不定ふてい方程式ほうていしきと一いち次じ合同ごうどう式しき一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 一いち次じ不定方程式ふていほうていしき $ax + by = c$ が整数せいすう解かいを持もつための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんはどれですか？
   • ・$a + b \mid c$
   • ・$\gcd(a, b) \mid c$
   • ・$a \mid c$ か つ $b \mid c$
   • ・$c$ が 奇 数
2. $6x + 8y = 9$ は整数せいすう解かいを持もちますか？
   • ・持 つ ($(x, y) = (1, 0)$)
   • ・持 た な い
   • ・持 つ ($(x, y) = (-1, 2)$)
   • ・持 つ が 無 数 に あ る
3. $7x + 11y = 1$ の整数せいすう解かいとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$(x, y) = (2, -1)$
   • ・$(x, y) = (3, -2)$
   • ・$(x, y) = (-3, 2)$
   • ・$(x, y) = (1, 0)$
4. $7x + 11y = 1$ の 一般いっぱん解かい は次つぎのうちどれですか？ ($t$ は 整数せいすう)
   • ・$x = -3 + 7t,\ y = 2 - 11t$
   • ・$x = -3 + 11t,\ y = 2 - 7t$
   • ・$x = -3 + t,\ y = 2 - t$
   • ・$x = -3 \cdot t,\ y = 2 \cdot t$
5. $12x + 18y = 30$ を整理せいりすると、 どの式しきと同値どうちですか？
   • ・$x + y = 5$
   • ・$2x + 3y = 5$
   • ・$4x + 6y = 10$
   • ・$6x + 9y = 15$
6. 合同式ごうどうしき $a \equiv b \pmod{m}$ の定義ていぎはどれですか？
   • ・$a = b + m$
   • ・$a - b$ が $m$ の 倍 数 ($m \mid (a - b)$)
   • ・$a / b$ が $m$ で あ る
   • ・$a$ と $b$ を $m$ で 割 る と 商 が 等 し い
7. $17 \pmod 5$ を 0 以上いじょう 5 未満みまんの整数せいすうに直なおすといくらですか？
   • ・1
   • ・2
   • ・3
   • ・4
8. $-3 \pmod 7$ を 0 以上いじょう 7 未満みまんの整数せいすうに直なおすといくらですか？
   • ・-3
   • ・3
   • ・7
   • ・4
9. 合同ごうどう式しきで一般いっぱんに 使つかえない 演算えんざんはどれですか？
   • ・両 辺 を 同 じ 数 で 足 す
   • ・両 辺 を 同 じ 数 で 割 る
   • ・両 辺 を 同 じ 数 で 引 く
   • ・両 辺 を 同 じ 数 で か け る
10. $7^{100}$ を 10 で割わった余あまり (= 一いちの位くらい) はいくらですか？
    • ・3
    • ・7
    • ・9
    • ・1
11. $2^{1000}$ を 7 で割わった余あまりはいくらですか？
    • ・2
    • ・1
    • ・4
    • ・6
12. 一次合同式いちじごうどうしき $ax \equiv b \pmod m$ が解かいを持もつ条件じょうけんはどれですか？
    • ・$\gcd(a, m) \mid b$
    • ・$a + m \mid b$
    • ・$a \cdot m \mid b$
    • ・$b = 0$
13. $5x \equiv 3 \pmod 7$ の解かい (法ほう 7 のもとで 1 つ) はどれですか？
    • ・$x \equiv 1 \pmod 7$
    • ・$x \equiv 4 \pmod 7$
    • ・$x \equiv 6 \pmod 7$
    • ・$x \equiv 2 \pmod 7$
14. $6x \equiv 4 \pmod{10}$ の解かいは法ほう 10 のもとで何なん個こありますか？
    • ・2 個
    • ・0 個
    • ・1 個
    • ・10 個
15. $a \equiv b$ か つ $c \equiv d \pmod m$ の と き、 必かならず成なり立たつものはどれですか？
    • ・$a / c \equiv b / d \pmod m$
    • ・$a^c \equiv b^d \pmod m$
    • ・$\log a \equiv \log b \pmod m$
    • ・$a + c \equiv b + d \pmod m$
16. $a \equiv b \pmod m$ と $ax - my = b$ の整数せいすう解かいを探さがす問題もんだいは、 どのような関係かんけいにありますか？
    • ・同 値 (同 じ こ と を 違 う 表 現 で 言 っ て い る)
    • ・全 く 別 の 問 題
    • ・前 者 は 解 が あ る が 後 者 は 解 が な い
    • ・後 者 は 解 が あ る が 前 者 は 解 が な い
17. $3x \equiv 1 \pmod 5$ の解かい (法ほう 5 のもとで 1 つ) はどれですか？
    • ・$x \equiv 1 \pmod 5$
    • ・$x \equiv 2 \pmod 5$
    • ・$x \equiv 3 \pmod 5$
    • ・$x \equiv 4 \pmod 5$
18. $3^{50}$ を 5 で割わった余あまりはいくらですか？
    • ・4
    • ・1
    • ・2
    • ・3
19. $ax + by = c$ の一般いっぱん解かいで $d = \gcd(a, b)$ としたとき、 解かいのパラメータ表現ひょうげんはどのようになりますか？
    • ・$X = X_0 + at,\ Y = Y_0 - bt$
    • ・$X = X_0 + bt,\ Y = Y_0 + at$
    • ・$X = X_0 + \dfrac{b}{d} t,\ Y = Y_0 - \dfrac{a}{d} t$
    • ・$X = X_0 \cdot t,\ Y = Y_0 \cdot t$
20. $100$ を $6$ で割わった余あまりを合同ごうどう式しきで表あらわすとどれですか？
    • ・$100 \equiv 2 \pmod 6$
    • ・$100 \equiv 4 \pmod 6$
    • ・$100 \equiv 3 \pmod 6$
    • ・$100 \equiv 6 \pmod 6$