期待きたい値ち (離散りさん変数へんすう の 応用おうよう)

この章しょうで学まなぶこと

確率かくりつ をもとに 「平均へいきん的にはどのくらいの値ねになるか」 を計算けいさんするのが 期待値きたいち です。

• 確率変数かくりつへんすう $X$ とその確率かくりつ分布ぶんぷを理り解かい する
• 期待値きたいち $E\left(X\right)$ の定義ていぎと計算けいさん法ほうを身みにつける
• 期待値きたいち の性せい質しつ $E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$ を使つかう
• 分散ぶんさん $V\left(X\right)$、 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ の基本きほんを学まなぶ
• 「公平なゲームこうへいなげーむ」 を期待きたい値ちで判はん断だん する

ポイント: 期待きたい値ちは 「1 回かいの試行しこうの平均へいきん的な結果けっか」。 何なん度ども繰くり返かえすと実じっ際さい の平均へいきん が期待きたい値ちに近ちかづく (大数の法則たいすうのほうそく)。

1. 確率かくりつ変数へんすうと確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすうの定義ていぎ

試行しこう の結けっ果か によって値ねが決きまる変へん数すう を 確率変数かくりつへんすう と言いい、 $X,Y$ などの大文字おおもじで表あらわします。

例れい: サイコロを 1 回かい振ふるとき、 出でた目めを $X$ とすると $X$ は $\{1,2,3,4,5,6\}$ のいずれかの値ねを取とります。

確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう$X$ が値$x_i$ を取とる確率かくりつを $p_i$ として表ひょうにまとめたものを 確率分布かくりつぶんぷ と呼よびます。

サイコロの場合ばあい:

$X$	1	2	3	4	5	6	計けい
$P$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1

確率かくりつ分布ぶんぷの性質せいしつ

すべての $p_i\ge 0$ で、 $\sum p_i=1$ (合計ごうけい 1)。

2. 期待きたい値ち E(X)

定義ていぎ

確率かくりつ変数へんすう$X$ が $x_1,x_2,\dots ,x_n$ の値ねを確率かくりつ$p_1,p_2,\dots ,p_n$ で取とるとき、 期待値きたいち は

$E\left(X\right)=\sum i=1n{x}_i\hspace{0.17em}{p}_i=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_n{p}_n$

と定義ていぎします。 「値ね × その確率かくりつ」 を全部ぜんぶ足たしたものです。

例題れいだい 1: サイコロの目め

サイコロの目めの期待きたい値ちは

$E\left(X\right)=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3.5$

3.5 という 「実じっ際さい には出でない値ね」 ですが、 何なん回かいも振ふると平均へいきん が 3.5 に近ちかづきます。

例題れいだい 2: くじの期待きたい値ち

賞金しょうきん表ひょう:

等ひとし	賞金しょうきん	確率かくりつ
1 等ひとし	10000 円えん	1/100
2 等ひとし	1000 円えん	5/100
ハズレ	0 円えん	94/100

期待きたい値ちは $E\left(X\right)=10000\cdot \frac{1}{100}+1000\cdot \frac{5}{100}+0\cdot \frac{94}{100}=100+50+0=150$円。 このくじが 1 回かい 200 円えんなら 平均へいきん 50 円えんの損そん となり、 続つづけるほど損そんが増ふえます。

3. 期待きたい値ちの性質せいしつ

1 次じ変換へんかん

$a,b$ を定てい数すう とすると

$E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$

が成なり立たちます。

和わの期待きたい値ち

$E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$

($X,Y$ が独立どくりつでなくても成なり立たつことが重要じゅうよう)。

例題れいだい 3: サイコロ 2 個この和わ

サイコロを 2 個こ振ふったときの目めの和$X+Y$ の期待きたい値ちは $E\left(X\right)+E\left(Y\right)=3.5+3.5=7$。

