期待きたい値ち (離散りさん変数へんすうの応用おうよう)

この章しょうで学まなぶこと

確率かくりつをもとに 「平均へいきん的にはどのくらいの値あたいになるか」 を計算けいさんするのが期待値きたいちです。

• 確率変数かくりつへんすう $X$ とその確率かくりつ分布ぶんぷを理り解かいする
• 期待値きたいち $E\left(X\right)$ の定義ていぎと計算けいさん法ほうを身みにつける
• 期待値きたいちの性せい質しつ $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$ を使つかう
• 分散ぶんさん $V\left(X\right)$、 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ の基本きほんを学まなぶ
• 「公平なゲームこうへいなげーむ」 を期待きたい値ちで判はん断だんする

ポイント: 期待きたい値ちは 「1 回かいの試行しこうの平均へいきん的な結果けっか」。 何なん度ども繰くり返かえすと実じっ際さいの平均へいきんが期待きたい値ちに近ちかづく (大数の法則たいすうのほうそく)。

1. 確率かくりつ変数へんすうと確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすうの定義ていぎ

試行しこうの結けっ果かによって値あたいが決きまる変へん数すうを確率変数かくりつへんすうと言いい、 $X,Y$ などの大文字おおもじで表あらわします。

例れい: サイコロを 1 回かい振ふるとき、 出でた目めを $X$ とすると $X$ は $\{1,2,3,4,5,6\}$ のいずれかの値あたいを取とります。

確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値あたい$x_i$ を取とる確率かくりつを $p_i$ として表ひょうにまとめたものを確率分布かくりつぶんぷと呼よびます。

サイコロの場合ばあい:

$X$	1	2	3	4	5	6	計けい
$P$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

確率かくりつ分布ぶんぷの性質せいしつ

すべての $p_i\ge 0$ で、 $\sum p_i=1$ (合計ごうけい 1)。

2. 期待きたい値ち E(X)

定義ていぎ

確率かくりつ変数へんすう$X$ が $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の値あたいを確率かくりつ$p_1,p_2,\dots ,p_n$ で取とるとき、 期待値きたいちは

$E\left(X\right)=\sum i=1n{x}_i\hspace{0.17em}{p}_i=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

と定義ていぎします。 「値あたい × その確率かくりつ」 を全部ぜんぶ足たしたものです。

例題れいだい 1: サイコロの目め

サイコロの目めの期待きたい値ちは

$E\left(X\right)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3.5$

3.5 という 「実じっ際さいには出でない値あたい」 ですが、 何なん回かいも振ふると平均へいきんが 3.5 に近ちかづきます。

例題れいだい 2: くじの期待きたい値ち

賞金しょうきん表ひょう:

等ひとし	賞金しょうきん	確率かくりつ
1 等ひとし	10000 円えん	1/100
2 等ひとし	1000 円えん	5/100
ハズレ	0 円えん	94/100

期待きたい値ちは $E\left(X\right)=10000\cdot \frac{1}{100}+1000\cdot \frac{5}{100}+0\cdot \frac{94}{100}=100+50+0=150$円。 このくじが 1 回かい 200 円えんなら 平均へいきん 50 円えんの損そん となり、 続つづけるほど損そんが増ふえます。

3. 期待きたい値ちの性質せいしつ

1 次じ変換へんかん

$a,b$ を定てい数すうとすると

$E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$

が成なり立たちます。

和わの期待きたい値ち

$E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$

($X,Y$ が独立どくりつでなくても成なり立たつことが重要じゅうよう)。

例題れいだい 3: サイコロ 2 個この和わ

サイコロを 2 個こ振ふったときの目めの和$X+Y$ の期待きたい値ちは $E\left(X\right)+E\left(Y\right)=3.5+3.5=7$。

