整数せいすう の 性質せいしつ (約数やくすう・倍数ばいすう・素因数そいんすう分解ぶんかい)

この 章しょう で 学まなぶ こと

新しん課程かてい (平成へいせい 30 年ねん告示こくじ) で の 扱 い: 「整数せいすう の 性質せいしつ」 は 「数学すうがく と 人間にんげん の 活動かつどう」 に 統合とうごう・選択せんたく制せい と な り、 必履修りしゅう で は な く な り ま し た。 し か し 大学だいがく入試にゅうし (特とく に 国公立こっこうりつ二に次じ・難関なんかん私大しだい) で は 引 き 続ぞく き 出題しゅつだい さ れ る た め、 入試にゅうし を 視野しや に 入いり れ る な ら 発展はってん内容ないよう と し て の 学習がくしゅう が 推奨すいしょう さ れ ま す。

確率かくりつ か ら 一いっ転てん、 整せい数すう の 世界せかい へ 入いり り ま す。 高校こうこう数学すうがく A の 整数の性質せいすうのせいしつ は、 中学ちゅうがく の 「倍数ばいすう・約数やくすう」 を 整せい理り し 直ただし し、 大学だいがく入試にゅうし や 競技きょうぎ数学すうがく に つ な が る 「整せい数すう論」 の 入口いりぐち と な り ま す。

• 約数やくすう・倍数ばいすう の 定義ていぎ と 性せい質しつ を 整せい理り す る
• 倍数判定法ばいすうはんていほう (3、 4、 8、 9 の 倍数ばいすう) を 使し い こ な す
• 素数そすう と 素因数分解そいんすうぶんかい を 確かく認にん す る
• 素因数分解そいんすうぶんかい か ら 約数の個数やくすうのこすう・約数の和やくすうのわ を 求もとめ め る
• 最大公約数さいだいこうやくすう (gcd) と 最小公倍数さいしょうこうばいすう (lcm) を 計算けいさん す る

ポイント: 整せい数すう問題もんだい の 多おお く は 素因数分解そいんすうぶんかい か ら 始はじめ ま る。 「素因数そいんすう が 何なん個こ ず つ ど の よ う に 含 ま れ て い る か」 を 把は握あく す る の が 鍵かぎ。

1. 約数やくすう と 倍数ばいすう

定義ていぎ

整せい数すう (a, b) ((b \neq 0)) に つ い て、 あ る 整せい数すう (k) が 存在そんざい し て (a = bk) と 表ひょう せ る と き、 「(b) は (a) の 約数やくすう」、 「(a) は (b) の 倍数ばいすう」 と 言げん い ま す。

例れい: (12 = 3 \times 4) な の で 3 は 12 の 約やく数すう、 12 は 3 の 倍ばい数すう。

基本きほん性質せいしつ

• 1 は す べ て の 整せい数すう の 約やく数すう
• 任にん意い の 整せい数すう (n) に 対たい し (n) は (n) 自じ身しん の 約やく数すう・倍ばい数すう
• (b \mid a) (= (b) は (a) を 割わり る) と (b \mid c) な ら (b \mid (a \pm c))
• (b \mid a) な ら 任にん意い の 整せい数すう (k) に つ い て (b \mid ka)

2. 倍数ばいすう判定はんてい法ほう

主おもな 倍数ばいすう判定はんてい

数かず	判定はんてい法ほう
2	一いち の 位くらい が 偶ぐう数すう (0, 2, 4, 6, 8)
3	各位かくい の 数字すうじ の 和わ が 3 の 倍ばい数すう
4	下した 2 桁けた が 4 の 倍ばい数すう
5	一いち の 位くらい が 0 か 5
6	2 の 倍ばい数すう か つ 3 の 倍ばい数すう
8	下した 3 桁けた が 8 の 倍ばい数すう
9	各位かくい の 数字すうじ の 和わ が 9 の 倍ばい数すう
11	各位かくい を 交こう互ご に 符号ふごう を 変へん え て 足あし し た 値ね が 11 の 倍ばい数すう

例題れいだい 1: 倍数ばいすう判定はんてい

12345678 は ど の 数かず の 倍数ばいすう か。

• 一いち の 位くらい は 8 → 2 の 倍数ばいすう、 4 の 倍数ばいすう (下か 2 桁けた 78 ÷ 4 ≠ 整数せいすう だ か ら 4 で は な い → 確かく認にん: 78 = 4·19 + 2 で 4 の 倍数ばいすう で は な い)。 正ただし し く は 2 の 倍数ばいすう だ け。
• 各位かくい の 和わ: (1+2+3+4+5+6+7+8 = 36)。 これ は 9 の 倍数ばいすう → 9 の 倍数ばいすう (し た が っ て 3 の 倍数ばいすう で も あ る)。

