整数せいすうの性質せいしつ (約数やくすう・倍数ばいすう・素因数そいんすう分解ぶんかい)

この章しょうで学まなぶこと

新しん課程かてい (平成へいせい 30 年ねん告示こくじ) での扱あつかい: 「整数せいすうの性質せいしつ」 は 「数学すうがくと人間にんげんの活動かつどう」 に統合とうごう・選択せんたく制せい となり、 必履修りしゅうではなくなりました。 しかし大学だいがく入試にゅうし (特とくに国公立こっこうりつ二に次じ・難関なんかん私大しだい) では引ひき続つづき出題しゅつだいされるため、 入試にゅうしを視野しやに入いれるなら 発展はってん内容ないようとしての学習がくしゅうが推奨すいしょう されます。

確率かくりつから一いっ転てん、 整せい数すうの世界せかいへ入はいります。 高校こうこう数学すうがく A の 整数の性質せいすうのせいしつ は、 中学ちゅうがくの 「倍数ばいすう・約数やくすう」 を整せい理りし直なおし、 大学だいがく入試にゅうしや競技きょうぎ数学すうがくにつながる 「整せい数すう論」 の入口いりぐちとなります。

• 約数やくすう・倍数ばいすう の定義ていぎと性せい質しつを整せい理りする
• 倍数判定法ばいすうはんていほう (3、 4、 8、 9 の倍数ばいすう) を使つかいこなす
• 素数そすう と 素因数分解そいんすうぶんかい を確かく認にんする
• 素因数分解そいんすうぶんかいから 約数の個数やくすうのこすう・約数の和やくすうのわ を求もとめる
• 最大公約数さいだいこうやくすう (gcd) と 最小公倍数さいしょうこうばいすう (lcm) を計算けいさんする

ポイント: 整せい数すう問題もんだいの多おおくは 素因数分解そいんすうぶんかいから始はじまる。 「素因数そいんすうが何なん個こずつどのように含ふくまれているか」 を把は握あくするのが鍵かぎ。

1. 約数やくすうと倍数ばいすう

定義ていぎ

整せい数すう $a,b$ ($b\ne 0$) について、 ある整せい数すう $k$ が存在そんざいして $a=bk$ と表あらわせるとき、 「$b$ は $a$ の 約数やくすう」、 「$a$ は $b$ の 倍数ばいすう」 と言いいます。

例れい: $12=3\times 4$ なので 3 は 12 の約やく数すう、 12 は 3 の倍ばい数すう。

基本きほん性質せいしつ

• 1 はすべての整せい数すうの約やく数すう
• 任にん意いの整せい数すう $n$ に対たいし $n$ は $n$自じ身しんの約やく数すう・倍ばい数すう
• $b\mid a$ (= $b$ は $a$ を割われる) と $b\mid c$ なら $b\mid (a\pm c)$
• $b\mid a$ なら任にん意いの整せい数すう $k$ について $b\mid ka$

2. 倍数ばいすう判定はんてい法ほう

主おもな倍数ばいすう判定はんてい

数かず	判定はんてい法ほう
2	一いちの位くらいが偶ぐう数すう (0, 2, 4, 6, 8)
3	各位かくいの数字すうじの和わが 3 の倍ばい数すう
4	下した 2 桁けたが 4 の倍ばい数すう
5	一いちの位くらいが 0 か 5
6	2 の倍ばい数すうかつ 3 の倍ばい数すう
8	下した 3 桁けたが 8 の倍ばい数すう
9	各位かくいの数字すうじの和わが 9 の倍ばい数すう
11	各位かくいを交こう互ごに符号ふごうを変かえて足たした値あたいが 11 の倍ばい数すう

例題れいだい 1: 倍数ばいすう判定はんてい

12345678 はどの数かずの倍数ばいすうか。

• 一いちの位くらいは 8 → 2 の倍数ばいすう。 ただし 下した 2 桁けた 78 は 4 の倍数ばいすうではない (78 = 4·19 + 2) ので 4 の倍数ばいすうではない。 正ただしくは 2 の倍数ばいすうだけ。
• 各位かくいの和わ: $1+2+3+4+5+6+7+8=36$。 これは 9 の倍数ばいすう → 9 の倍数ばいすう (したがって 3 の倍数ばいすうでもある)。

