無限等比級数（むげんとうひきゅうすう）とは｜意味・使い方・読み方解説

高校こうこう数学すうがく

無限むげん等比とうひ級数きゅうすう $a + a r + a r^{2} + \dots = \sum n = 0 \infty a r^{n}$ は、初はつ項こう $a$ ・公おおやけ比ひ $r$ の等比とうひ数列すうれつを無限むげんに足たしたものです。収束しゅうそく条件じょうけんと和わは次つぎの通とおり。

条件じょうけん	判定はんてい	和わ
$- 1 < r < 1$	収束しゅうそく	$\frac{a}{1 - r}$
$∣ r ∣ \geq 1$ （ $a \neq 0$ ）	発散はっさん	なし
$a = 0$	収束しゅうそく	$0$

たとえば $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ は $a = 1, r = 1 / 2$ なので和わは $\frac{1}{1 - 1 / 2} = 2$ です。

試験しけんでは $0.999 \dots = 1$ の証明しょうめいや循環じゅんかん小数しょうすうを分数ぶんすうに直なおす計算けいさんで頻出ひんしゅつ。和わの公式こうしきを使つかう前まえに必かならず収束しゅうそく条件じょうけん $∣ r ∣ < 1$ を確認かくにんするのが減点げんてん回避かいひの鉄則てっそく。

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条件じょうけん	判定はんてい	和わ
$- 1 < r < 1$	収束しゅうそく	$\frac{a}{1 - r}$
$∣ r ∣ \geq 1$ （ $a \neq 0$ ）	発散はっさん	なし
$a = 0$	収束しゅうそく	$0$

たとえば $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots$ は $a = 1, r = 1 / 2$ なので和わは $\frac{1}{1 - 1 / 2} = 2$ です。

試験しけんでは $0.999 \dots = 1$ の証明しょうめいや循環じゅんかん小数しょうすうを分数ぶんすうに直なおす計算けいさんで頻出ひんしゅつ。和わの公式こうしきを使つかう前まえに必かならず収束しゅうそく条件じょうけん $∣ r ∣ < 1$ を確認かくにんするのが減点げんてん回避かいひの鉄則てっそく。

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