››
4 年生では、長方形や 正方形の 面積を、たて × よこ（または 1 辺 × 1 辺）で 求められる ことを 学びました。単位は cm²、m²、km²などでしたね。
では、三角形や 平行四辺形 のように 直角が ない 図形の 面積は、どう 求めたら よいでしょうか。公式を いきなり おぼえる のではなく、「すでに 知っている 長方形に 直して 考える」のが、この 章の 主役の 考え方 です。
この 章が おわる ころには、つぎの ことが できるように なって います。
ポイント: この 章で くりかえし 使う 考え方は 3 つだけ です。 ① 切って・うつして 長方形に 変形する（等積変形） ② 同じ 図形を もう 1 つくっつけて、大きな 図形の 半分と 見る ③ いくつかの 図形に 分ける（または 引き算する） どの 公式も、この 3 つの うち どれかの 考え方で 生まれました。
4 年生で 学んだ ことを 思い出しましょう。長方形の 面積は、
で 求められます。これは、1 cm² の 正方形が 何こ ならぶかを 数えて いる と 考えられます。
┌─┬─┬─┬─┬─┐
│ │ │ │ │ │ たて 3 cm
├─┼─┼─┼─┼─┤
│ │ │ │ │ │ よこ 5 cm
├─┼─┼─┼─┼─┤
│ │ │ │ │ │
└─┴─┴─┴─┴─┘
3 × 5 = 15 → 面積 15 cm²
この 章では、どんな 図形でも いったん 長方形に 直せないかを 考えて いきます。
平行四辺形は、このような 図形 でした（4 年生で 学びました）。
━━━━━━━━━
／ ／
／ ／
━━━━━━━━━
向かい合う 2 組の 辺が たがいに 平行な 四角形 です。一見斜めで 計算 しにくそう ですが、左はしの 三角形を 切って 右はしに うつすと、どうなるでしょうか。
切る 前： 切って うつす：
━━━━━━━━━ ┌──────────┐
／ ／ │ │
／ ／ → │ │
━━━━━━━━━ └──────────┘
└──底辺──┘ └──底辺──┘
ぴったり 長方形に！
左はしの 三角形が、右はしに ぴったり はまって、長方形に 変形 できました。これを 等積変形（とうせきへんけい：面積を 変えずに 形を 変える こと）と いいます。
できた 長方形の たては、もとの 平行四辺形の 高さ。よこは もとの 底辺。だから、
大切なのは 高さは 底辺に 垂直に 測る、と いう こと。斜めの 辺の 長さで は ありません。
━━━━━━━━━
／│ ／
／ │高さ ／
━━━━━━━━━
└──底辺──┘
例題:底辺 8 cm、高さ 5 cm の 平行四辺形の 面積は？
どの 辺を 底辺と 見るかは、自由です。ただし、底辺を 変えたら、高さも その 底辺に 垂直に とり直す必要が あります。
底辺 を 下の 辺に: 底辺 を 左の 辺に:
━━━━━━━━━ ─
／│ ／ ╲
／ │高さ ／ 高さ ╲
━━━━━━━━━ ─
└──底辺──┘ └底辺┘
どちらで 計算 しても、面積は 同じ 値に なります。
注意: 「斜めの 辺の 長さ」を 高さに して しまう ミス が 多い です。高さは いつでも 底辺に 垂直。分度器や 三角定規で 確かめましょう。
平行四辺形が 大きく かたむいて いる と、高さが 図形の 外に 来る ことが あります。
━━━━━━━━━
／ ／
／ ／
━━━━━━━━━
───────│
高さ（延長した 線に 垂直）
└────底辺────┘
この ばあいも、公式は 同じ。底辺を 延長 した 直線に 垂直な 長さ を 高さとして 測ります。
ポイント:平行四辺形は 底辺 × 高さ。高さは いつでも 底辺に 垂直 です。
三角形の 面積は、同じ 三角形を もう 1 つ 用意 して ひっくり返して くっつけると、平行四辺形に なります。