4. 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

定義ていぎ

期待きたい値ち$m=E\left(X\right)$ として、 分散ぶんさんは

$V\left(X\right)=E\left(\right(X-m{)}^2)=\sum (x_i-m{)}^2{p}_i$

標準偏差ひょうじゅんへんさは $\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$。 「平均へいきんからのばらつき」 を表あらわします。

計算けいさん公式こうしき

$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$

例題れいだい 4: サイコロの分散ぶんさん

$E\left(X^2\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。 したがって

$V\left(X\right)=\frac{91}{6}-{3.5}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2.92$

標準ひょうじゅん偏差へんいは $\sigma =\sqrt{V\left(X\right)}\approx 1.71$。

1 次じ変換へんかんの公式こうしき

$V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right),\sigma (aX+b)=\mid a\mid \sigma \left(X\right)$

(定てい数すうを足たすと分散ぶんさんは変かわらないことに注ちゅう意い)。

5. 公平こうへいなゲーム

公平こうへいの判定はんてい

参加さんか料りょうを $c$円として、 賞金しょうきんを $X$ とするとき、 1 回かいあたりの平均へいきん損そん益えきは $E\left(X\right)-c$。

• $E\left(X\right)>c$: こちらが有利ゆうり (期待きたい値ちプラス)
• $E\left(X\right)=c$: 公こう平へい
• : こちらが不利ふり (期待きたい値ちマイナス)

例題れいだい 5: コイン賭かけ

コインを投なげて表ひょうなら 200 円えん、 裏うらなら 0 円えんをもらうゲーム。 参加さんか料りょう 100 円えんは公こう平へいか ?

$E\left(X\right)=200\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{1}{2}=100$円。 参加さんか料りょう 100 円えんと一いっ致ちするので 公こう平へい。

例題れいだい 6: サイコロ賭かけ

6 が出でたら 600 円えん、 それ以外いがいは 0 円えん。 参加さんか料りょうをいくらにすれば公こう平へいか ?

$E\left(X\right)=600\cdot \frac{1}{6}+0\cdot \frac{5}{6}=100$。 参加さんか料りょうを 100 円えんにすると公こう平へい。

6. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	公こう式しき
期待きたい値ち	$E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i$
1 次じ変換へんかん	$E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$
和わ	$E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$
分散ぶんさん	$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

7. 大数たいすうの法則ほうそく

直感ちょっかん

「コインを何なん度ども投なげると表ひょうが出でる比ひ率りつが 1/2 に近ちかづく」 ことは有名ゆうめいですが、 これを一いっ般ぱん化したのが 大数の法則たいすうのほうそく です。

内容ないよう

確率かくりつ変数へんすう$X$ を同おなじ条件じょうけんで独立どくりつに $n$回観測そくして平均へいきんを取とると、 その平均へいきんは $n$ が大おおきくなるほど期待きたい値ち$E\left(X\right)$ に近ちかづきます。

期待きたい値ちの解釈かいしゃく

• 1 回かいの試行しこうでの平均へいきん的な値あたい = 期待きたい値ち
• 何なん度ども繰くり返かえしたとき、 1 回かいあたりの平均へいきん的な結果けっかが期待きたい値ち
• 少すくない回数かいすうではばらつくが、 回数かいすうが多おおいと期待きたい値ちに収束しゅうそくする

大事だいじ: ギャンブルや投とう資しで 「期待きたい値ちマイナス」 を続つづけると、 試行しこう回数かいすうが増ふえるほど損そんが確かく実じつに蓄ちく積せきする (= 大数の法則たいすうのほうそくの帰き結けつ)。

次じの章しょうでは: 確率かくりつから数すうの世界せかい (整せい数すうの性せい質しつ) に移うつり、 約数やくすう・倍数ばいすう・素因数分解そいんすうぶんかいなど数かず論ろんの基き礎そを学まなびます。 (新しん課程かていでは選択せんたく内容ないようですが、 入試にゅうしでは引ひき続つづき頻出ひんしゅつです)