三角形さんかくけい の 性質せいしつ (五ご心こころ)

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくでは 「三角形さんかくけいの内角ないかくの和わ」 「二等辺三角形にとうへんさんかっけい の性せい質しつ」 程てい度ど でしたが、 高校こうこうでは 5 つの中心ちゅうしん (五心ごしん) とそれをめぐる強力きょうりょくな定理ていりを学まなびます。

• 重心じゅうしん (中ちゅう線せんの交点こうてん) と 中線定理ちゅうせんていり
• 外心がいしん (外接円がいせつえん の中心ちゅうしん)
• 内心ないしん (内接円ないせつえん の中心ちゅうしん) と 角の二等分線の定理かくのにとうぶんせんのていり
• 垂心すいしん (高たかさの交点こうてん)
• 傍心ぼうしん と 5 心こころの関係かんけい
• メネラウスの定理めねらうすのていり・チェバの定理ちぇばのていり

ポイント: 五ご心こころは 「3 本ほんの線せんが 1 点てんで交まじわる」 という共きょう通つう の不思議ふしぎな性せい質しつ を持もちます。 それぞれどの線せんが集あつまるかを押おさえましょう。

1. 重心じゅうしん

定義ていぎと性質せいしつ

三角形さんかくけい の各頂点ちょうてん と対辺たいへん の中点ちゅうてんを結むすぶ線せんを 中線ちゅうせん と呼よびます。 3 本ほんの中ちゅう線せんは 1 点てんで交まじわり、 この交点こうてんが 重心じゅうしん $G$ です。

重心じゅうしん は各かく中ちゅう線せんを 頂点ちょうてんから数かぞえて 2:1 に内ない分ぶん します。

中ちゅう線せん定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ で、 辺$BC$ の中点ちゅうてんを $M$ とすると

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{M}^2+B{M}^2)$

(中ちゅう線せん$AM$ と半はん辺あたり$BM$ の長ながさを用もちいて、 残のこりの 2 辺あたりの平方和へいほうわを表あらわす公こう式しき)。

例題れいだい 1

$BC=10$、 $AB=8$、 $AC=6$ のとき、 $BC$ の中点ちゅうてん$M$ までの距離きょり$AM$ を求もとめよ。

$BM=5$。 中ちゅう線せん定理ていりより $64+36=2(A{M}^2+25)$、 $100=2A{M}^2+50$、 $A{M}^2=25$、 $AM=5$。

2. 外心がいしん

定義ていぎ

三角形さんかくけい の各かく辺あたりの 垂直二等分線すいちょくにとうぶんせん は 1 点てんで交まじわり、 これが 外心がいしん $O$ です。

外心がいしんは 3 つの頂点ちょうてんから等距離とうきょりにあるので、 $O$ を中心ちゅうしんとする 外接円がいせつえん が引ひけます。 $OA=OB=OC=R$ (外接がいせつ円えんの半径はんけい)。

鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかく三角形さんかくけいとの関係かんけい

三角形さんかくけい	外心がいしんの位い置ち
鋭角三角形えいかくさんかっけい	内部ないぶ
直角三角形ちょっかくさんかっけい	斜辺しゃへんの中点ちゅうてん
鈍角三角形どんかくさんかっけい	外部がいぶ

直角ちょっかく三角形さんかくけいで外心がいしんが斜辺しゃへんの中点ちゅうてんに来くるのは、 円周角の定理えんしゅうかくのていり の系けいからも説せつ明めい できます (直径ちょっけいに立たつ円周えんしゅう角かく = 90°)。

3. 内心ないしん

定義ていぎ

三角形さんかくけい の各かく内角ないかくの 二等分線にとうぶんせん は 1 点てんで交まじわり、 これが 内心ないしん $I$ です。

$I$ から 3 辺あたりまでの距離きょりはすべて等ひとしく、 これが 内接円ないせつえん の半径はんけい$r$。

角かくの二に等分とうぶん線せんの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ で、 $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんが辺$BC$ と $D$ で交まじわると

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

つまり 「対辺たいへんを 2 つの隣りん接せつ辺の比ひに内分ないぶんする」。

例題れいだい 2

$AB=9$、 $AC=6$、 $BC=10$ の $△ABC$ で、 $\angle A$ の二に等分とうぶん線せんと $BC$ の交点こうてん$D$ について $BD$ を求もとめよ。

$BD:DC=9:6=3:2$。 $BC=10$ を 3:2 に内分ないぶんするので $BD=10\cdot \frac{3}{5}=6$。

4. 垂心すいしん

定義ていぎ

三角形さんかくけい の各かく頂点ちょうてんから対辺たいへん に下おろした 垂線すいせん (= 高たかさ) は 1 点てんで交まじわり、 これが 垂心すいしん $H$ です。

