三角形さんかくけいの性質せいしつ (五心ごしん)

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくでは 「三角形さんかくけいの内角ないかくの和わ」 「二等辺三角形にとうへんさんかくけいの性せい質しつ」 程てい度どでしたが、 高校こうこうでは 5 つの中心ちゅうしん (五心ごしん) とそれをめぐる強力きょうりょくな定理ていりを学まなびます。

• 重心じゅうしん (中ちゅう線せんの交点こうてん) と中線定理ちゅうせんていり
• 外心がいしん (外接円がいせつえんの中心ちゅうしん)
• 内心ないしん (内接円ないせつえんの中心ちゅうしん) と角の二等分線の定理かくのにとうぶんせんのていり
• 垂心すいしん (高たかさの交点こうてん)
• 傍心ぼうしんと 5 心こころの関係かんけい
• メネラウスの定理めねらうすのていり・チェバの定理ちぇばのていり

ポイント: 五心ごしんは 「3 本ほんの線せんが 1 点てんで交まじわる」 という共きょう通つうの不思議ふしぎな性せい質しつを持もちます。 それぞれどの線せんが集あつまるかを押おさえましょう。

1. 重心じゅうしん

定義ていぎと性質せいしつ

三角形さんかくけいの各頂点ちょうてんと対辺たいへんの中点ちゅうてんを結むすぶ線せんを 中線ちゅうせん と呼よびます。 3 本ほんの中ちゅう線せんは 1 点てんで交まじわり、 この交点こうてんが 重心じゅうしん $G$ です。

重心じゅうしんは各かく中ちゅう線せんを 頂点ちょうてんから数かぞえて 2:1 に内ない分ぶんします。

中ちゅう線せん定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ で、 辺へん$BC$ の中点ちゅうてんを $M$ とすると

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$

(中ちゅう線せん$AM$ と半辺へん $BM$ の長ながさを用もちいて、 残のこりの 2 辺へんの平方和へいほうわを表あらわす公こう式しき)。

例題れいだい 1

$BC=10$、 $AB=8$、 $AC=6$ のとき、 $BC$ の中点ちゅうてん$M$ までの距離きょり$AM$ を求もとめよ。

$BM=5$。 中ちゅう線せん定理ていりより $64+36=2(A{M}^2+25)$、 $100=2A{M}^2+50$、 $A{M}^2=25$、 $AM=5$。

2. 外心がいしん

定義ていぎ

三角形さんかくけいの各かく辺へんの 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん は 1 点てんで交まじわり、 これが 外心がいしん $O$ です。

外心がいしんは 3 つの頂点ちょうてんから等距離とうきょりにあるので、 $O$ を中心ちゅうしんとする 外接円がいせつえん が引ひけます。 $OA=OB=OC=R$ (外接がいせつ円えんの半径はんけい)。

鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかく三角形さんかくけいとの関係かんけい

三角形さんかくけい	外心がいしんの位い置ち
鋭角三角形えいかくさんかっけい	内部ないぶ
直角三角形ちょっかくさんかっけい	斜辺しゃへんの中点ちゅうてん
鈍角三角形どんかくさんかっけい	外部がいぶ

直角ちょっかく三角形さんかくけいで外心がいしんが斜辺しゃへんの中点ちゅうてんに来くるのは、 円周角の定理えんしゅうかくのていりの系けいからも説せつ明めいできます (直径ちょっけいに立たつ円周えんしゅう角かく = 90°)。

3. 内心ないしん

定義ていぎ

三角形さんかくけいの各かく内角ないかくの 二等分線にとうぶんせん は 1 点てんで交まじわり、 これが 内心ないしん $I$ です。

$I$ から 3 辺へんまでの距離きょりはすべて等ひとしく、 これが 内接円ないせつえん の半径はんけい$r$。

角かくの二に等分とうぶん線せんの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ で、 $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんが辺へん$BC$ と $D$ で交まじわると

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

つまり 「対辺たいへんを 2 つの隣りん接せつ辺へんの比ひに内分ないぶんする」。

例題れいだい 2

$AB=9$、 $AC=6$、 $BC=10$ の $△ABC$ で、 $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんと $BC$ の交点こうてん$D$ について $BD$ を求もとめよ。

$BD:DC=9:6=3:2$。 $BC=10$ を 3:2 に内分ないぶんするので $BD=10\cdot \frac{3}{5}=6$。

4. 垂心すいしん

定義ていぎ

三角形さんかくけいの各かく頂点ちょうてんから対辺たいへんに下おろした 垂線すいせん (= 高たかさ) は 1 点てんで交まじわり、 これが 垂心すいしん $H$ です。

