円えんの性質せいしつ (接せっ弦げん定理ていり・方ぽうべきの定理ていり)

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく A の図形ずけい分野ぶんやを締しめくくる章しょうです。 中学ちゅうがくで学まなんだ円周角の定理えんしゅうかくのていりを拡かく張ちょうし、 接線せっせんが関かかわる角かくと長ながさの関係かんけいを学まなびます。

• 円周角の定理えんしゅうかくのていり の復ふく習しゅう
• 接弦定理せつげんていり (接線せっせんと弦げんのなす角かく)
• 方べきの定理ほうべきのていり (3 つのパターン)
• 円に内接する四角形えんにないせつするしかっけい の性せい質しつ
• トレミーの定理とれみーのていり (発はっ展てん)

ポイント: 「円周えんしゅう上じょうの同おなじ弧こを見みる角度かくどは等ひとしい」 という円周角の定理えんしゅうかくのていりが全すべての出発しゅっぱつ点てん。 接線せっせんがからむときは、 接点せってんを 「動うごかすことができない弦げんの端はじ」 と解かい釈しゃくすると接せっ弦げん定理ていりにつながります。

1. 円周えんしゅう角かくの定理ていり (復習ふくしゅう)

定理ていり

円周えんしゅう上じょうの 2 点$A,B$ と、 弧$AB$ (中心ちゅうしん角かくの反対はんたい側がわ) の上うえにある任にん意いの点$P$ について、 円周角えんしゅうかく $\angle APB$ は弧$AB$ に対たいする 中心角ちゅうしんかくの半分はんぶん:

$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$

系けい (重要じゅうよう)

• 同おなじ弧こに対たいする円周えんしゅう角かくは 等ひとしい
• 直径ちょっけい に対たいする円周えんしゅう角かくは 90°

例題れいだい 1

円$O$上に $A,B,C$ を取とり、 $\angle BOC=80°$ とする。 $\angle BAC$ を求もとめよ ($A$ は弧$BC$ の反対はんたい側がわ)。

円周角えんしゅうかく = 中心ちゅうしん角かく ÷ 2 なので $\angle BAC=40°$。

2. 接せっ弦げん定理ていり

定理ていり

円えんに接せっする直線ちょくせんがあり、 接点せってんを $T$ とする。 弦げん$TA$ を引ひくと、 弦げん$TA$ は円えんを 2 つの弧こに分わけます。 接線せっせん上じょうに点$P$ をとったとき、 接線せっせんと弦げんのなす角$\angle PTA$ は、 $P$ がある側がわとは反対はんたい側がわの弧こ (英語えいごで alternate segment、 「反対はんたい側がわの弧こ」) 上うえの円周角えんしゅうかくと等ひとしくなります:

$\angle PTA=\angle ABT$

($B$ は 「弦げん$TA$ が分わける 2 つの弧このうち、 接線せっせん上じょうの点$P$ とは 反対はんたい側がわ の弧こ」 上うえの任にん意いの点てん)。

つまり、 接線せっせんが弦げんの一方いっぽうの側がわを向むいていれば、 その角かくと等ひとしい円周えんしゅう角かくは 反対はんたい側がわ の弧こから見みた角かくです。 弦げんと接線せっせんが作つくる角かくは 2 種類しゅるいあり (鈍角どんかくと鋭角えいかく)、 それぞれ別べつの弧この円周えんしゅう角かくと対応たいおうします。

直感ちょっかん的てきな説明せつめい

接線せっせんを 「無限むげんに短みじかい弦げんの端はじ」 とみなすと、 接せっ弦げん定理ていりは 「同おなじ弧こを見みる円周えんしゅう角かくは等ひとしい」 という円周えんしゅう角かくの定理ていりの極限きょくげんとして自然しぜんに出でてきます。

例題れいだい 2

円えんに接せっする直線ちょくせんが接点せってん$T$ で接せっし、 接線せっせん上じょうの点$P$ をとる。 弦げん$TA$ と接線せっせんのなす角$\angle PTA=70°$ とする。 弦げん$TA$ が分わける 2 つの弧このうち、 $P$ とは反対はんたい側がわの弧こ 上うえの点$B$ から弦げん$TA$ を見みた円周角えんしゅうかく $\angle TBA$ を求もとめよ。

接せっ弦げん定理ていりより $\angle TBA=\angle PTA=70°$。

3. 方ほうべきの定理ていり

パターン 1: 弦げん同士どうしが円えん内ないで交まじわる

円えん内ないの 1 点$P$ を通とおる 2 本ほんの弦げん$AB$、 $CD$ が $P$ で交まじわるとき

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

パターン 2: 弦げん (の延長えんちょう) が円えん外がいで交まじわる

円えん外がいの 1 点$P$ から円えんを切きる 2 本ほんの直線ちょくせん (割線かっせん) が、 円えんと $A,B$ および $C,D$ で交まじわるとき

$PA\cdot PB=PC\cdot PD$

パターン 3: 接線せっせんと割線かっせん

円えん外がいの 1 点$P$ からの 接線せっせん $PT$ と 割線かっせん $PAB$ ($A,B$ は円周えんしゅう上じょう) について

$P{T}^2=PA\cdot PB$

覚おぼえ方かた: どのパターンも 「$P$ から円えんまでの 2 本ほんの距離きょりの積せき = 一定いってい」。 この値あたいを方べきほうべきと呼よびます。

例題れいだい 3 (パターン 3)

