数学すうがく的てき帰納きのう法ほう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

全20問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 数学的帰納法すうがくてききのうほう は何なにを証しょう明めい する方法ほうほうですか？
   • ・あ る 1 つ の $n$ で 命題だい が 成 り 立 つ こ と
   • ・命題だい $P(n)$ が 偽 で あ る こ と
   • ・数 列 の 一 般 項 を 推測そく す る こ と
   • ・す べ て の 自然ぜん 数 $n$ で 命題だい $P(n)$ が 成 り 立 つ こ と
2. 数学すうがく的てき帰き納のう法の 2 ステップ とはどれですか？
   • ・Step 1: 仮定てい を 書 く、 Step 2: 結論ろん を 書 く
   • ・Step 1: $P(1)$ を 示 す、 Step 2: $P(\infty)$ を 示 す
   • ・Step 1: $P(1)$ を 示 す (基底きてい)、 Step 2: $P(k) \Rightarrow P(k+1)$ を 示 す (帰納段階きのうだんかい)
   • ・Step 1: 命 題 を 書 く、 Step 2: 反 例 を 示 す
3. 数学すうがく的てき帰き納のう法をイメージするのによく使つかわれる 比ひ喩ゆ はどれですか？
   • ・サイコロ
   • ・ドミノ理論ドミノりろん (ドミノ 倒 し)
   • ・ジグソー パズル
   • ・天 秤
4. Step 2 で使つかう 「$P(k)$ が成なり立たつ」 という仮か定てい を何なんと呼よびますか？
   • ・帰納法の仮定きのうほうのかてい
   • ・結論けつろん
   • ・基底きてい
   • ・公理こうり
5. 数学すうがく的てき帰き納のう法で Step 1 を飛とばす とどんな問もん題だい が起おこりますか？
   • ・問 題 な し ($P(k) \Rightarrow P(k+1)$ だ け で 十 分)
   • ・Step 2 が 自動どう 的 に 偽 に な る
   • ・1 番 目 の ド ミ ノ が 立 っ た ま ま に な り、 連鎖さ が 始 ま ら な い
   • ・結論ろん が 強 す ぎ る
6. 等式とうしき$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ を数学すうがく的てき帰き納のう法で証しょう明めい する際さい、 Step 1 で確かく認にん すべきことはどれですか？
   • ・$n = 1$ で 等 式 が 成 り 立 つ こ と (左 辺 = 1、 右 辺 = $\dfrac{1 \cdot 2}{2} = 1$)
   • ・$n = k$ で 成 り 立 つ こ と
   • ・$n = k+1$ で 成 り 立 つ こ と
   • ・$n = 0$ で 成 り 立 つ こ と
7. $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ の帰き納のう法証明めい で、 Step 2 で $n = k$ で成なり立たつと仮か定てい したとき、 $n = k+1$ で示しめしたい右辺うへんはどれですか？
   • ・$\dfrac{k(k+1)}{2}$
   • ・$\dfrac{k(k+2)}{2}$
   • ・$\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$
   • ・$\dfrac{(k+1)^2}{2}$
8. 整せい除じょ性せいの命題めいだい 「すべての自し然ぜん数$n$ で $n^3 - n$ は 6 の倍数ばいすう」 の帰き納のう法証明めい で、 Step 1 ($n = 1$) での値あたいはいくつですか？
   • ・$6$
   • ・$0$ (= $6 \cdot 0$ で 6 の 倍 数)
   • ・$1$
   • ・$-1$
9. $n^3 - n$ が 6 の倍数ばいすうであることを帰き納のう法で示しめす際さい、 $(k+1)^3 - (k+1) = (k^3 - k) + 3k(k+1)$ と変形へんけいできる。 $3k(k+1)$ が 6 の倍数ばいすう である理り由ゆう はどれですか？
   • ・$k(k+1)$ が 連続ぞく 2 整 数 の 積 で 必 ず 偶数ぐう、 し た が っ て $3 \times [偶数|ぐうすう] =$ 6 の 倍 数
   • ・$k$ が 必 ず 偶数ぐう
   • ・$3k(k+1)$ は 必 ず 6 を 含 む
   • ・$k+1$ が 必 ず 3 の 倍 数
10. 漸ぜん化か式しき$a_1 = 1$、 $a_{n+1} = 2a_n + 1$ の一般いっぱん項こうが $a_n = 2^n - 1$ であることを帰き納のう法で示しめすとき、 $n = k$ で $a_k = 2^k - 1$ と仮か定てい すれば $a_{k+1}$ は ?
