組合せくみあわせ (nCr・重複じゅうふく・組くみ分わけ)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 1 章しょうで学まなんだ順列じゅんれつは 「順番じゅんばんを区別くべつ」 する並ならべ方かたでした。 この章しょうでは 「順番じゅんばんを区別くべつしない」 取とり出だし方かた = 組合せくみあわせを学まなびます。

• 順列じゅんれつと組合せくみあわせの違ちがいを区別くべつする
• ${}_n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ の公こう式しきを導みちびく
• 組合せくみあわせの性せい質しつ (${}_n{C}_r={}_n{C}_{n-r}$ ほか) を使つかいこなす
• 重複組合せちょうふくくみあわせ ${}_n{H}_r$ を仕切しきり法ほうで理り解かいする
• 組分けくみわけ 問題もんだいを組合せくみあわせで解とく

ポイント: 「順番じゅんばんを区別くべつするか」 を文ぶん章しょうから読よみ取とれるかが鍵かぎ。 例れい: 「委い員いん長ちょう・副ふく委員いいん長ちょうを選えらぶ」 → 順列じゅんれつ、 「委員いいんを 2 人ひと選えらぶ」 → 組合せくみあわせ。

1. 組合せくみあわせの公式こうしき

定義ていぎ

異なること $n$個のものから順序じゅんじょを区別くべつせずに $r$個こ取とり出だす取とり出だし方かたを、 $n$個から $r$個こ取とる組合せくみあわせと呼よび、 ${}_n{C}_r$ と書かきます。

${}_n{C}_r=\frac{{}_n{P}_r}{r!}=\frac{n!}{r!\hspace{0.17em}(n-r)!}$

公式こうしきの導出どうしゅつ

$n$個から $r$個並ならべる並ならべ方かたは ${}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$通とおりです。 このうち、 同おなじ $r$個の組くみを並ならべたものが $r!$通とおりずつ重じゅう複ふくしているので、 $r!$ で割われれば組合せくみあわせの数かずになります。

計算けいさん例れい

• ${}_5{C}_2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$
• ${}_7{C}_3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$
• ${}_{10}{C}_4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210$

計算けいさんのコツ: 分子ぶんし・分母ぶんぼともに $r$個ずつの因数いんすうを書かいて、 約分やくぶんしながら計算けいさんすると速はやい。

2. 組合せくみあわせの性質せいしつ

対称たいしょう性せい

${}_n{C}_r={}_n{C}_{n-r}$

「$r$個こ取とる」 ことは 「($n-r$) 個こ残のこす」 ことに等ひとしいからです。 例れい: ${}_{10}{C}_8={}_{10}{C}_2=45$。 この性せい質しつを使つかうと計算けいさんが楽らくになります。

端はじの値あたい

${}_n{C}_0=1$ (何なにも取とらない 1 通とおり)、 ${}_n{C}_n=1$ (全部ぜんぶ取とる 1 通とおり)、 ${}_n{C}_1=n$ (1 個こ取とる $n$通とおり)。

パスカルの三角形さんかくけい

${}_n{C}_r={}_{n-1}{C}_{r-1}+{}_{n-1}{C}_r$

という漸ぜん化か式しきが成なり立たち、 これを並ならべたものが パスカルの三角形パスカルのさんかっけい です。

段だん	値あたい
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1

各かく数かずは 「左上ひだりうえ + 右上みぎうえ」 の和わになっています。

3. 例題れいだいで練習れんしゅう

例題れいだい 1: 委員いいん選えらび

10 人ひとの中なかから委い員いんを 3 人ひと選えらぶ選えらび方かたは ${}_{10}{C}_3=120$通とおり。

例題れいだい 2: 男女だんじょの取とり方かた

男子だんし 6 人ひと、 女子じょし 4 人ひとから男子だんし 2 人ひとと女子じょし 2 人ひとを選えらぶ選えらび方かたは ${}_6{C}_2\times {}_4{C}_2=15\times 6=90$通とおり (積せきの法ほう則そく)。

例題れいだい 3: 含ふくむ・含ふくまない

10 人ひとから 4 人ひとを選えらぶとき、 特定とくていの 1 人ひと A を 必かならず含ふくむ 選えらび方かたは ? A を先さきに選えらんだ後のち、 残のこり 9 人ひとから 3 人ひと選えらべばよいので ${}_9{C}_3=84$通とおり。