五心ごしんの位置いち関係かんけい

鋭角三角形えいかくさんかっけいでは 重心じゅうしん・外心がいしん・内心ないしん・垂心すいしん の 4 つが三角形さんかくけいの内部ないぶにあります。 直角三角形ちょっかくさんかっけいでは垂心すいしん = 直角ちょっかくの頂点ちょうてんで、 外心がいしんは斜辺しゃへんの中点ちゅうてん。 鈍角三角形どんかくさんかっけいでは垂心すいしんと外心がいしんが三角形さんかくけいの外そとに出でます。 重心じゅうしん・内心ないしんは常つねに内部ないぶ、 傍心ぼうしん (3 つ) は三角形さんかくけいの外部がいぶ (各かく辺へんの外側そとがわ) に位置いちします。

オイラー線

正三角形せいさんかくけいを除のぞく任にん意いの三角形さんかくけいで 重心じゅうしん$G$、 外心がいしん$O$、 垂心すいしん$H$ は一直線いっちょくせん上じょう に並ならび、 $OG:GH=1:2$ となります。 この直線ちょくせんをオイラー線おいらーせんと呼よびます。 鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかくのどの三角形さんかくけいでも成立せいりつします。 (正三角形せいさんかくけいでは 5 心こころが 1 点てんに一致いっちするため線せんとして定義ていぎされません)

5. 傍心ぼうしん

定義ていぎ

三角形さんかくけい $ABC$ の 1 つの内角ないかく (二等分線にとうぶんせん) と他たの 2 つの外角がいかく (二等分線にとうぶんせん) は 1 点てんで交まじわります。 この点てんを、 その内角ないかくがある頂点ちょうてんの 「対辺たいへん側」 にある 傍心ぼうしん と呼よびます。 三角形さんかくけいには 3 つの傍心ぼうしんがあります。

各かく傍心ぼうしんは三角形さんかくけいの 1 辺へんと他た 2 辺へんの延長えんちょうに接せっする 傍接円ぼうせつえん の中心ちゅうしんです。

6. メネラウス・チェバの定理ていり

メネラウスの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ と、 その 3 辺へんまたはその延長えんちょう上じょうを通とおる 1 本ほんの直線ちょくせんが各かく辺へん (または延長えんちょう) と点$P,Q,R$ で交まじわるとき、

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$

符号ふごうを付つけて 「比ひを一周いっしゅうしてかける = 1」 と覚おぼえます。

チェバの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ の 3 頂点ちょうてんから引ひいた 3 本ほんの直線ちょくせん (チェバ線せん) が 1 点てんで交まじわるための必ひつ要よう十じゅう分ぶん条件じょうけんは、 各線かくせんが対辺たいへんと交まじわる点$P,Q,R$ について

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$

(積せきが +1)。 重心じゅうしん、 内心ないしんなどの 「3 本ほんが 1 点てんで交まじわる」 はチェバで説せつ明めいできます。

例題れいだい 3 (メネラウス)

$△ABC$ で直線ちょくせんが辺へん$BC$ を 1:2 に、 辺へん$CA$ を 3:1 に切きるとき、 辺へん$AB$ (の延長えんちょう) を何なに対たい何なにに切きるか。

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$。 $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{AR}{RB}=1$、 $\frac{AR}{RB}=\frac{2}{3}$。

7. 章しょう末まつまとめ

中心ちゅうしん	定義ていぎ	集あつまる線せん
重心じゅうしん $G$	中ちゅう線せんの交点こうてん	中ちゅう線せん (2:1 内分ないぶん)
外心がいしん $O$	外接がいせつ円えんの中心ちゅうしん	各かく辺へんの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん
内心ないしん $I$	内接ないせつ円えんの中心ちゅうしん	内角ないかくの二に等分とうぶん線せん
垂心すいしん $H$	高たかさの交点こうてん	各かく頂点ちょうてんからの垂線すいせん
傍心ぼうしん	傍接円ぼうせつえんの中心ちゅうしん	1 内角ないかく + 2 外角がいかくの二に等分とうぶん線せん

次じの章しょうでは: 円えんに関かんする強力きょうりょくな定理ていり群ぐん (接せっ弦げん定理ていり・方ぽうべきの定理ていり・トレミーの定理とれみーのていり) を学まなびます。