4. 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

定義ていぎ

期待きたい値ち$m=E\left(X\right)$ として、 分散ぶんさん は

$V\left(X\right)=E\left(\right(X-m{)}^2)=\sum (x_i-m{)}^2{p}_i$

標準偏差ひょうじゅんへんさ は $\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$。 「平均へいきん からのばらつき」 を表あらわします。

計算けいさん公式こうしき

$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$

例題れいだい 4: サイコロの分散ぶんさん

$E\left(X^2\right)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。 したがって

$V\left(X\right)=\frac{91}{6}-{3.5}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2.92$

標準ひょうじゅん偏差へんいは $\sigma =\sqrt{V\left(X\right)}\approx 1.71$。

1 次じ変換へんかんの公式こうしき

$V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right),\sigma (aX+b)=\mid a\mid \sigma \left(X\right)$

(定てい数すう を足たすと分散ぶんさんは変かわらないことに注ちゅう意い)。

5. 公平こうへいなゲーム

公平こうへいの判定はんてい

参加さんか料りょうを $c$円として、 賞金しょうきんを $X$ とするとき、 1 回かいあたりの平均へいきん損そん益えき は $E\left(X\right)-c$。

• $E\left(X\right)>c$: こちらが有利ゆうり (期待きたい値ちプラス)
• $E\left(X\right)=c$: 公こう平へい
• : こちらが不利ふり (期待きたい値ちマイナス)

例題れいだい 5: コイン賭かけ

コインを投なげて表ひょうなら 200 円えん、 裏うらなら 0 円えんをもらうゲーム。 参加さんか料りょう 100 円えんは公こう平へい か ?

$E\left(X\right)=200\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{1}{2}=100$円。 参加さんか料りょう 100 円えんと一いっ致ち するので 公こう平へい。

例題れいだい 6: サイコロ賭かけ

6 が出でたら 600 円えん、 それ以外いがいは 0 円えん。 参加さんか料りょうをいくらにすれば公こう平へい か ?

$E\left(X\right)=600\cdot \frac{1}{6}+0\cdot \frac{5}{6}=100$。 参加さんか料りょうを 100 円えんにすると公こう平へい。

6. 章しょう末まつまとめ

概がい念ねん	公こう式しき
期待きたい値ち	$E\left(X\right)=\sum x_i{p}_i$
1 次じ変換へんかん	$E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$
和わ	$E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$
分散ぶんさん	$V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

7. 大数たいすうの法則ほうそく

直感ちょっかん

「コインを何なん度ども投なげると表ひょうが出でる比ひ率りつ が 1/2 に近ちかづく」 ことは有名ゆうめいですが、 これを一いっ般ぱん化したのが 大数の法則たいすうのほうそく です。

内容ないよう

確率かくりつ変数へんすう$X$ を同おなじ条件じょうけんで独立どくりつに $n$回観測そく して平均へいきん を取とると、 その平均へいきん は $n$ が大おおきくなるほど期待きたい値ち$E\left(X\right)$ に近ちかづきます。

期待きたい値ちの解釈かいしゃく

• 1 回かいの試行しこうでの平均へいきん的な値ね = 期待きたい値ち
• 何なん度ども繰くり返かえしたとき、 1 回かいあたりの平均へいきん的な結果けっかが期待きたい値ち
• 少すくない回数かいすうではばらつくが、 回数かいすうが多おおいと期待きたい値ちに収束しゅうそくする

大事だいじ: ギャンブルや投とう資し で 「期待きたい値ちマイナス」 を続つづけると、 試行しこう回数かいすうが増ふえるほど損そんが確かく実じつ に蓄ちく積せき する (= 大数の法則たいすうのほうそく の帰き結けつ)。

次じの章しょうでは: 確率かくりつから数すうの世界せかい (整せい数すう の性せい質しつ) に移うつり、 約数やくすう・倍数ばいすう・素因数分解そいんすうぶんかい など数かず論ろん の基き礎そ を学まなびます。 (新しん課程かていでは選択せんたく内容ないようですが、 入試にゅうしでは引ひき続つづき頻出ひんしゅつです)