3. 素数そすう と 素因数そいんすう分解ぶんかい

素数そすう の 定義ていぎ

素数そすう と は 1 と そ の 数すう自じ身しん以外いがい に 約やく数すう を 持じ た な い 2 以上いじょう の 自し然ぜん数 を 言げん い ま す。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... が 素数そすう の 例れい。

注ちゅう: 1 は 素数そすう で は あ り ま せ ん。

素因数そいんすう分解ぶんかい

任にん意い の 2 以上いじょう の 自し然ぜん数 は 素数そすう の 積つむ と し て た だ 一いち通つう り に 表ひょう せ ま す (素因数分解の一意性そいんすうぶんかいのいちいせい)。

例れい: (60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5)、 (180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)、 (1024 = 2^{10})、 (504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7)。

分解ぶんかい の 仕方しかた

小しょう さ い 素数そすう か ら 順じゅん に 割わり り 続ぞく け ま す。

(180 \div 2 = 90 \div 2 = 45 \div 3 = 15 \div 3 = 5 \div 5 = 1)。 し た が っ て (180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)。

4. 約数やくすう の 個数こすう と 和わ

約数やくすう の 個数こすう

(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}) と 素因数そいんすう分解ぶんかい さ れ る と き、 約やく数すう の 個こ数すう は

[ (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1) ]

約数やくすう の 総和そうわ

[ \sigma(n) = (1 + p_1 + \cdots + p_1^{a_1})(1 + p_2 + \cdots + p_2^{a_2}) \cdots ]

各等比数列とうひすうれつ の 和わ の 公こう式しき (1 + p + p^2 + \cdots + p^a = \dfrac{p^{a+1} - 1}{p - 1}) を 使し う と 計算けいさん が 楽らく。

例題れいだい 2: 180 の 約数やくすう

(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5)。

• 個こ数すう: ((2+1)(2+1)(1+1) = 18) 個こ
• 総和そうわ: ((1+2+4)(1+3+9)(1+5) = 7 \cdot 13 \cdot 6 = 546)

例題れいだい 3: 12 の 約数やくすう

(12 = 2^2 \cdot 3)。 個こ数すう は ((2+1)(1+1) = 6) 個こ (= ({1, 2, 3, 4, 6, 12}))。 総和そうわ は ((1+2+4)(1+3) = 7 \cdot 4 = 28)。

5. 最大公約数さいだいこうやくすう と 最小公倍数さいしょうこうばいすう

定義ていぎ

• 最大公約数さいだいこうやくすう (\gcd(a, b)): (a) と (b) の 共きょう通つう な 約やく数すう の 中なか で 最さい も 大だい き い も の
• 最小公倍数さいしょうこうばいすう (\mathrm{lcm}(a, b)): (a) と (b) の 共きょう通つう な 倍ばい数すう の 中なか で 最さい も 小しょう さ い も の

素因数そいんすう分解ぶんかい で 求もとめ め る

(a = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots)、 (b = p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots) と 同どう じ 素数そすう を 共きょう通つう に 並なみ べ た と き

[ \gcd(a, b) = \prod p_i^{\min(a_i, b_i)}, \quad \mathrm{lcm}(a, b) = \prod p_i^{\max(a_i, b_i)} ]

例題れいだい 4: gcd と lcm

(a = 72 = 2^3 \cdot 3^2)、 (b = 108 = 2^2 \cdot 3^3)。

• (\gcd(a, b) = 2^2 \cdot 3^2 = 36)
• (\mathrm{lcm}(a, b) = 2^3 \cdot 3^3 = 216)
• 検算けんざん: (\gcd \cdot \mathrm{lcm} = 36 \cdot 216 = 7776 = 72 \cdot 108) ○

公式こうしき

[ \gcd(a, b) \cdot \mathrm{lcm}(a, b) = a \cdot b ]

6. 章しょう末まつ ま とめ

概がい念ねん	内ない容よう
倍数ばいすう判定はんてい	3, 9 は 桁けた の 和かず、 4 は 下した 2 桁けた、 8 は 下した 3 桁けた
素因数そいんすう分解ぶんかい	一いち意い性せい が 保証ほしょう さ れ る
約やく数個すうこ数すう	((a_1+1)(a_2+1)\cdots)
約数やくすう総和そうわ	((1+p_1+\cdots+p_1^{a_1})\cdots)
gcd, lcm	素因数そいんすう の (\min, \max)、 (\gcd \cdot \mathrm{lcm} = ab)

次じ の 章しょう で は: 大だい き な 数かず の (\gcd) を 効こう率りつ よ く 求もとめ め る ユークリッドの互除法ゆーくりっどのごじょほう を 学がく び ま す。 不定方程式ふていほうていしき へ の 重要じゅうよう な 道具どうぐ と な り ま す。