3. 素数そすうと素因数そいんすう分解ぶんかい

素数そすうの定義ていぎ

素数そすうとは 1 とその数すう自じ身しん以外いがいに約やく数すうを持もたない 2 以上いじょうの自し然ぜん数 を言いいます。 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... が素数そすうの例れい。

注ちゅう: 1 は素数そすうではありません。

素因数そいんすう分解ぶんかい

任にん意いの 2 以上いじょうの自し然ぜん数は素数そすうの積せきとして ただ一いち通とおり に表あらわせます (素因数分解の一意性そいんすうぶんかいのいちいせい)。

例れい: $60=2^2\cdot 3\cdot 5$、 $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$、 $1024=2^{10}$、 $504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$。

分解ぶんかいの仕方しかた

小ちいさい素数そすうから順じゅんに割わり続つづけます。

$180÷2=90÷2=45÷3=15÷3=5÷5=1$。 したがって $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$。

4. 約数やくすうの個数こすうと和わ

約数やくすうの個数こすう

$n=p1a_{1}p2a_2\cdots pk{a}_k$ と素因数そいんすう分解ぶんかいされるとき、 約やく数すうの個こ数すうは

$(a_1+1)(a_2+1)\cdots (a_k+1)$

約数やくすうの総和そうわ

$\sigma \left(n\right)=(1+p_1+\cdots +p1a_1)(1+p_2+\cdots +p2a_2)\cdots$

各等比数列の和とうひすうれつのわの公こう式しき $1+p+p^2+\cdots +p^a=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}$ を使つかうと計算けいさんが楽らく。

例題れいだい 2: 180 の約数やくすう

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$。

• 個こ数すう: $(2+1)(2+1)(1+1)=18$個
• 総和そうわ: $(1+2+4)(1+3+9)(1+5)=7\cdot 13\cdot 6=546$

例題れいだい 3: 12 の約数やくすう

$12=2^2\cdot 3$。 個こ数すうは $(2+1)(1+1)=6$個 (= $\{1,2,3,4,6,12\}$)。 総和そうわは $(1+2+4)(1+3)=7\cdot 4=28$。

5. 最大公約数さいだいこうやくすうと最小公倍数さいしょうこうばいすう

定義ていぎ

• 最大公約数さいだいこうやくすう $\gcd (a,b)$: $a$ と $b$ の共きょう通つうな約やく数すうの中なかで最もっとも大おおきいもの
• 最小公倍数さいしょうこうばいすう $lcm(a,b)$: $a$ と $b$ の共きょう通つうな倍ばい数すうの中なかで最もっとも小ちいさいもの

素因数そいんすう分解ぶんかいで求もとめる

$a=p1a_{1}p2a_2\cdots$、 $b=p1b_{1}p2b_2\cdots$ と同おなじ素数そすうを共きょう通つうに並ならべたとき

$\gcd (a,b)=\prod pi\min (a_i,b_i),lcm(a,b)=\prod pi\max (a_i,b_i)$

例題れいだい 4: gcd と lcm

$a=72=2^3\cdot 3^2$、 $b=108=2^2\cdot 3^3$。

• $\gcd (a,b)=2^2\cdot 3^2=36$
• $lcm(a,b)=2^3\cdot 3^3=216$
• 検算けんざん: $\gcd \cdot lcm=36\cdot 216=7776=72\cdot 108$ ○

公式こうしき

$\gcd (a,b)\cdot lcm(a,b)=a\cdot b$

6. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	内ない容よう
倍数ばいすう判定はんてい	3, 9 は桁けたの和わ、 4 は下した 2 桁けた、 8 は下した 3 桁けた
素因数そいんすう分解ぶんかい	一いち意い性せいが保証ほしょうされる
約やく数個すうこ数すう	$(a_1+1)(a_2+1)\cdots$
約数やくすう総和そうわ	$(1+p_1+\cdots +p1a_1)\cdots$
gcd, lcm	素因数そいんすうの $\min ,\max$、 $\gcd \cdot lcm=ab$

次じの章しょうでは: 大おおきな数かずの $\gcd$ を効こう率りつよく求もとめる ユークリッドの互除法ゆーくりっどのごじょほう を学まなびます。 不定方程式ふていほうていしきへの重要じゅうような道具どうぐとなります。