場合ばあいの数かず (積せきの法則ほうそく・順列じゅんれつ)

この章しょうで学まなぶこと

高校こうこう数学すうがく A の出しゅっ発ぱつ点となる章しょうです。 中学ちゅうがくで 「起おこりうる場合ばあいを全部ぜんぶ書かき出だす」 程てい度どだった場合の数ばあいのかずを、 高校こうこうでは 樹形図じゅけいず → 和の法則わのほうそく・積の法則せきのほうそく → 順列じゅんれつ公式こうしき と段階だんかい的てきに道どう具ぐをそろえます。

• 樹形図じゅけいずと辞書式じしょしきで場合ばあいをもれなく重かさなりなく数かぞえる
• 和の法則わのほうそく: 同時どうじに起おこらないときは足たす
• 積の法則せきのほうそく: 連れん続ぞくして起おこるときはかける
• 階乗かいじょう $n!$ と 順列じゅんれつ ${}_n{P}_r$ を区別くべつする
• 円順列えんじゅんれつ・じゅず順列じゅずじゅんれつ・同じものを含む順列おなじものをふくむじゅんれつ へ拡張かくちょうする

ポイント: 公こう式しきを暗あん記きするより、 「何なにを区別くべつして、 何なにを区別くべつしないか」 を判はん断だんできるようになることが大切たいせつです。

1. 樹形図じゅけいずで漏もれなく数かぞえる

樹形図じゅけいずの描えがき方かた

たとえば 「A、 B、 C の 3 文字もじから 2 文字もじを並ならべる」 場合ばあいを数かぞえます。 1 文字もじ目めに A を取とると 2 文字もじ目めは B か C の 2 通とおり。 1 文字もじ目めが B なら 2 文字もじ目めは A か C で 2 通とおり。 同どう様ように C からも 2 通とおり。 合計ごうけい$3\times 2=6$通とおりです。

1 文字もじ目め	2 文字もじ目め	並ならび
A	B	AB
A	C	AC
B	A	BA
B	C	BC
C	A	CA
C	B	CB

辞書じしょ式しき配列はいれつ

辞書式じしょしきとは アルファベット順じゅん や 数すうの小ちいさい順じゅん に並ならべる整せい理り法ほうです。 「漏もれ・重複じゅうふくがないか」 の確かく認にんがしやすくなります。

大事だいじ: 数かぞえ上あげるときは 必かならず順序じゅんじょを決きめて書かき出だす こと。 ランダムに書かくと必かならず漏もれが出でます。

2. 和わの法則ほうそくと積せきの法則ほうそく

和わの法則ほうそく

事じ象しょう A と B が 同時どうじには起おこらない とき、 A または B が起おこる場合ばあいの数かずは

$\left(A の 場合 の 数\right)+\left(B の 場合 の 数\right)$

で求もとまります。 これを和の法則わのほうそくといいます。

例題れいだい 1: サイコロを 1 個こ投なげて 「3 の倍ばい数すう」 または 「5」 が出でる場合ばあいの数かずは ?

3 の倍ばい数すうは $\{3,6\}$ の 2 通とおり、 5 は 1 通とおり。 共きょう通つうなしなので $2+1=3$通とおり。

積せきの法則ほうそく

事じ象しょう A の後のちに 続つづけて 事じ象しょう B が起おこるとき、

$\left(A の 場合 の 数\right)\times \left(B の 場合 の 数\right)$

で全体ぜんたいの場合ばあいの数かずが求もとまります。 これを積の法則せきのほうそくといいます。

例題れいだい 2: 大だい中小ちゅうしょう 3 個このサイコロを投なげるとき、 目めの出方でかたは何なん通とおりか。

各かくサイコロが 6 通とおりずつ独どく立りつに起おこるので $6\times 6\times 6=216$通とおり。

どちらを使つかうかの見分みわけ

状じょう況きょう	法ほう則そく
「A または B」 で同時どうじに起おこらない	和わの法ほう則そく (足たす)
「A も B も続つづけて」 起おこる	積せきの法ほう則そく (かける)

