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中学 で は 「三角形 の 内角 の 和」 「二等辺三角形 の 性質」 程度 で し た が、 高校 で は 5 つ の 中心 (五心) と それ を め ぐ る 強力 な 定理 を 学 び ま す。
ポイント: 五心 は 「3 本 の 線 が 1 点 で 交 わ る」 と い う 共通 の 不思議 な 性質 を 持 ち ま す。 そ れ ぞ れ ど の 線 が 集 ま る か を 押 さ え ま し ょ う。
三角形 の 各頂点 と 対辺 の 中点 を 結 ぶ 線 を 中線 と 呼 び ま す。 3 本 の 中線 は 1 点 で 交 わ り、 こ の 交点 が 重心 (G) です。
重心 は 各中線 を 頂点 か ら 数 え て 2:1 に 内分 し ま す。
三角形 (ABC) で、 辺 (BC) の 中点 を (M) と す る と
[ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) ]
(中線 (AM) と 半辺 (BM) の 長 さ を 用 い て、 残 り の 2 辺 の 平方和 を 表 す 公式)。
(BC = 10)、 (AB = 8)、 (AC = 6) の と き、 (BC) の 中点 (M) ま で の 距離 (AM) を 求 め よ。
(BM = 5)。 中線定理 よ り (64 + 36 = 2(AM^2 + 25))、 (100 = 2 AM^2 + 50)、 (AM^2 = 25)、 (AM = 5)。
三角形 の 各辺 の 垂直二等分線 は 1 点 で 交 わ り、 こ れ が 外心 (O) で す。
外心 は 3 つ の 頂点 か ら 等距離 に あ る の で、 (O) を 中心 と す る 外接円 が 引 け ま す。 (OA = OB = OC = R) (外接円 の 半径)。
| 三角形 | 外心 の 位置 |
|---|---|
| [[鋭角三角形 | えいかくさんかっけい]] |
| [[直角三角形 | ちょっかくさんかっけい]] |
| [[鈍角三角形 | どんかくさんかっけい]] |
直角三角形 で 外心 が 斜辺 の 中点 に 来 る の は、 円周角の定理 の 系 か ら も 説明 で き ま す (直径 に 立 つ 円周角 = 90°)。
三角形 の 各内角 の 二等分線 は 1 点 で 交 わ り、 こ れ が 内心 (I) です。
(I) か ら 3 辺 ま で の 距離 は す べ て 等 し く、 こ れ が 内接円 の 半径 (r)。
三角形 (ABC) で、 (\angle A) の 二等分線 が 辺 (BC) と (D) で 交 わ る と
[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} ]
つ ま り 「対辺 を 2 つ の 隣接辺 の 比 に 内分 す る」。
(AB = 9)、 (AC = 6)、 (BC = 10) の (\triangle ABC) で、 (\angle A) の 二等分線 と (BC) の 交点 (D) に つ い て (BD) を 求 め よ。
(BD : DC = 9 : 6 = 3 : 2)。 (BC = 10) を 3:2 に 内分 す る の で (BD = 10 \cdot \dfrac{3}{5} = 6)。
三角形 の 各頂点 か ら 対辺 に 下 ろ し た 垂線 (= 高 さ) は 1 点 で 交 わ り、 こ れ が 垂心 (H) です。
鋭角三角形 で は 重心・外心・内心・垂心 の 4 つ が 三角形 の 内部 に あ り ま す。 直角三角形 で は 垂心 = 直角 の 頂点 で、 外心 は 斜辺 の 中点。 鈍角三角形 で は 垂心 と 外心 が 三角形 の 外 に 出 ま す。 重心・内心 は 常 に 内部、 傍心 (3 つ) は 三角形 の 外部 (各辺 の 外側) に 位置 し ま す。
正三角形 を 除 く 任意 の 三角形 で 重心 (G)、 外心 (O)、 垂心 (H) は 一直線上 に 並 び、 (OG : GH = 1 : 2) と な り ま す。 こ の 直線 を オイラー線 と 呼 び ま す。 鋭角・直角・鈍角 の ど の 三角形 で も 成立 し ま す。 (正三角形 で は 5 心 が 1 点 に 一致 す る た め 線 と し て 定義 さ れ ま せ ん)
三角形 (ABC) の 1 つ の 内角 (二等分線) と 他 の 2 つ の 外角 (二等分線) は 1 点 で 交 わ り ま す。 こ の 点 を、 そ の 内角 が あ る 頂点 の 「対辺側」 に あ る 傍心 と 呼 び ま す。 三角形 に は 3 つ の 傍心 が あ り ま す。
各傍心 は 三角形 の 1 辺 と 他 2 辺 の 延長 に 接 す る 傍接円 の 中心 で す。
三角形 (ABC) と、 そ の 3 辺 ま た は そ の 延長上 を 通 る 1 本 の 直線 が 各辺 (ま た は 延長) と 点 (P, Q, R) で 交 わ る と き、
[ \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1 ]
符号 を 付 け て 「比 を 一周 し て か け る = 1」 と 覚 え ま す。
三角形 (ABC) の 3 頂点 か ら 引 い た 3 本 の 直線 (チ ェ バ 線) が 1 点 で 交 わ る た め の 必要十分条件 は、 各線 が 対辺 と 交 わ る 点 (P, Q, R) に つ い て
[ \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} \cdot \frac{AR}{RB} = 1 ]
(積 が +1)。 重心、 内心 な ど の 「3 本 が 1 点 で 交 わ る」 は チ ェ バ で 説明 で き ま す。
(\triangle ABC) で 直線 が 辺 (BC) を 1:2 に、 辺 (CA) を 3:1 に 切 る と き、 辺 (AB) (の 延長) を 何対何 に 切 る か。
(\dfrac{BP}{PC} \cdot \dfrac{CQ}{QA} \cdot \dfrac{AR}{RB} = 1)。 (\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{1} \cdot \dfrac{AR}{RB} = 1)、 (\dfrac{AR}{RB} = \dfrac{2}{3})。
| 中心 | 定義 | 集 ま る 線 |
|---|---|---|
| [[重心 | じゅうしん]] (G) | 中線 の 交点 |
| [[外心 | がいしん]] (O) | 外接円 の 中心 |
| [[内心 | ないしん]] (I) | 内接円 の 中心 |
| [[垂心 | すいしん]] (H) | 高 さ の 交点 |
| [[傍心 | ぼうしん]] | 傍接円 の 中心 |
次 の 章 で は: 円 に 関 す る 強力 な 定理群 (接弦定理・方 べ き の 定理・トレミーの定理) を 学 び ま す。