期待きたい値ち (離散りさん変数へんすう の 応用おうよう)

この 章しょう で 学まなぶ こと

確率かくりつ を も と に 「平へい均きん的 に は ど の く ら い の 値ね に な る か」 を 計算けいさん す る の が 期待値きたいち です。

• 確率変数かくりつへんすう (X) と そ の 確率かくりつ分布ぶんぷ を 理り解かい す る
• 期待値きたいち (E(X)) の 定義ていぎ と 計算けいさん法ほう を 身み に つ け る
• 期待値きたいち の 性せい質しつ (E(aX + b) = aE(X) + b) を 使し う
• 分散ぶんさん (V(X))、 標準偏差ひょうじゅんへんさ (\sigma) の 基本きほん を 学がく ぶ
• 「公平なゲームこうへいなゲーム」 を 期待きたい値ち で 判はん断だん す る

ポイント: 期待きたい値ち は 「1 回かい の 試行しこう の 平へい均きん的 な 結果けっか」。 何なん度ど も 繰く り 返かえ す と 実じっ際さい の 平へい均きん が 期待きたい値ち に 近きん づ く (大数の法則たいすうのほうそく)。

1. 確率かくりつ変数へんすう と 確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう の 定義ていぎ

試行しこう の 結けっ果か に よ っ て 値ね が 決けつ ま る 変へん数すう を 確率変数かくりつへんすう と 言げん い、 (X, Y) な ど の 大文字だいもんじ で 表ひょう し ま す。

例れい: サ イ コ ロ を 1 回かい振ふ る と き、 出で た 目め を (X) と す る と (X) は ({1, 2, 3, 4, 5, 6}) の い ず れ か の 値ね を 取と り ま す。

確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう (X) が 値ね (x_i) を 取と る 確率かくりつ を (p_i) と し て 表ひょう に ま と め た も の を 確率分布かくりつぶんぷ と 呼こ び ま す。

サ イ コ ロ の 場合ばあい:

(X)	1	2	3	4	5	6	計けい
(P)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

確率かくりつ分布ぶんぷ の 性質せいしつ

すべて の (p_i \ge 0) で、 (\sum p_i = 1) (合計ごうけい 1)。

2. 期待きたい値ち E(X)

定義ていぎ

確率かくりつ変数へんすう (X) が (x_1, x_2, \ldots, x_n) の 値ね を 確率かくりつ (p_1, p_2, \ldots, p_n) で 取と る と き、 期待値きたいち は

[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i , p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n ]

と 定義ていぎ し ま す。 「値ね × そ の 確率かくりつ」 を 全部ぜんぶ足あし し た も の です。

例題れいだい 1: サイコロ の 目め

サ イ コ ロ の 目め の 期待きたい値ち は

[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \cdots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 ]

3.5 と い う 「実じっ際さい に は 出で な い 値ね」 で す が、 何なん回かい も 振ふ る と 平へい均きん が 3.5 に 近きん づ き ま す。

例題れいだい 2: くじ の 期待きたい値ち

賞金しょうきん表ひょう:

等ひとし	賞金しょうきん	確率かくりつ
1 等ひとし	10000 円えん	1/100
2 等ひとし	1000 円えん	5/100
ハ ズ レ	0 円えん	94/100

期待きたい値ち は (E(X) = 10000 \cdot \dfrac{1}{100} + 1000 \cdot \dfrac{5}{100} + 0 \cdot \dfrac{94}{100} = 100 + 50 + 0 = 150) 円えん。 こ の く じ が 1 回かい 200 円えん な ら 平へい均きん 50 円えん の 損そん と な り、 続ぞく け る ほ ど 損そん が 増まし え ま す。

3. 期待きたい値ち の 性質せいしつ

1 次じ変換へんかん

(a, b) を 定てい数すう と す る と

[ E(aX + b) = a E(X) + b ]

が 成なる り 立たつ ち ま す。

和わ の 期待きたい値ち

[ E(X + Y) = E(X) + E(Y) ]

((X, Y) が 独立どくりつ で な く て も 成なる り 立たつ つ こ と が 重要じゅうよう)。

例題れいだい 3: サイコロ 2 個こ の 和わ

サ イ コ ロ を 2 個こ振ふ っ た と き の 目め の 和わ (X + Y) の 期待きたい値ち は (E(X) + E(Y) = 3.5 + 3.5 = 7)。

4. 分散ぶんさん と 標準ひょうじゅん偏差へんさ

定義ていぎ

期待きたい値ち (m = E(X)) と し て、 分散ぶんさん は

[ V(X) = E((X - m)^2) = \sum (x_i - m)^2 p_i ]