    • ・$a_{k+1} = 2^{k} - 1$
    • ・$a_{k+1} = 2^{k+1} - 1$
    • ・$a_{k+1} = 2(2^k - 1) = 2^{k+1} - 2$
    • ・$a_{k+1} = 2^{k+1} + 1$
11. 帰き納のう法で 典てん型けい的な誤あやまり はどれですか？
    • ・Step 1 で $n = 1$ を 確認にん す る こ と
    • ・Step 2 で 仮 定 を 使 う こ と
    • ・「□」 を 最 後 に 書 く こ と
    • ・Step 2 で 「$P(k)$ で は な く $P(k+1)$ を 仮定てい」 と 書 い て し ま う こ と (循環論法じゅんかんろんぽう)
12. 強い帰納法つよいきのうほう は Step 2 で何なにを仮か定てい しますか？
    • ・$P(k)$ だ け
    • ・$P(k+1)$ を 仮 定
    • ・何 も 仮 定 し な い
    • ・$P(1), P(2), \ldots, P(k)$ す べ て
13. 命題めいだい 「$n \geq 5$ のとき $2^n > n^2$」 を帰き納のう法で証しょう明めい するとき、 Step 1 で確かく認にん するのはどれですか？
    • ・$n = 1$ で の 成 立
    • ・$n = 0$ で の 成 立
    • ・$n = 10$ で の 成 立
    • ・$n = 5$ で の 成 立 ($2^5 = 32 > 25 = 5^2$ ✓)
14. 帰き納のう法でよく使つかう 「$\sum_{i=1}^{k+1} a_i = \sum_{i=1}^{k} a_i + a_{k+1}$」 はどんな性質せいしつを表あらわしていますか？
    • ・「1 項 増 や す = 最 後 に $a_{k+1}$ を 足 す」 と い う 性 質
    • ・$\sum$ の 線型けい 性
    • ・$\sum$ の 公 式
    • ・$\sum$ の 部 分 分 数
15. 「すべての馬うまは同おなじ色いろ」 という 偽証明ぎしょうめい (帰き納のう法のジョーク) で、 どこに誤あやまりがありますか？
    • ・Step 1 が 偽
    • ・結論ろん が 弱 い
    • ・馬 が 実在ざい し な い
    • ・Step 2 が $k+1 \geq 3$ で し か 機能のう せ ず、 $k = 1$ の と こ ろ で 連鎖さ が 切 れ る
16. 等式とうしき$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2$ (奇数きすうの和わ) を帰き納のう法で示しめす際さい、 Step 2 で $n = k$ で成立せいりつと仮定かていすれば、 $n = k+1$ の左辺さへんは $\sum_{k=1}^{k} (2k-1) + ?$ の 「?」 に入はいるものはどれですか？
    • ・$2k - 1$
    • ・$2k + 1$ (= 第 $k+1$ 項)
    • ・$2(k+1)$
    • ・$(k+1)^2$
17. 帰き納のう法で不等式ふとうしき$2^n > n$ ($n \geq 1$) を証しょう明めい するとき、 $n = k$ で成立せいりつと仮定かてい ($2^k > k$) して、 $n = k+1$ で示しめしたい式しきはどれですか？
    • ・$2^k > k+1$
    • ・$2^{k+1} > k+1$
    • ・$2^{k+1} > k$
    • ・$2^{k+1} > 2k$
18. 帰き納のう法と 漸ぜん化か式しき の関かん係けい として正ただしいものはどれですか？
    • ・漸 化 式 と 帰納のう 法 は 全 く 別 の 話
    • ・漸 化 式 は 帰納のう 法 の 一 種
    • ・漸 化 式 を 解 い た 後、 推測そく し た 一 般 項 を 帰納のう 法 で 厳密みつ に 証明めい で き る
    • ・帰納のう 法 は 漸 化 式 の 一 種
19. 等式とうしき$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を帰き納のう法で示しめすとき、 $n = k$ で成立せいりつと仮定かていすれば $n = k+1$ で左辺さへんはどんな形かたちになりますか？
    • ・$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$
    • ・$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)$
    • ・$\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$ (こ れ が 結論ろん)
    • ・$\dfrac{(k+1)^2(2k+3)}{6}$
20. 数学すうがく的てき帰き納のう法が 「強力きょうりょく」 な理り由ゆう として最もっとも適てき切せつ なものはどれですか？
    • ・1 つ の 例 だ け で 一般ぱん 化 で き る か ら
    • ・無限げん 個 の 自然ぜん 数 に 対 す る 命 題 を 有限げん 個 (2 ス テ ッ プ) の 議論ろん で 証明めい で き る か ら
    • ・計算さん が 不要よう に な る か ら
    • ・反 例 を 探 す 手 間 が 省 け る か ら