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第 1 章 で 学 ん だ 順列 は 「順番 を 区別」 す る 並 べ 方 で し た。 こ の 章 で は 「順番 を 区別 し な い」 取 り 出 し 方 = 組合せ を 学 び ま す。
ポイント: 「順番 を 区別 す る か」 を 文章 か ら 読 み 取 れ る か が 鍵。 例: 「委員長・副委員長 を 選 ぶ」 → 順列、 「委員 を 2 人選 ぶ」 → 組合 せ。
異なる (n) 個 の も の か ら 順序 を 区別 せ ず に (r) 個取 り 出 す 取 り 出 し 方 を、 (n) 個 か ら (r) 個取 る 組合せ と 呼 び、 ({}_n C_r) と 書 き ま す。
[ {}_n C_r = \frac{{}_n P_r}{r!} = \frac{n!}{r! , (n-r)!} ]
(n) 個 か ら (r) 個並 べ る 並 べ 方 は ({}_n P_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}) 通 り です。 こ の う ち、 同 じ (r) 個 の 組 を 並 べ た も の が (r!) 通 り ず つ 重複 し て い る の で、 (r!) で 割 れ ば 組合 せ の 数 に な り ま す。
計算 の コツ: 分子・分母 と も に (r) 個 ず つ の 因数 を 書 い て、 約分 し な が ら 計算 す る と 速 い。
[ {}_n C_r = {}n C{n-r} ]
「(r) 個取 る」 こ と は 「((n-r)) 個残 す」 こ と に 等 し い か ら です。 例: ({}{10} C_8 = {}{10} C_2 = 45)。 こ の 性質 を 使 う と 計算 が 楽 に な り ま す。
({}_n C_0 = 1) (何 も 取 ら な い 1 通 り)、 ({}_n C_n = 1) (全部取 る 1 通 り)、 ({}_n C_1 = n) (1 個取 る (n) 通 り)。
[ {}n C_r = {}{n-1} C_{r-1} + {}_{n-1} C_r ]
と い う 漸化式 が 成 り 立 ち、 こ れ を 並 べ た も の が パスカルの三角形 で す。
| 段 | 値 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
各数 は 「左上 + 右上」 の 和 に な っ て い ま す。
10 人 の 中 か ら 委員 を 3 人選 ぶ 選 び 方 は ({}_{10} C_3 = 120) 通 り。
男子 6 人、 女子 4 人 か ら 男子 2 人 と 女子 2 人 を 選 ぶ 選 び 方 は ({}_6 C_2 \times {}_4 C_2 = 15 \times 6 = 90) 通 り (積 の 法則)。
10 人 か ら 4 人 を 選 ぶ と き、 特定 の 1 人 A を 必 ず 含 む 選 び 方 は ? A を 先 に 選 ん だ 後、 残 り 9 人 か ら 3 人選 べ ば よ い の で ({}_9 C_3 = 84) 通 り。
A を 含 ま な い 選 び 方 は ({}9 C_4 = 126) 通 り。 合計 (84 + 126 = 210 = {}{10} C_4) と な り 確認 で き ま す。
異なる (n) 種類 の も の か ら 重複 を 許 し て (r) 個取 る 取 り 方 の 総数 を 重複組合せ と 呼 び、
[ {}n H_r = {}{n+r-1} C_r ]
と 表 し ま す。
(n = 3)、 (r = 5) の と き、 「○ ○ ○ ○ ○」 の 5 個 の ○ と 「| |」 の 仕切 り 2 本 (= (n - 1) 本) を 並 べ ま す。 仕切 り で 区切 ら れ た 部分 が そ れ ぞ れ 種類 1・2・3 の 個数 を 表 し ま す。
並 べ 方 は (\dfrac{(5+2)!}{5! , 2!} = {}_7 C_2 = 21) 通 り。 こ れ が ({}3 H_5 = {}{3+5-1} C_5 = {}_7 C_5 = 21) と 一致 し ま す。
3 種類 の お 菓子 か ら 重複 を 許 し て 5 個選 ぶ 選 び 方 は ({}_3 H_5 = 21) 通 り。
「9 人 を A 組 4 人・B 組 3 人・C 組 2 人 に 分 け る」 分 け 方 は
[ {}_9 C_4 \times {}_5 C_3 \times {}_2 C_2 = 126 \times 10 \times 1 = 1260 \text{ 通 り} ]
と 順番 に 取 っ て い け ば 求 ま り ま す。
「9 人 を 3 人 ず つ 3 組 に 分 け る」 と き は、 組 を 区別 し な い の で 上 で 求 め た 結果 を (3!) で 割 り ま す。 (\dfrac{{}_9 C_3 \times {}_6 C_3 \times {}_3 C_3}{3!} = \dfrac{84 \times 20 \times 1}{6} = 280) 通 り。
注意: 組 の 人数 が す べ て 同 じ と き だ け 「組 を 区別 し な い」 場合 を 考 え る 必要 が あ り ま す。 人数 が 違 え ば 自動的 に 組 が 区別 さ れ ま す。
| 道具 | 公式 | 使 う 場面 |
|---|---|---|
| 組合 せ | ({}_n C_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}) | 順番区別 な し で 取 る |
| 対称性 | ({}_n C_r = {}n C{n-r}) | 計算 を 楽 に |
| 重複組合 せ | ({}n H_r = {}{n+r-1} C_r) | 重複 OK で 取 る |
| 組分 け (区別) | ({}n C_a \times {}{n-a} C_b \cdots) | 名前付 き 組 |
| 組分 け (同数) | 上 を (k!) で 割 る | 同人数 (k) 組 |
文章題 を 解 く と き、 次 の チェ ッ ク を 通 し ま し ょ う。
| 質問 | YES → 順列 | NO → 組合 せ |
|---|---|---|
| 「並 べ る」 「順番 を 決 め る」 と 書 い て あ る か | ○ | |
| 「役割 が 違 う」 (委員長・副委員長等) | ○ | |
| 「選 ぶ だ け」 「セ ッ ト と し て 取 り 出 す」 | ○ | |
| 「順番 を 区別 し な い 同 じ 役割 の 委員」 | ○ |
迷 っ た ら 小 さ い 例 で 樹形図 を 書 い て み る と 確実 に 判別 で き ま す。
次 の 章 で は: 場合 の 数 を 全体 で 割 っ て 確率 を 求 め ま す。 「同様 に 確 か ら し い」 と い う 考 え 方 が ポイント です。