標準偏差ひょうじゅんへんさ は (\sigma(X) = \sqrt{V(X)})。 「平へい均きん か ら の ば ら つ き」 を 表ひょう し ま す。

計算けいさん公式こうしき

[ V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2 ]

例題れいだい 4: サイコロ の 分散ぶんさん

(E(X^2) = \dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \dfrac{91}{6})。 し た が っ て

[ V(X) = \frac{91}{6} - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2.92 ]

標準ひょうじゅん偏差へんさ は (\sigma = \sqrt{V(X)} \approx 1.71)。

1 次じ変換へんかん の 公式こうしき

[ V(aX + b) = a^2 V(X), \quad \sigma(aX + b) = |a| \sigma(X) ]

(定てい数すう を 足あし す と 分散ぶんさん は 変へん わ ら な い こ と に 注ちゅう意い)。

5. 公平こうへい な ゲ ーム

公平こうへい の 判定はんてい

参加さんか料りょう を (c) 円えん と し て、 賞金しょうきん を (X) と す る と き、 1 回かい あ た り の 平へい均きん損そん益えき は (E(X) - c)。

• (E(X) > c): こ ち ら が 有利ゆうり (期待きたい値ち プ ラ ス)
• (E(X) = c): 公こう平へい
• (E(X) < c): こ ち ら が 不利ふり (期待きたい値ち マ イ ナ ス)

例題れいだい 5: コ イン 賭かけ

コ イ ン を 投とう げ て 表ひょう な ら 200 円えん、 裏うら な ら 0 円えん を も ら う ゲ ー ム。 参加さんか料りょう 100 円えん は 公こう平へい か ?

(E(X) = 200 \cdot \dfrac{1}{2} + 0 \cdot \dfrac{1}{2} = 100) 円えん。 参加さんか料りょう 100 円えん と 一いっ致ち す る の で 公こう平へい。

例題れいだい 6: サイコロ 賭かけ

6 が 出で た ら 600 円えん、 そ れ 以外いがい は 0 円えん。 参加さんか料りょう を い く ら に す れ ば 公こう平へい か ?

(E(X) = 600 \cdot \dfrac{1}{6} + 0 \cdot \dfrac{5}{6} = 100)。 参加さんか料りょう を 100 円えん に す る と 公こう平へい。

6. 章しょう末まつ ま とめ

| 概がい念ねん | 公こう式しき | |---|---| | 期待きたい値ち | (E(X) = \sum x_i p_i) | | 1 次じ変換へんかん | (E(aX+b) = aE(X) + b) | | 和わ | (E(X+Y) = E(X) + E(Y)) | | 分散ぶんさん | (V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2) | | 標準ひょうじゅん偏差へんさ | (\sigma(X) = \sqrt{V(X)}) |

7. 大数たいすう の 法則ほうそく

直感ちょっかん

「コ イ ン を 何なん度ど も 投とう げ る と 表ひょう が 出で る 比ひ率りつ が 1/2 に 近きん づ く」 こ と は 有名ゆうめい で す が、 こ れ を 一いっ般ぱん化 し た の が 大数の法則たいすうのほうそく で す。

内容ないよう

確率かくりつ変数へんすう (X) を 同どう じ 条件じょうけん で 独立どくりつ に (n) 回かい観かん測そく し て 平へい均きん を 取と る と、 そ の 平へい均きん は (n) が 大だい き く な る ほ ど 期待きたい値ち (E(X)) に 近きん づ き ま す。

期待きたい値ち の 解釈かいしゃく

• 1 回かい の 試行しこう で の 平へい均きん的 な 値ね = 期待きたい値ち
• 何なん度ど も 繰く り 返かえ し た と き、 1 回かい あ た り の 平へい均きん的 な 結果けっか が 期待きたい値ち
• 少しょう な い 回数かいすう で は ば ら つ く が、 回数かいすう が 多おお い と 期待きたい値ち に 収束しゅうそく す る

大事だいじ: ギ ャ ン ブ ル や 投とう資し で 「期待きたい値ち マ イ ナ ス」 を 続ぞく け る と、 試行しこう回数かいすう が 増まし え る ほ ど 損そん が 確かく実じつ に 蓄ちく積せき す る (= 大数の法則たいすうのほうそく の 帰き結けつ)。

次じ の 章しょう で は: 確率かくりつ か ら 数かず の 世界せかい (整せい数すう の 性せい質しつ) に 移うつり り、 約数やくすう・倍数ばいすう・素因数分解そいんすうぶんかい な ど 数かず論ろん の 基き礎そ を 学がく び ま す。 (新しん課程かてい で は 選択せんたく内容ないよう で す が、 入試にゅうし で は 引 き 続ぞく き 頻出ひんしゅつ で す)