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確率 の 学習 を さ ら に 深 め、 「条件 が 与 え ら れ た 場合 の 確率」 と 「試行 が 独立 で あ る と き の 確率」 を 学 び ま す。
ポイント: 「条件 を つ け た ら 全体 が 何通 り に 変 わ る か」 を 数 え 直 す こ と が、 条件付き確率 の コツ で す。
事象 (A) が 起 こ っ た こ と が 分 か っ た 上 で 事象 (B) が 起 こ る 確率 を 条件付き確率 と 呼 び、
[ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) > 0) ]
と 定義 し ま す。 「(A) を 新 し い 全事象 と み な し た と き の (B) の 起 こ り や す さ」 と 解釈 で き ま す。
赤玉 3 個・白玉 2 個 の 袋 か ら 1 個取 り、 戻 さ ず に も う 1 個取 る と し ま す。 1 個目 が 赤 だ っ た と き、 残 り は 赤 2・白 2 の 4 個 な の で 2 個目 が 赤 で あ る 条件付 き 確率 は (\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}) で す。
ト ラ ン プ 52 枚 か ら 1 枚引 い て 戻 さ ず、 も う 1 枚引 き ま す。 1 枚目 が ハ ー ト で あ る こ と が 分 か っ た と き、 2 枚目 も ハ ー ト で あ る 確率 は ?
1 枚目 が ハ ー ト → 残 り の ハ ー ト は 12 枚、 全体 は 51 枚。 し た が っ て (\dfrac{12}{51} = \dfrac{4}{17})。
条件付 き 確率 の 定義 を 変形 す る と
[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) ]
が 得 ら れ ま す。 こ れ を 確率の乗法定理 と 呼 び ま す。
[ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B \mid A) \cdot P(C \mid A \cap B) ]
赤玉 4 個・白玉 6 個 か ら 戻 さ ず に 3 個取 り 出 す と き、 3 個 と も 赤 で あ る 確率 は ?
[ \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30} ]
5 本中当 た り 2 本 の く じ を A、 B が こ の 順 で 引 く と き、
つ ま り A と B の 当 た る 確率 は 同 じ (= (\dfrac{2}{5}))。 引 く 順番 は 当 た る 確率 に 影響 し ま せ ん。
大事: 「く じ 引 き の 公平性」 と し て 有名 な 結果。 直感 と 違 う 人 も 多 い の で、 計算 で 確認 す る こ と が 大切。
2 つ の 事象 (A)、 (B) が 「(A) が 起 こ ろ う が 起 こ る ま い が (B) の 確率 が 変 わ ら な い」 と き、 (A) と (B) は 独立 で あ る と 言 い ま す。
[ P(B \mid A) = P(B) \Longleftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) ]
| 試行 | 独立 か | 理由 |
|---|---|---|
| サ イ コ ロ を 2 回振 る | ○ | 互 い に 影響 し な い |
| コ イ ン を 何回 か 投 げ る | ○ | 各投 げ は 独立 |
| 玉 を 戻 し て 取 る | ○ | 中身 が 元 に 戻 る |
| 玉 を 戻 さ ず に 取 る | × | 残 り が 変 わ る |
赤 と 青 の サ イ コ ロ を 振 っ て、 「赤 が 偶数 か つ 青 が 5 以上」 と な る 確率 は ?
2 つ は 独立 な の で (\dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6})。
1 回 の 試行 で 事象 (A) が 起 こ る 確率 を (p) と し ま す。 こ の 試行 を 独立 に (n) 回 繰 り 返 す と き、 (A) が ち ょ う ど (k) 回 起 こ る 確率 は
[ P_k = {}_n C_k , p^k , (1-p)^{n-k} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n) ]
で 与 え ら れ ま す。 こ れ を 反復試行 の 確率 (= ベ ル ヌ ー イ 試行) と 呼 び ま す。
(n) 回 の う ち ど の (k) 回 で 起 こ る か の 並 び 方 が ({}_n C_k) 通 り、 起 こ る (k) 回 の 確率 が (p^k)、 起 こ ら な い (n-k) 回 の 確率 が ((1-p)^{n-k})。 こ れ ら の 積 で 表 さ れ ま す。
サ イ コ ロ を 5 回振 る と き、 1 の 目 が ちょう ど 2 回出 る 確率 は ?
(p = \dfrac{1}{6})、 (n = 5)、 (k = 2) と し て
[ {}_5 C_2 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888} ]
不良品率 が 5% の 部品 を 10 個取 り 出 し た と き、 不良品 が ち ょ う ど 1 個含 ま れ る 確率 は ?
(p = 0.05)、 (n = 10)、 (k = 1) で
[ {}_{10} C_1 \times 0.05^1 \times 0.95^9 \approx 10 \times 0.05 \times 0.6302 \approx 0.315 ]
つ ま り 約 31.5%。
| 概念 | 公式 | 注意 |
|---|---|---|
| 条件付 き 確率 | (P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}) | (A) を 新全体 と み な す |
| 乗法定理 | (P(A\cap B) = P(A) P(B\mid A)) | 連続試行 で 使 う |
| 独立 | (P(A\cap B) = P(A) P(B)) | 戻 す か 戻 さ な い か を 確認 |
| 反復試行 | ({}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}) | 「ち ょ う ど (k) 回」 |
次 の 章 で は: 確率 を も と に 「平均的 に 何 が 起 こ る か」 を 表 す 期待値 を 学 び ま す。 ギ ャ ン ブ ル や 保険 の 数学的基礎 と な る 重要 な 概念 です。