A を 含ふくまない 選えらび方かたは ${}_9{C}_4=126$通とおり。 合計ごうけい$84+126=210={}_{10}{C}_4$ となり確かく認にんできます。

4. 重複じゅうふく組合せくみあわせ

定義ていぎ

異なること $n$種しゅ類るいのものから 重じゅう複ふくを許ゆるして $r$個こ取とる取とり方かたの総数そうすうを重複組合せちょうふくくみあわせと呼よび、

${}_n{H}_r={}_{n+r-1}{C}_r$

と表あらわします。

仕切しきり法ほうでのイメージ

$n=3$、 $r=5$ のとき、 「○ ○ ○ ○ ○」 の 5 個この ○ と 「| |」 の仕切しきり 2 本ほん (= $n-1$本) を並ならべます。 仕切しきりで区切くぎられた部分ぶぶんがそれぞれ種類しゅるい 1・2・3 の個数こすうを表あらわします。

並ならべ方かたは $\frac{(5+2)!}{5!\hspace{0.17em}2!}={}_7{C}_2=21$通とおり。 これが ${}_3{H}_5={}_{3+5-1}{C}_5={}_7{C}_5=21$ と一いっ致ちします。

例題れいだい 4: お菓子かしの選えらび方かた

3 種類しゅるいのお菓子かしから重じゅう複ふくを許ゆるして 5 個こ選えらぶ選えらび方かたは ${}_3{H}_5=21$通とおり。

5. 組くみ分わけ問題もんだい

区別くべつする組くみへの分配ぶんぱい

「9 人ひとを A 組くみ 4 人ひと・B 組くみ 3 人ひと・C 組くみ 2 人ひとに分わける」 分わけ方かたは

${}_9{C}_4\times {}_5{C}_3\times {}_2{C}_2=126\times 10\times 1=1260 通 り$

と順番じゅんばんに取とっていけば求もとまります。

区別くべつしない組くみへの分配ぶんぱい

「9 人ひとを 3 人ひとずつ 3 組くみに分わける」 ときは、 組くみを区別くべつしないので上うえで求もとめた結果けっかを $3!$ で割わります。 $\frac{{}_9{C}_3\times {}_6{C}_3\times {}_3{C}_3}{3!}=\frac{84\times 20\times 1}{6}=280$通とおり。

注意ちゅうい: 組くみの人数にんずうが すべて同おなじ ときだけ 「組くみを区別くべつしない」 場合ばあいを考かんがえる必ひつ要ようがあります。 人数にんずうが違ちがえば自じ動どう的てきに組くみが区別くべつされます。

6. 章しょう末まつまとめ

道どう具ぐ	公こう式しき	使つかう場面ばめん
組合せくみあわせ	${}_n{C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$	順番じゅんばん区別くべつなしで取とる
対称たいしょう性せい	${}_n{C}_r={}_n{C}_{n-r}$	計算けいさんを楽らくに
重複じゅうふく組合せくみあわせ	${}_n{H}_r={}_{n+r-1}{C}_r$	重じゅう複ふく OK で取とる
組くみ分わけ (区別くべつ)	${}_n{C}_a\times {}_{n-a}{C}_b\cdots$	名前なまえ付つき組ぐみ
組くみ分わけ (同数どうすう)	上うえを $k!$ で割われる	同どう人数にんずう$k$組

7. 補足ほそく: 順列じゅんれつと組合せくみあわせの使つかい分わけチェックリスト

文章ぶんしょう題だいを解とくとき、 次つぎのチェックを通とおしましょう。

質問しつもん	YES → 順列じゅんれつ	NO → 組合せくみあわせ
「並ならべる」 「順番じゅんばんを決きめる」 と書かいてあるか	○
「役割やくわりが違ちがう」 (委い員いん長ちょう・副ふく委員いいん長等ながら)	○
「選えらぶだけ」 「セットとして取とり出だす」		○
「順番じゅんばんを区別くべつしない同おなじ役割やくわりの委員いいん」		○

迷まよったら 小ちいさい例れいで樹形図じゅけいずを書かいてみる と確かく実じつに判別はんべつできます。

次じの章しょうでは: 場合の数ばあいのかずを全体ぜんたいで割わって確率かくりつを求もとめます。 「同様に確からしいどうようにたしからしい」 という考かんがえ方かたがポイントです。