかず) を学まなびます。 小学校しょうがっこうの算数さんすうのまとめにあたる章しょうです。

• 代表値だいひょうち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 度数分布表どすうぶんぷひょう
• ならべ方かたと組み合わせくみあわせ (場合の数ばあいのかず)

ポイント: データの特とくちょうを $1$ つの数かずで表あらわしたものが 代表値だいひょうち です。 平均へいきん・まん中なか・いちばん多おおい、 という $3$ つの見方みかたのちがいをおさえましょう。

1. 代表だいひょう値ち

データのとくちょうを表あらわす数かずを 代表値だいひょうち といい、 おもに次つぎの $3$ つがあります。

代表値だいひょうち	意味いみ
平均値へいきんち	すべてをたして、 個数こすうでわった値あたい
中央値ちゅうおうち	小ちいさい順じゅんに並ならべたときの、 まん中なかの値あたい
最頻値さいひんち	もっとも多おおく出でてくる値あたい

例題れいだい: $5$人のテストの点数てんすう$4,6,6,8,11$ の平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを求もとめましょう。

• 平均値へいきんち: $(4+6+6+8+11)÷5=35÷5=7$
• 中央値ちゅうおうち: 小ちいさい順じゅんに並ならべたまん中なか ($3$番ばん目め) は $6$
• 最頻値さいひんち: いちばん多おおい値あたいは $6$ ($2$回)

検算けんざん: 合計ごうけい$4+6+6+8+11=35$、 $35÷5=7$。 $5$個のまん中なかは $3$番ばん目めで $6$。 すべて整合せいごう。 正ただしい。

大事だいじ: 中央値ちゅうおうちは、 データが 偶数ぐうすう個こ のときはまん中なか$2$ つの平均値へいきんちになります。 たとえば $4$個$2,4,6,10$ なら、 中央ちゅうおう値ちは $(4+6)÷2=5$ です。

2. 度数どすう分布ぶんぷ表ひょう

データをいくつかの区間くかん (階級かいきゅう) に分わけ、 それぞれに入はいる個数こすう (度数どすう) を表ひょうにしたものを 度数分布表どすうぶんぷひょう といいます。

点数てんすう (点てん)	人数にんずう (人じん)
0 以上いじょう 20 未満みまん	2
20 以上いじょう 40 未満みまん	5
40 以上いじょう 60 未満みまん	8
60 以上いじょう 80 未満みまん	4
80 以上いじょう 100 未満みまん	1
合計ごうけい	20

例題れいだい: 上うえの表ひょうで、 「$40$点てん以上いじょう$60$点てん未満みまん」 の人数にんずうは、 全体ぜんたいの何なに % にあたりますか。

その階級かいきゅうの人数にんずうは $8$人、 合計ごうけいは $20$人なので、

$8÷20=0.4\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 40\hspace{0.17em}\%$

検算けんざん: $8÷20=0.4$、 $0.4=40\%$。 正ただしい。

ポイント: 度数分布表どすうぶんぷひょうでは、 「いちばん人数にんずうが多おおい階級かいきゅうはどこか」 「ある点数てんすう以上いじょうは何なん人にんか」 などを読よみとります。 各かく階級かいきゅうの人数にんずうをたすと合計ごうけいになることも確たしかめましょう。

3. 場合ばあいの数かず — ならべ方かた

何なに通どおりのならべ方かたがあるかを、 順序じゅんじょよく数かぞえる方法ほうほうを学まなびます。 おとしや重じゅうなりがないように、 樹形図じゅけいず (枝分えだわかれの図ず) や表ひょうを使つかって数かぞえます。

例題れいだい: $1,2,3$ の $3$枚のカードを並ならべて $3$ けたの数かずをつくります。 全部ぜんぶで何なん通とおりできますか。

百ひゃくの位くらいは $3$通とおり。 そのそれぞれについて、 十じゅうの位くらいは残のこり $2$通とおり、 一いちの位くらいは残のこり $1$通とおり。 だから、

$3\times 2\times 1=6 \left(通り\right)$

検算けんざん: 実じつさいに書かき出だすと $123,132,213,231,312,321$ の $6$通とおり。 合あう。 正ただしい。

大事だいじ: ならべ方かた は、 順番じゅんばんがちがえば別べつのものとして数かぞえます。 $123$ と $321$ はちがう数かずなので、 どちらも $1$通とおりに数かぞえます。

4. 場合ばあいの数かず — 組み合わせくみあわせ

順番じゅんばんを考えかんがえず、 「どれとどれを選えらぶか」 だけを数かぞえるのが 組み合わせくみあわせ です。

例題れいだい: A, B, C, D の $4$ チームから $2$ チームを選えらんで試合しあいをします。 試合しあいの組み合わせくみあわせは全部ぜんぶで何なん通とおりありますか。

選えらび方かたを書かき出だします。 (A-B)(A-C)(A-D)(B-C)(B-D)(C-D) の $6$通とおり。

$試合の数=6 \left(通り\right)$

検算けんざん: $4$ チームのうち $1$ チームは残のこり $3$ チームと試合しあいする。 $4\times 3=12$ だが、 「A 対たい B」 と 「B 対たい A」 は同おなじ試合しあいなので $2$ でわって $12÷2=6$通とおり。 合あう。 正ただしい。