三角形 1 つ： もう 1 つ くっつけて：
／｜ ━━━━━━━━
／ ｜ ／ ／
／ ｜ → ／ ／
━━━━━ ━━━━━━━━
底辺 平行四辺形！
できた 平行四辺形の 面積は 底辺 × 高さ。三角形 1 つ分は その 半分なので、
÷ 2 を 忘れない ように しましょう。
三角形でも、高さは 底辺に 垂直に 測る。
▲
／｜＼
／ ｜ ＼ ← 高さ（底辺に 垂直）
／ ｜ ＼
━━━━━━━━━━
└──底辺──┘
例題 1:底辺 10 cm、高さ 6 cm の 三角形の 面積は？
大きく かたむいた 三角形 では、高さが 三角形の 外に 出る ことも あります。
▲
／＼
／ ＼
─────────
│ 底辺を 延長 │
高さ
（底辺の 延長線に 垂直）
底辺を 延長 した 直線に 垂直な 長さ を 高さと します。公式は そのまま 底辺 × 高さ ÷ 2。
例題 2:底辺 8 cm、高さ 5 cm（外側）の 三角形の 面積は？
直角三角形なら、直角を はさむ 2 辺が そのまま 底辺と 高さ に なります。
│＼
│ ＼
│ ＼ ← 斜辺
高 │ ＼
さ │ ＼
│ ＼
└──────────
底辺
例題 3:直角を はさむ 2 辺が 6 cm と 4 cm の 直角三角形の 面積は？
ポイント:三角形は 底辺 × 高さ ÷ 2。÷ 2 は、「三角形 2 こで 平行四辺形に なる」から 来て います。
ひし形は、4 辺の 長さが ぜんぶ 等しい 四角形でした。2 本の 対角線が 垂直に 交わるのが とくちょう です。
ひし形の 面積は、つぎのように 考えると すっきり 分かります。
┌─────────────┐
│ ／╲ │
│ ╱ ╲ │ ← ひし形を、
│ ╱ ひし ╲ │ 2 本の 対角線を 辺と する
│ ╱ 形 ╲ │ 長方形で 囲む
│ ╲ ╱ │
│ ╲ ╱ │
│ ╲／ │
└─────────────┘
よこ = 対角線 1
たて = 対角線 2
この 長方形の 面積は 対角線 1 × 対角線 2。そして、長方形の 中を よく 見ると、ひし形 と そとの 三角形 4 つに 分かれて いて、ひし形は ちょうど 長方形の 半分です（そとの 4 つの 三角形 を あわせると、もう 1 つの ひし形に なる）。
だから、
例題: 2 本の 対角線が 8 cm と 6 cm の ひし形の 面積は？
ポイント: ひし形は 辺の 長さ では なく、対角線の 長さで 面積を 求める のが コツ です。
台形は、向かい合う 1 組の 辺だけ が 平行な 四角形 でした。上の 平行な 辺を 上底、下の 平行な 辺を 下底、2 本の 平行線の あいだの 垂直な 長さを 高さと いいます。
──上底──
／│ ＼
／ │高さ ＼
━━━━━━━━━━━
└──── 下底 ────┘
台形の 面積を 求める には、同じ 台形を もう 1 つ さかさまに くっつけると よい です。
台形 1 つ： 2 つ くっつけて：
──上底── ──上底── 下底
／ ＼ ／ ＼━━━━━━━━━
／ ＼ → ／ ＼ ／
━━━━━━━━━ ━━━━━━━━━━━━━━━━━
└── 下底 ──┘ 下底 上底
ぴったり 平行四辺形！
できた 平行四辺形の 底辺は 上底 + 下底、高さは そのまま もとの 台形の 高さ。だから 面積は
ただし これは 台形 2 こ 分なので、1 こ 分は その 半分：
例題:上底 4 cm、下底 10 cm、高さ 6 cm の 台形の 面積は？
ポイント:台形の 公式は (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2。÷ 2 は、「台形 2 こで 平行四辺形に なる」から 来て います。三角形の ときの ÷ 2 と 理由は 同じ です。
もし 台形の 上底が だんだん 短く なって、0に なったら、どうなるでしょうか。
