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中学 で は 「相対度数 = 確率」 の 直感的 な 説明 が 中心 で し た。 高校 で は 場合の数 を 使 っ て 確率 を 数式的 に 定義 し、 計算 で き る よ う に な り ま す。
ポイント: 「サ イ コ ロ の 目 1〜6」 の よ う に 「す べ て が 同 じ 出 や す さ」 で あ る こ と を 確認 し て か ら 計算 を 始 め ま す。 こ の 確認 を 怠 る と 答 え が 大 き く ず れ ま す。
| 用語 | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| [[試行 | しこう]] | 結果 が 偶然 に 決 ま る 行為 |
| [[事象 | じしょう]] | 試行 の 結果 の 集 ま り |
| [[全事象 | ぜんじしょう]] (U) | 起 こ り う る す べ て の 結果 |
| [[根元事象 | こんげんじしょう]] | こ れ 以上細 か く で き な い 事象 |
| [[空事象 | くうじしょう]] (\varnothing) | 起 こ ら な い 事象 |
全事象 の 各根元事象 が 同 じ 出 や す さ を 持 つ と き、 同様に確からしい と 言 い ま す。 サ イ コ ロ・コ イ ン・くじ な ど の 「フェア」 な 道具 が こ れ に 当 た り ま す。
大事: 「同様 に 確 か ら し い」 が 成 り 立 つ 道具 で 計算 す る と き だ け、 (P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}) と い う 公式 が 使 え ま す。
全事象 (U) の 各根元事象 が 同様 に 確 か ら し い と き、 事象 (A) の 確率 は
[ P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\text{A に 含 ま れ る 場合 の 数}}{\text{全体 の 場合 の 数}} ]
で 求 ま り ま す。 (n(\cdot)) は そ の 事象 に 含 ま れ る 場合 の 数 を 表 し ま す。
サ イ コ ロ を 1 個投 げ る と き、 「奇数 が 出 る」 確率 は (\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2})。 「3 以上 が 出 る」 確率 は (\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3})。
大小 2 個 の サ イ コ ロ を 投 げ る と き、 目 の 和 が 7 に な る 確率 は ? 全体 は (6 \times 6 = 36) 通 り。 和 が 7 に な る の は ((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)) の 6 通 り。 し た が っ て (\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6})。
1〜10 の カ ー ド か ら 1 枚引 い て 「3 の 倍数 か ま た は 4」 が 出 る 確率 は ? 該当 す る の は ({3, 6, 9, 4}) の 4 通 り。 確率 は (\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5})。
事象 (A) に 対 し て 「(A) が 起 こ ら な い」 と い う 事象 を 余事象 と 呼 び、 (\overline{A}) と 書 き ま す。
[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) ]
「少 な く と も 1 回 〜」 と い う 表現 を 見 た ら 余事象 を 疑 い ま す。 直接数 え る と 場合分 け が 多 く な る が、 余事象 (= 「1 回 も 起 こ ら な い」) は 数 え や す い こ と が 多 い か ら です。
コ イ ン を 5 回投 げ る と き、 少 な く と も 1 回表 が 出 る 確率 は ?
余事象 = 「5 回 と も 裏」 = (\dfrac{1}{2^5} = \dfrac{1}{32})。 求 め る 確率 は (1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32})。
赤玉 4 個・白玉 6 個 が 入 っ た 袋 か ら 同時 に 3 個取 り 出 す と き、 少 な く と も 1 個 が 赤玉 で あ る 確率 は ?
余事象 = 「3 個 と も 白」 = (\dfrac{{}6 C_3}{{}{10} C_3} = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6})。 求 め る 確率 は (1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6})。
事象 (A) と (B) が 同時 に 起 こ ら な い (= 排反) と き、
[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) ]
が 成 り 立 ち ま す。 こ れ を 確率の加法定理 と 言 い ま す。
排反 で な い と き は、 重複部分 を 引 き ま す。
[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) ]
ト ラ ン プ 52 枚 か ら 1 枚引 く と き、 「ハ ー ト」 ま た は 「絵札 (J, Q, K)」 が 出 る 確率 は ?
(P(\text{ハ ー ト}) = \dfrac{13}{52})、 (P(\text{絵札}) = \dfrac{12}{52})、 (P(\text{ハ ー ト か つ 絵札}) = \dfrac{3}{52}) (ハ ー ト の J, Q, K)。 し た が っ て
[ P(\text{ハ ー ト} \cup \text{絵札}) = \dfrac{13 + 12 - 3}{52} = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26} ]
| 状況 | 公式 |
|---|---|
| 基本 | (P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}) |
| 余事象 | (P(\overline{A}) = 1 - P(A)) |
| 排反 な 和 | (P(A \cup B) = P(A) + P(B)) |
| 一般 の 和 | (P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)) |
| ミ ス | 原因 | 対策 |
|---|---|---|
| 重複 を 忘 れ る | 「ハ ー ト か つ 絵札」 を 引 か ず に 足 し て し ま う | 必 ず ベ ン 図 で 確認 |
| 排反 と 独立 の 混同 | 言葉 が 似 て い る | 排反 = 「同時 に 起 き な い」、 独立 = 「影響 し な い」 |
| 全体 の 数 を 間違 う | 順番 を 区別 す る か し な い か で 異なる | 文章 を 注意深 く 読 む |
| 「少 な く と も」 を 直接数 え る | 場合分 け が 多 い | 余事象 を 検討 |
次 の 章 で は: 「ある 事 が 起 こ っ た 上 で の 確率」 = 条件付き確率、 そ し て 試行 が 互 い に 独立 で あ る と き の 確率 を 学 び ま す。