3. 順列じゅんれつ nPr

階かい乗じょうの定義ていぎ

$1$ から $n$ までの自然数しぜんすうをすべてかけ合あわせた数かずを $n$ の階乗かいじょう と呼よび、 $n!$ と書かきます。

$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 2\times 1$

例: $3!=6$、 $4!=24$、 $5!=120$、 $6!=720$。 約やく束そくとして $0!=1$ と定さだめます。

順列じゅんれつの公式こうしき

異なること $n$個のものから $r$個を取とり出だして 順番じゅんばんに並ならべる 並ならべ方かたの総数そうすうを、 $n$個から $r$個こ取とる順列じゅんれつといい、

${}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)$

と表あらわします ($r$個の因いん数すうの積せき)。

例れい: ${}_5{P}_3=5\times 4\times 3=60$、 ${}_7{P}_2=7\times 6=42$。

例題れいだい 3: 数字すうじの並ならべ方かた

1〜5 の 5 枚まいのカードから 3 枚まいを取とり出だして並ならべる並ならべ方かたは ?

${}_5{P}_3=60$通とおり。

全部ぜんぶ並ならべる

$n$個すべてを並ならべるときは ${}_n{P}_n=n!$通とおり。 例たとえば 5 人ひとが 1 列れつに並ならぶ並ならび方かたは $5!=120$通とおりです。

4. 円えん順列じゅんれつとじゅず順列じゅんれつ

円えん順列じゅんれつ

$n$人を円形えんけいに並ならべる並ならび方かたは $(n-1)!$通とおり。 1 人ひとを基き準じゅんに固こ定ていすれば、 残のこり $n-1$人の並ならび方かたは $(n-1)!$ だからです。

例れい: 4 人ひとが円形えんけいテーブルに座すわる座すわり方かたは $(4-1)!=6$通とおり。

じゅず順列じゅんれつ

じゅず順列じゅずじゅんれつは円えん順列じゅんれつを裏うら返がえして同おなじとみなす並ならび方かたで、 $\frac{(n-1)!}{2}$通とおりになります。 ネックレスのように表裏ひょうりがないものがこれに当あたります。

5. 同おなじものを含ふくむ順列じゅんれつ

公式こうしきの形

$n$個の中なかに $p$個・$q$個・$r$個$\cdots$ の同おなじものが含ふくまれるとき、 並ならべ方かたの総数そうすうは

$\frac{n!}{p!\hspace{0.17em}q!\hspace{0.17em}r!\cdots }(p+q+r+\cdots =n)$

となります。

例題れいだい 4: 文字もじ並ならべ

「TOKYO」 の 5 文字もじを並ならべる並ならべ方かたは何なん通とおりか。

T が 1 個こ、 O が 2 個こ、 K が 1 個こ、 Y が 1 個こで計けい 5 文字もじ。 並ならべ方かたは $\frac{5!}{2!}=\frac{120}{2}=60$通とおりです。

例題れいだい 5: 最短さいたん経路けいろ

3 区画くかく右みぎ、 2 区画くかく上じょうへ進すすむ最短さいたん経けい路ろは $\frac{5!}{3!\hspace{0.17em}2!}=10$通とおり。 「右みぎ R を 3 個こ・上うえ U を 2 個こ並ならべる順列じゅんれつ」 と同おなじことです。

6. 章しょう末まつまとめ

道どう具ぐ	公こう式しき	使つかう場面ばめん
樹形図じゅけいず	—	小ちいさいケースで漏もれ確かく認にん
和わの法ほう則そく	A + B	「A または B」 排はい反はん
積せきの法ほう則そく	A × B	「A も B も」 連れん続ぞく
階かい乗じょう	$n!$	全部ぜんぶ並ならべる
順列じゅんれつ	${}_n{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}$	順番じゅんばんを区別くべつし一部いちぶを並ならべる
円えん順列じゅんれつ	$(n-1)!$	円形えんけい配はい置ち
同おなじもの含ふくむ順列じゅんれつ	$\frac{n!}{p!q!\cdots }$	重じゅう複ふくあり

次じの章しょうでは: 「順番じゅんばんを区別くべつしない」 取とり出だし方かた = 組合せくみあわせ ${}_n{C}_r$ を学まなびます。 順列じゅんれつと組合せくみあわせの違ちがいをしっかり押おさえましょう。