ポイント: ならべ方かたは順番じゅんばんを区別くべつする、 組み合わせくみあわせは順番じゅんばんを区別くべつしない のがちがいです。 試合しあい・代表だいひょう選えらび・色いろのセットなどは 「組み合わせくみあわせ」 (順番じゅんばんなし)、 並ならび順じゅんや $\square$ けたの数かずづくりは 「ならべ方かた」 (順番じゅんばんあり) になります。

どう問とわれるか

• 「データの平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを求もとめましょう」 という問題もんだいが定番ていばんです。
• 度数分布表どすうぶんぷひょうを読よみとって、 人数にんずうや割合わりあいを答こたえる問題もんだいもよく出でます。
• 「$4$人が $1$列に並ならぶ並ならび方かたは何なん通とおりか」 「$5$人から $2$人を選えらぶ選えらび方かたは何なん通とおりか」 のような場合の数ばあいのかずの問題もんだいも出でます。

よくまちがえるところ

代表だいひょう値ちと場合ばあいの数かずでは、 手順てじゅんを 1 つとばしたところでまちがえます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
並ならべかえずに中央ちゅうおう値ちを答こたえる	6, 11, 4, 8, 6 のまん中なかを 4 とする	小ちいさい順じゅんに 4, 6, 6, 8, 11 と並ならべて 3 番ばん目めの 6
偶数ぐうすう個この中央ちゅうおう値ちをまん中なか 1 つで答こたえる	2, 4, 6, 10 の中央ちゅうおう値ちを 4 とする	まん中なか 2 つの平均へいきんで (4 + 6) ÷ 2 = 5
最頻値さいひんちを出でてきた回数かいすうで答こたえる	6 が 2 回かい出でるから最頻値さいひんちを 2 とする	最頻値さいひんちは値あたいのほうなので 6
組み合わせくみあわせを並ならべ方かたとして数かぞえる	4 チームから 2 チームの試合しあいを 4 × 3 = 12 通とおりとする	順番じゅんばんを区別くべつしないので 12 ÷ 2 = 6 通とおり

いちばん多おおいのは 並ならべかえずに中央ちゅうおう値ちを答こたえる ミスです。 中央ちゅうおう値ちは 「小ちいさい順じゅんに並ならべたときのまん中なか」 なので、 データが問題もんだい文ぶんの順じゅんのままでは求もとめられません。 まず並ならべかえ、 個数こすうが奇数きすうならまん中なかの 1 つ、 偶数ぐうすうならまん中なか 2 つの平均へいきんをとります。 並ならべかえた列れつを答案とうあんに書かいておくと、 見直みなおしもしやすくなります。

代表だいひょう値ちを使つかい分わける

3 つの代表だいひょう値ちは、 求もとめ方かたも、 向むいている場面ばめんもちがいます。

代表だいひょう値ち	求もとめ方かた	使つかうとよいとき
平均へいきん値ち	合計ごうけい ÷ 個数こすう	全体ぜんたいをならして比くらべたいとき
中央ちゅうおう値ち	小ちいさい順じゅんに並ならべたまん中なかの値あたい	とびはなれて大おおきい値あたいがあるとき
最頻値さいひんち	もっとも多おおく出でてくる値あたい	いちばんよく出でるものを知しりたいとき

たとえば 4, 6, 6, 8, 36 というデータでは、 平均へいきん値ちは 60 ÷ 5 = 12 ですが、 12 より小ちいさい値あたいが 4 つもあります。 36 という大おおきな値あたいに平均へいきんが引ひっぱられているからです。 このデータの中央ちゅうおう値ちは 6 で、 こちらのほうが 「まん中なかあたり」 をよく表あらわしています。 どの代表だいひょう値ちを聞きかれているかを、 問題もんだい文ぶんでしっかり確たしかめましょう。

自分じぶんでチェック

• 平均へいきん値ち・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんちの求もとめ方かたをそれぞれ言いえる
• データを小ちいさい順じゅんに並ならべてから中央ちゅうおう値ちを求もとめられる
• 偶数ぐうすう個このときの中央ちゅうおう値ちをまん中なか 2 つの平均へいきんで出だせる
• 度数どすう分布ぶんぷ表ひょうから、 ある階級かいきゅうの人数にんずうや割合わりあいを読よみ取とれる
• 並ならべ方かた (順番じゅんばんを区別くべつする) と組み合わせくみあわせ (区別くべつしない) を書かき分わけられる

まとめ

• 代表値だいひょうち = 平均値へいきんち (合計ごうけい ÷ 個数こすう)・中央値ちゅうおうち (まん中なか)・最頻値さいひんち (いちばん多おおい)
• 偶数ぐうすう個このデータの中央値ちゅうおうちはまん中なか$2$ つの平均へいきん
• 度数分布表どすうぶんぷひょうで、 多おおい階級かいきゅうや割合わりあいを読よみとる
• 場合の数ばあいのかずは樹形図じゅけいずや表ひょうでおとし・重かさなりなく数かぞえる
• ならべ方かたは順番じゅんばんを区別くべつ、 組み合わせくみあわせは順番じゅんばんを区別くべつしない

これで算数さんすう検定けんてい6級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「算数さんすう検定けんてい」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。