縮図しゅくず・拡大かくだい図ずと比ひ — 比ひの値あたい・等ひとしい比ひ・縮尺しゅくしゃく

この章しょうで学まなぶこと

小しょう6 では、 $2$ つの数かずの関係かんけいを表あらわす 比ひ と、 形かたちが同おなじで大おおきさだけちがう 縮図しゅくず・拡大図かくだいず を学まなびます。 地図ちずの縮尺しゅくしゃくなど、 生活せいかつでも役立やくだつ内容ないようです。

• 比ひと比の値ひのあたい
• 等ひとしい比ひのつくり方かた
• 比ひを使つかった文章ぶんしょう題だい
• 縮図しゅくず・拡大図かくだいずと縮尺しゅくしゃく

ポイント: 比$a:b$ は、 $a$ を $b$ でわった 比の値ひのあたい ($\frac{a}{b}$) が同おなじなら等ひとしい比ひです。 両方りょうほうに同おなじ数かずをかけたり、 同おなじ数かずでわったりしても、 比ひは変かわりません。

1. 比ひと比ひの値あたい

$2$ つの数量すうりょうの関係かんけいを 「$3:2$」 のように表あらわしたものを 比ひ といいます。 $a:b$ で、 $a$ を $b$ でわった数かずを 比の値ひのあたい といいます。

$a:b の比の値=\frac{a}{b}$

例題れいだい: 比$6:8$ の比の値ひのあたいを求もとめましょう。

$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

検算けんざん: $6÷8=0.75$、 $\frac{3}{4}=0.75$。 同おなじ。 正ただしい。

2. 等ひとしい比ひ

比ひは、 両方りょうほうの数かずに 同おなじ数かずをかけても、 同おなじ数かずでわっても 等ひとしくなります。 できるだけ小ちいさい整数せいすうの比ひにすることを 「比ひを簡単かんたんにする」 といいます。

例題れいだい: 比$12:18$ を簡単かんたんにしましょう。

$12$ と $18$ の最大公約数さいだいこうやくすうは $6$ なので、 両方りょうほうを $6$ でわります。

$12:18=2:3$

検算けんざん: 比の値ひのあたいは $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$。 どちらも $\frac{2}{3}$ で等ひとしい。 正ただしい。

例題れいだい: $x$ にあてはまる数かずを求もとめましょう。 $3:4=x:12$

右の $12$ は、 左ひだりの $4$ を $3$倍した数かずです。 だから $x$ も $3$ を $3$倍して、

$x=3\times 3=9$

検算けんざん: $9:12$ を簡単かんたんにすると $3:4$。 もとの比ひと等ひとしい。 正ただしい。

大事だいじ: $a:b=c:d$ のとき、 「外側そとがわどうしの積せき = 内側うちがわどうしの積せき」 ($a\times d=b\times c$) も成なり立たちます。 $3:4=x:12$ なら $3\times 12=4\times x$、 $36=4x$、 $x=9$ と求もとめてもよいです。

3. 比ひを使つかった文章ぶんしょう題だい

全体ぜんたいをある比ひに分わける問題もんだいは、 比ひの合計ごうけいを 「いくつ分ぶん」 と考えかんがえて求もとめます。

例題れいだい: $35$個のあめを、 兄あにと弟おとうとで $4:3$ に分わけます。 兄あには何なん個こもらえますか。

比ひの合計ごうけいは $4+3=7$。 全体ぜんたい$35$個を $7$等分とうぶんすると $1$ つ分ぶんは $35÷7=5$個。 兄あには $4$ つ分ぶんなので、

$5\times 4=20 \left(個\right)$

検算けんざん: 兄$20$個、 弟おとうとは $5\times 3=15$個。 合計ごうけい$20+15=35$個、 比ひは $20:15=4:3$。 条件じょうけんに合あう。 正ただしい。

ポイント: 比ひで分わける問題もんだいは、 「比ひの合計ごうけいが全体ぜんたいの何なん個こ分ぶんにあたるか」 を先さきに求もとめます。 $1$ つ分ぶんがわかれば、 あとはかけ算ざんで求もとめられます。

4. 縮図しゅくず・拡大かくだい図ずと縮尺しゅくしゃく

形かたちが同おなじで大おおきさだけちがう図形ずけいのうち、 小ちいさくしたものを 縮図しゅくず、 大おおきくしたものを 拡大図かくだいず といいます。 もとの図形ずけいと比くらべて、 対応たいおうする辺へんの長ながさの比ひはすべて等ひとしく、 対応たいおうする角かくの大おおきさは変かわりません。

地図ちずなどで、 実際じっさいの長ながさを縮ちぢめた割合わりあいを 縮尺しゅくしゃく といいます。 「$\frac{1}{1000}$」 や 「$1:1000$」 のように表あらわします。

例題れいだい: 縮尺しゅくしゃく $\frac{1}{1000}$ の地図ちずで、 ある $2$地点ちてんの間まが $5$ cm でした。 実際じっさいのきょりは何なに m ですか。

縮尺しゅくしゃく $\frac{1}{1000}$ は、 実際じっさいの長ながさを $1000$分ぶんの $1$ に縮ちぢめたものなので、 実際じっさいの長ながさは地図ちずの $1000$倍です。

$5\times 1000=5000 \left(cm\right)$

$5000$ cm を m に直なおすと、 $5000÷100=50$ m。

検算けんざん: 実際じっさい$50$ m $=5000$ cm を $1000$ でわると $5$ cm。 地図ちずの長ながさに合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 縮尺しゅくしゃくの問題もんだいでは、 単位たんいの直なおし に注意ちゅういします。 cm のまま $1000$倍ばいすると cm のままなので、 最後さいごに $100$ でわって m に、 さらに $1000$ でわって km に直なおします。

どう問とわれるか

• 「比$8:12$ を簡単かんたんにしましょう」 や 「比の値ひのあたいを求もとめましょう」 という問題もんだいが定番ていばんです。
• 「$2:5=6:x$ で $x$ を求もとめましょう」 のような、 等ひとしい比ひの問題もんだいもよく出でます。
• 「$\frac{1}{25000}$ の地図ちずで $4$ cm のとき、 実際じっさいのきょりは何なに km か」 のような縮尺しゅくしゃくの問題もんだいが出でます。

まとめ

• 比$a:b$ の比の値ひのあたいは $\frac{a}{b}$
• 比ひは両方りょうほうに同おなじ数かずをかけても・わっても等ひとしい (最大公約数さいだいこうやくすうでわって簡単かんたんに)
• $a:b=c:d$ なら $a\times d=b\times c$
• 縮図しゅくず・拡大図かくだいずは形かたちが同おなじで大おおきさだけちがう
• 縮尺しゅくしゃく $\frac{1}{N}$ のとき、 実際じっさいの長ながさ = 地図ちずの長ながさ × $N$ (単位たんいの直なおしに注意ちゅうい)

次じ章しょうでは、 ともなって変かわる $2$ つの量りょう 比例ひれいと反比例はんぴれい を学まなびます。