確率かくりつ (基本きほん・余よ事象じしょう・和かず事象じしょう)

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくでは 「相対度数そうたいどすう = 確率かくりつ」 の直ちょっ感かん的てきな説せつ明めい が中心ちゅうしんでした。 高校こうこうでは 場合の数ばあいのかず を使つかって 確率かくりつ を数すう式しき的てきに定義ていぎ し、 計算けいさんできるようになります。

• 試行しこう・事象じしょう・全事象ぜんじしょう の用よう語ご を整せい理り する
• 同様に確からしいどうようにたしからしい の意味いみを理り解かい する
• 確率かくりつ$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}$ を計算けいさんする
• 余事象よじしょう $A‾$ を使つかって計算けいさんを簡かん単たん にする
• 和事象わじしょう の確率かくりつ (加法かほう定理ていり) を学まなぶ

ポイント: 「サイコロの目め 1〜6」 のように 「すべてが同おなじ出でやすさ」 であることを確かく認にん してから計算けいさんを始はじめます。 この確かく認にん を怠おこたると答えこたえが大おおきくずれます。

1. 試行しこう・事象じしょう・全ぜん事象じしょう

用語ようごの整理せいり

用よう語ご	意い味み	例れい
試行しこう	結けっ果か が偶ぐう然ぜん に決きまる行こう為い	サイコロを投なげる
事象じしょう	試行しこうの結果けっかの集あつまり	「奇数きすうが出でる」
全事象ぜんじしょう $U$	起おこりうるすべての結果けっか	$\{1,2,3,4,5,6\}$
根元事象こんげんじしょう	これ以上いじょう細こまかくできない事象じしょう	「3 が出でる」
空事象くうじしょう $\varnothing$	起おこらない事象じしょう	「7 が出でる」

同様どうように確たしからしい

全事象ぜんじしょう の各根元事象こんげんじしょう が 同おなじ出でやすさ を持もつとき、 同様に確からしいどうようにたしからしい と言いいます。 サイコロ・コイン・くじ などの 「フェア」 な道具どうぐがこれに当あたります。

大事だいじ: 「同様どうように確たしからしい」 が成なり立たつ道具どうぐで計算けいさんするときだけ、 $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}$ という公こう式しき が使つかえます。

2. 確率かくりつの基本きほん公式こうしき

定義ていぎ

全事象ぜんじしょう $U$ の各かく根元ねもと事象じしょうが同様どうように確たしからしいとき、 事象じしょう$A$ の 確率かくりつ は

$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}=\frac{}{}$

で求もとまります。 $n(\cdot )$ はその事象じしょうに含ふくまれる場合ばあいの数かずを表あらわします。

確率かくりつの基本きほん性質せいしつ

• $0\le P\left(A\right)\le 1$
• $P\left(\varnothing \right)=0$、 $P\left(U\right)=1$
• $A$ が必かならず起おこるとき $P\left(A\right)=1$、 決けっして起おこらないとき $P\left(A\right)=0$

例題れいだい 1: サイコロ

サイコロを 1 個こ投なげるとき、 「奇数きすうが出でる」 確率かくりつは $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。 「3 以上いじょうが出でる」 確率かくりつは $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

例題れいだい 2: 2 個このサイコロ

大小だいしょう 2 個このサイコロを投なげるとき、 目めの和わが 7 になる確率かくりつは ? 全体ぜんたいは $6\times 6=36$通とおり。 和わが 7 になるのは $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ の 6 通とおり。 したがって $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。

例題れいだい 3: カード

1〜10 のカードから 1 枚まい引ひいて 「3 の倍ばい数すう かまたは 4」 が出でる確率かくりつは ? 該がい当とう するのは $\{3,6,9,4\}$ の 4 通とおり。 確率かくりつは $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

3. 余よ事象じしょうの確率かくりつ

定義ていぎ

事象じしょう$A$ に対たいして 「$A$ が起おこらない」 という事象じしょうを 余事象よじしょう と呼よび、 $A‾$ と書かきます。

$P(A‾)=1-P\left(A\right)$

いつ使つかうか

「少すくなくとも 1 回かい 〜」 という表ひょう現げん を見みたら余事よじ象ぞうを疑うたがいます。 直接ちょくせつ数かぞえると場合ばあい分わけが多おおくなるが、 余よ事象じしょう (= 「1 回かいも起おこらない」) は数かぞえやすいことが多おおいからです。

例題れいだい 4: コイン

コインを 5 回かい投なげるとき、 少すくなくとも 1 回かい表ひょう が出でる確率かくりつは ?

余よ事象じしょう = 「5 回かいとも裏うら」 = $\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}$。 求もとめる確率かくりつは $1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$。

例題れいだい 5: 玉取たまとり

赤玉あかだま 4 個こ・白玉しらたま 6 個こが入はいった袋ふくろから同時どうじに 3 個こ取とり出だすとき、 少すくなくとも 1 個こが赤あか玉だま である確率かくりつは ?

余よ事象じしょう = 「3 個ことも白しろ」 = $\frac{{}_6{C}_3}{{}_{10}{C}_3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$。 求もとめる確率かくりつは $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。

4. 和かず事象じしょうの確率かくりつ (加法かほう定理ていり)

排反はいはん事象じしょうの場合ばあい

事象じしょう$A$ と $B$ が 同時どうじに起おこらない (= 排反はいはん) とき、

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

が成なり立たちます。 これを 確率の加法定理かくりつのかほうていり と言いいます。

一般いっぱんの和わ事象じしょう

排反はいはんでないときは、 重じゅう複ふく部分ぶぶんを引ひきます。

$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$

例題れいだい 6: トランプ

トランプ 52 枚まいから 1 枚まい引ひくとき、 「ハート」 または 「絵え札さつ (J, Q, K)」 が出でる確率かくりつは ?

$P\left(ハート\right)=\frac{13}{52}$、 $P\left(絵札\right)=\frac{12}{52}$、 $P\left(ハートかつ絵札\right)=\frac{3}{52}$ (ハートの J, Q, K)。 したがって

$P(ハート\cup 絵札)=\frac{13+12-3}{52}=\frac{22}{52}=\frac{11}{26}$

5. 章しょう末まつまとめ

状じょう況きょう	公こう式しき
基本きほん	$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}$
余よ事象じしょう	$P(A‾)=1-P\left(A\right)$
排反はいはんな和わ	$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$
一般いっぱんの和わ	$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$

6. よくあるミスと対策たいさく

ミス	原げん因いん	対たい策さく
重じゅう複ふく を忘わすれる	「ハートかつ絵え札さつ」 を引ひかずに足たしてしまう	必かならずベン図べんずで確かく認にん
排反はいはんと独立どくりつの混こん同どう	言こと葉ば が似にている	排反はいはん = 「同時どうじに起おきない」、 独立どくりつ = 「影えい響きょう しない」
全体ぜんたいの数かずを間違まちがう	順番じゅんばんを区別くべつするかしないかで異なること	文ぶん章しょう を注ちゅう意い深ふかく読よむ
「少すくなくとも」 を直接ちょくせつ数かぞえる	場合ばあい分わけが多おおい	余よ事象じしょうを検討けんとう

次じの章しょうでは: 「ある事ことが起おこった上うえでの確率かくりつ」 = 条件付き確率じょうけんつきかくりつ、 そして試行しこうが互たがいに 独立どくりつ であるときの確率かくりつを学まなびます。