上底 あり: 上底 0 （= 三角形）:
── ●
／ ＼ ／＼
／ ＼ → ／ ＼
━━━━━━━ ━━━━━━━
台形は 三角形に なります。公式に 上底 = 0 を 入れて みましょう。
…これは まさに 三角形の 公式！ 台形の 公式の 中に、三角形の 公式が かくれて いた わけ です。
ここまで 学んだ 4 つの 公式を、ならべて 見て みましょう。
| 図形 | 面積の 公式 |
|---|---|
| 長方形 | たて × よこ |
| 正方形 | 1 辺 × 1 辺 |
| 平行四辺形 | 底辺 × 高さ |
| 三角形 | 底辺 × 高さ ÷ 2 |
| ひし形 | 対角線 × 対角線 ÷ 2 |
| 台形 | (上底 + 下底) × 高さ ÷ 2 |
ポイント:丸暗記 しようと せず、「どうして この 公式に なるのか」を 1 つ 1 つ 思い出せる ように して おきましょう。公式を 忘れても、長方形に 変形・もう 1 つ くっつける・分けて 考えるの 3 つの 考え方で、自分で 導き出せます。
実さいの 問題では、いくつかの 基本図形を 組み合わせた 図形が 出て きます。こうした 複合図形の 面積は、つぎの どちらかで 求めます。
┌──────┐
│ │
│ ① │ ← 長方形 ① と
│ │
├──────┼──┐
│ │ │
│ ② │ │ ← 長方形 ② に 分ける
│ │ │
└──────┴──┘
全体を ① + ②と 考えて、それぞれ の 面積を 足します。
┌────────────┐
│ │
│ 大きな │
│ 長方形 │ ← 大きな 長方形 から
│ ┌──┐ │
│ │ │ │ ← 中の 小さな 長方形 を 引く
│ └──┘ │
│ │
└────────────┘
全体を (大きい 長方形) − (小さい 長方形)と 考えて、引き算 します。
例題:下のような L 字型の 図形の 面積は？（たて 8 cm、よこ 10 cm、切り取り 部分が たて 3 cm、よこ 4 cm）
┌──────────┐
│ │
│ │ 8 cm
│ ┌──────┤
│ │ 3 cm
│ │
└───┘
└──10 cm──┘
└4 cm┘
方法 A（分けて 足す）：
方法 B（大きいから 引く）：
どちらで 計算 しても、答えは 68 cm²で 同じ です。
やってみよう:下図のように 長方形の 中に 三角形が 入った 図形の 面積を 求めましょう。（長方形は たて 6 cm・よこ 10 cm、中の 三角形は 底辺 10 cm・高さ 6 cm の 直角三角形を 引いた 形）
答え:長方形 60 cm² − 三角形 30 cm² = 30 cm²
平行四辺形や 三角形 の 問題 で、斜めの 辺の 長さを 高さに して しまう ミス が よく あります。
━━━━━━━
／│ ／
斜／ │5 ／ ← 高さ は 5 cm（垂直）
／ │ ／ 斜めの 辺 6 cm を 使っては ダメ
━━━━━━━
高さは、いつでも 底辺に 垂直。図に 小さな 直角マーク □ が ある ほう が 高さです。
三角形の 公式「底辺 × 高さ」で 止めて しまう ミス も 多い です。÷ 2 を 書き忘れない ように、公式を 声に 出して おぼえましょう。
÷ 2 が 付く の は 3 つ、と おぼえて しまう のも 手 です。
面積の 単位は cm²、m²、km²。計算に むちゅうに なると、答えに 単位を 書き忘れる ことが あります。面積 なら 必ず 「² 付き」の 単位を 書きましょう。
次の 章:面積（広さ）の つぎは、体積（かさ）です。サイコロの ような 立方体や、ティッシュ箱のような 直方体の かさを、cm³（立方センチメートル）や m³（立方メートル）という 単位で 計算できる ように しましょう。角柱・円柱 の 見取図・展開図 にも ちょうせん します。