五ご心こころの位置いち関係かんけい

鋭角三角形えいかくさんかっけい では 重心じゅうしん・外心がいしん・内心ないしん・垂心すいしん の 4 つが三角形さんかくけいの内部ないぶにあります。 直角三角形ちょっかくさんかっけい では垂心すいしん = 直角ちょっかくの頂点ちょうてんで、 外心がいしんは斜辺しゃへんの中点ちゅうてん。 鈍角三角形どんかくさんかっけい では垂心すいしんと外心がいしんが三角形さんかくけいの外そとに出でます。 重心じゅうしん・内心ないしんは常つねに内部ないぶ、 傍心ぼうしん (3 つ) は三角形さんかくけいの外部がいぶ (各かく辺あたりの外側そとがわ) に位置いちします。

オイラー線

正三角形せいさんかっけい を除のぞく任にん意い の 三角形さんかくけい で 重心じゅうしん$G$、 外心がいしん$O$、 垂心すいしん$H$ は一直線いっちょくせん上じょう に並ならび、 $OG:GH=1:2$ となります。 この直線ちょくせんを オイラー線おいらーせん と呼よびます。 鋭角えいかく・直角ちょっかく・鈍角どんかくのどの三角形さんかくけいでも成立せいりつします。 (正三角形せいさんかっけいでは 5 心こころが 1 点てんに一致いっちするため線せんとして定義ていぎされません)

5. 傍心ぼうしん

定義ていぎ

三角形さんかくけい $ABC$ の 1 つの内角ないかく (二等分線にとうぶんせん) と他たの 2 つの外角がいかく (二等分線にとうぶんせん) は 1 点てんで交まじわります。 この点てんを、 その内角ないかくがある頂点ちょうてんの 「対辺たいへん側」 にある 傍心ぼうしん と呼よびます。 三角形さんかくけいには 3 つの傍心ぼうしんがあります。

各かく傍心ぼうしんは三角形さんかくけいの 1 辺あたりと他た 2 辺あたりの延長えんちょうに接せっする 傍接円ぼうせつえん の中心ちゅうしんです。

6. メネラウス・チェバの定理ていり

メネラウスの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ と、 その 3 辺あたりまたはその延長えんちょう上じょうを通とおる 1 本ほんの直線ちょくせんが各かく辺あたり (または延長えんちょう) と点$P,Q,R$ で交まじわるとき、

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$

符号ふごうを付つけて 「比ひを一周いっしゅうしてかける = 1」 と覚おぼえます。

チェバの定理ていり

三角形さんかくけい $ABC$ の 3 頂点ちょうてんから引ひいた 3 本ほんの直線ちょくせん (チェバ線せん) が 1 点てんで交まじわるための必ひつ要よう十じゅう分ぶん条件じょうけんは、 各線かくせんが対辺たいへん と交まじわる点$P,Q,R$ について

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$

(積せきが +1)。 重心じゅうしん、 内心ないしんなどの 「3 本ほんが 1 点てんで交まじわる」 はチェバで説せつ明めい できます。

例題れいだい 3 (メネラウス)

$△ABC$ で直線ちょくせんが辺$BC$ を 1:2 に、 辺$CA$ を 3:1 に切きるとき、 辺$AB$ (の延長えんちょう) を何なに対たい何なにに切きるか。

$\frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}\cdot \frac{AR}{RB}=1$。 $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{AR}{RB}=1$、 $\frac{AR}{RB}=\frac{2}{3}$。

7. 章しょう末まつまとめ

中心ちゅうしん	定義ていぎ	集あつまる線せん
重心じゅうしん $G$	中ちゅう線せんの交点こうてん	中ちゅう線せん (2:1 内分ないぶん)
外心がいしん $O$	外接がいせつ円えんの中心ちゅうしん	各かく辺あたりの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん
内心ないしん $I$	内接ないせつ円えんの中心ちゅうしん	内角ないかくの二に等分とうぶん線せん
垂心すいしん $H$	高たかさの交点こうてん	各かく頂点ちょうてんからの垂線すいせん
傍心ぼうしん	傍接円ぼうせつえんの中心ちゅうしん	1 内角ないかく + 2 外角がいかくの二に等分とうぶん線せん

次じの章しょうでは: 円えん に関かんする強力きょうりょくな定理ていり群ぐん (接せっ弦つる定理ていり・方ぽうべきの定理ていり・トレミーの定理とれみーのていり) を学まなびます。