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新課程 (平成 30 年告示) で の 扱 い: 「整数 の 性質」 は 「数学 と 人間 の 活動」 に 統合・選択制 と な り、 必履修 で は な く な り ま し た。 し か し 大学入試 (特 に 国公立二次・難関私大) で は 引 き 続 き 出題 さ れ る た め、 入試 を 視野 に 入 れ る な ら 発展内容 と し て の 学習 が 推奨 さ れ ま す。
確率 か ら 一転、 整数 の 世界 へ 入 り ま す。 高校数学 A の 整数の性質 は、 中学 の 「倍数・約数」 を 整理 し 直 し、 大学入試 や 競技数学 に つ な が る 「整数論」 の 入口 と な り ま す。
ポイント: 整数問題 の 多 く は 素因数分解 か ら 始 ま る。 「素因数 が 何個 ず つ ど の よ う に 含 ま れ て い る か」 を 把握 す る の が 鍵。
整数 (a, b) ((b \neq 0)) に つ い て、 あ る 整数 (k) が 存在 し て (a = bk) と 表 せ る と き、 「(b) は (a) の 約数」、 「(a) は (b) の 倍数」 と 言 い ま す。
例: (12 = 3 \times 4) な の で 3 は 12 の 約数、 12 は 3 の 倍数。
| 数 | 判定法 |
|---|---|
| 2 | 一 の 位 が 偶数 (0, 2, 4, 6, 8) |
| 3 | 各位 の 数字 の 和 が 3 の 倍数 |
| 4 | 下 2 桁 が 4 の 倍数 |
| 5 | 一 の 位 が 0 か 5 |
| 6 | 2 の 倍数 か つ 3 の 倍数 |
| 8 | 下 3 桁 が 8 の 倍数 |
| 9 | 各位 の 数字 の 和 が 9 の 倍数 |
| 11 | 各位 を 交互 に 符号 を 変 え て 足 し た 値 が 11 の 倍数 |
12345678 は ど の 数 の 倍数 か。
素数 と は 1 と そ の 数自身以外 に 約数 を 持 た な い 2 以上 の 自然数 を 言 い ま す。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... が 素数 の 例。
注: 1 は 素数 で は あ り ま せ ん。
任意 の 2 以上 の 自然数 は 素数 の 積 と し て た だ 一通 り に 表 せ ま す (素因数分解の一意性)。
例: (60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5)、 (180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)、 (1024 = 2^{10})、 (504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7)。
小 さ い 素数 か ら 順 に 割 り 続 け ま す。
(180 \div 2 = 90 \div 2 = 45 \div 3 = 15 \div 3 = 5 \div 5 = 1)。 し た が っ て (180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)。
(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}) と 素因数分解 さ れ る と き、 約数 の 個数 は
[ (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1) ]
[ \sigma(n) = (1 + p_1 + \cdots + p_1^{a_1})(1 + p_2 + \cdots + p_2^{a_2}) \cdots ]
各等比数列 の 和 の 公式 (1 + p + p^2 + \cdots + p^a = \dfrac{p^{a+1} - 1}{p - 1}) を 使 う と 計算 が 楽。
(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)。
(12 = 2^2 \cdot 3)。 個数 は ((2+1)(1+1) = 6) 個 (= ({1, 2, 3, 4, 6, 12}))。 総和 は ((1+2+4)(1+3) = 7 \cdot 4 = 28)。
(a = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots)、 (b = p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots) と 同 じ 素数 を 共通 に 並 べ た と き
[ \gcd(a, b) = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \mathrm{lcm}(a, b) = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)} ]
(a = 72 = 2^3 \cdot 3^2)、 (b = 108 = 2^2 \cdot 3^3)。
[ \gcd(a, b) \cdot \mathrm{lcm}(a, b) = a \cdot b ]
| 概念 | 内容 |
|---|---|
| 倍数判定 | 3, 9 は 桁 の 和、 4 は 下 2 桁、 8 は 下 3 桁 |
| 素因数分解 | 一意性 が 保証 さ れ る |
| 約数個数 | ((a_1+1)(a_2+1)\cdots) |
| 約数総和 | ((1+p_1+\cdots+p_1^{a_1})\cdots) |
| gcd, lcm | 素因数 の (\min, \max)、 (\gcd \cdot \mathrm{lcm} = ab) |
次 の 章 で は: 大 き な 数 の (\gcd) を 効率 よ く 求 め る ユークリッドの互除法 を 学 び ま す。 不定方程式 へ の 重要 な 道具 と な り ま す。