円えん外がいの点$P$ から接線せっせん$PT$ を引ひいて $PT=6$。 $P$ を通とおる割線かっせんが円えんと $A,B$ で交まじわり、 $PA=3$ とする。 $PB$ を求もとめよ。

$P{T}^2=PA\cdot PB$ より $36=3\cdot PB$、 $PB=12$。 したがって $AB=12-3=9$。

例題れいだい 4 (パターン 1)

円えん内ないで弦げん$AB$ と弦げん$CD$ が 1 点$P$ で交まじわり、 $PA=4,PB=6,PC=3$ のとき $PD$ を求もとめよ。

$4\cdot 6=3\cdot PD$ より $PD=8$。

4. 円えんに内接ないせつする四角形しかくけい

性質せいしつ 1: 対たい角かくの和わ

円えんに内ない接せつする四角形しかくけい $ABCD$ で

$\angle A+\angle C=180°,\angle B+\angle D=180°$

性質せいしつ 2: 外角がいかく = 内うち対たい角かく

四角形しかくけいの 1 つの外角がいかくは、 それに隣となり合あわない内角ないかく (= 内うち対たい角かく) と等ひとしい。

内接ないせつするための条件じょうけん

四角形しかくけい $ABCD$ が円えんに内接ないせつする必ひつ要よう十じゅう分ぶん条件じょうけんは、 上うえの 「対たい角かくの和わが 180°」 (または同値どうちな 「外角がいかく = 内うち対たい角かく」) が成なり立たつこと。

例題れいだい 5

円えんに内接ないせつする四角形しかくけい $ABCD$ で $\angle A=70°$、 $\angle B=95°$ のとき、 $\angle C$、 $\angle D$ を求もとめよ。

$\angle C=180°-70°=110°$、 $\angle D=180°-95°=85°$。

5. トレミーの定理ていり (発展はってん)

定理ていり

円えんに内接ないせつする四角形しかくけい $ABCD$ について、 対角線たいかくせんと辺へんの長ながさの間まに

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

(対角線たいかくせんの積せき = 向むかい合あう辺へんの積せきの和わ)。

例題れいだい 6

円えんに内接ないせつする正方形せいほうけい $ABCD$ で 1 辺へんを 1 とする。 対角線たいかくせん$AC$ を求もとめよ。

$AC=BD$ (対称たいしょう性せい)、 $AB=BC=CD=DA=1$。 トレミーより $A{C}^2=1\cdot 1+1\cdot 1=2$、 $AC=\sqrt{2}$。 (ピタゴラスの定理ぴたごらすのていりと一いっ致ち)。

6. 章しょう末まつまとめ

定理ていり	内ない容よう
円周えんしゅう角かく	$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB$
接せっ弦げん定理ていり	接線せっせんと弦げんの角かく = 反対はんたい側がわの円周えんしゅう角かく
方ほうべき (内ない)	$PA\cdot PB=PC\cdot PD$
方ほうべき (外がい)	同上どうじょう
方ほうべき (接せっ)	$P{T}^2=PA\cdot PB$
内接ないせつ四角形しかくけい	対たい角かくの和わ = 180°
トレミー	$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

7. 補足ほそく: 円えんと直線ちょくせんの位置いち関係かんけい

接せっするか交まじわるか

円$O$ (半径はんけい$r$) と直線ちょくせん$\ell$ の位い置ち関係かんけいは、 中心ちゅうしん$O$ から $\ell$ までの距離きょり$d$ で決きまります。

$d$ と $r$	関係かんけい	共きょう通つう点てんの数かず
$d>r$	離はなれている	0
$d=r$	接せっする	1
	交まじわる	2

2 円えんの位置いち関係かんけい

2 つの円えん (半径はんけい$r_1,r_2$、 中心ちゅうしん間かん距離きょり$d$) の関係かんけい:

距離きょり	関係かんけい
$d>r_1+r_2$	互たがいに外部がいぶ (共きょう通つう点てん 0)
$d=r_1+r_2$	外接がいせつ (共きょう通つう点てん 1)
	交まじわる (共きょう通つう点てん 2)
$d=\parallel r_1-r_2\parallel$	内接ないせつ (共きょう通つう点てん 1)
	一方いっぽうが他方たほうの内部ないぶ (共きょう通つう点てん 0)

大事だいじ: 円えんと直線ちょくせん、 円えんと円えんの関係かんけいは 必かならず距離きょりと半径はんけいで比くらべる。 図ずだけで判はん断だんせず、 必かならず計算けいさんで確かく認にんすること。

数学すうがく A 全体ぜんたいを振ふり返かえって: 場合ばあいの数かず・確率かくりつ・整せい数すう・図形ずけいと、 一見いっけんバラバラな 4 分野ぶんやを学まなびましたが、 いずれも 「論理ろんりを形式けいしき化かする訓練くんれん」 という共きょう通つう点てんがあります。 数学すうがく II・B、 III に進すすんでも、 この訓練くんれんは必かならず役やくに立たちます。