図形ずけいの 面積めんせき

この 章しょうで 学まなぶこと

4 年ねん生せいでは、長方形ちょうほうけいや 正方形せいほうけいの 面積めんせきを、たて × よこ（または 1 辺へん × 1 辺へん）で 求もとめられる ことを 学まなびました。単位たんいは cm²、m²、km²などでしたね。

では、三角形さんかくけいや 平行四辺形へいこうしへんけい のように 直角ちょっかくが ない 図形ずけいの 面積めんせきは、どう 求もとめたら よいでしょうか。公式こうしきを いきなり おぼえる のではなく、「すでに 知しっている 長方形ちょうほうけいに 直なおして 考かんがえる」のが、この 章しょうの 主役しゅやくの 考かんがえ方かた です。

この 章しょうが おわる ころには、つぎの ことが できるように なって います。

• 三角形さんかくけいの 面積めんせきを 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2 で 求もとめられる
• 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせきを 底辺ていへん × 高たかさ で 求もとめられる
• ひし形ひしがたの 面積めんせきを 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2 で 求もとめられる
• 台形だいけいの 面積めんせきを (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2 で 求もとめられる
• 底辺ていへん・高さたかさを 正ただしく 見みつけられる（斜ななめの 辺へんでも、高たかさは 垂直すいちょくに 測はかる）
• いくつかの 図形ずけいを 組み合わせくみあわせた 複合ふくごう図形ずけいの 面積めんせきを、分わけて 足たしたり・引ひいたり して 求もとめられる

ポイント: この 章しょうで くりかえし 使つかう 考かんがえ方かたは 3 つだけ です。 ① 切きって・うつして 長方形ちょうほうけいに 変形へんけいする（等とう積せき変形へんけい） ② 同おなじ 図形ずけいを もう 1 つくっつけて、大おおきな 図形ずけいの 半分はんぶんと 見みる ③ いくつかの 図形ずけいに 分わける（または 引ひき算ざんする） どの 公式こうしきも、この 3 つの うち どれかの 考かんがえ方かたで 生うまれました。

1. 長方形ちょうほうけいの 面積めんせき（4 年生ねんせいの おさらい）

4 年ねん生せいで 学まなんだ ことを 思おもい出だしましょう。長方形ちょうほうけいの 面積めんせきは、

$長方形の 面積=たて\times よこ$

で 求もとめられます。これは、1 cm² の 正方形せいほうけいが 何なにこ ならぶかを 数かぞえて いる と 考えかんがえられます。

   ┌─┬─┬─┬─┬─┐
   │ │ │ │ │ │   たて 3 cm
   ├─┼─┼─┼─┼─┤
   │ │ │ │ │ │   よこ 5 cm
   ├─┼─┼─┼─┼─┤
   │ │ │ │ │ │
   └─┴─┴─┴─┴─┘
   3 × 5 = 15 → 面積 15 cm²

この 章しょうでは、どんな 図形ずけいでも いったん 長方形ちょうほうけいに 直なおせないかを 考えかんがえて いきます。

2. 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせき

切きって・うつして 長方形ちょうほうけいに

平行四辺形へいこうしへんけいは、このような 図形ずけい でした（4 年ねん生せいで 学まなびました）。

      ━━━━━━━━━
     ／         ／
    ／         ／
   ━━━━━━━━━

向むかい合あう 2 組くみの 辺へんが たがいに 平行へいこうな 四角形しかくけい です。一見いっけん斜ななめで 計算けいさん しにくそう ですが、左はしの 三角形さんかくけいを 切きって 右みぎはしに うつすと、どうなるでしょうか。

   切る 前：              切って うつす：

      ━━━━━━━━━             ┌──────────┐
     ／         ／             │         │
    ／         ／   →     │         │
   ━━━━━━━━━             └──────────┘
   └──底辺──┘              └──底辺──┘

                           ぴったり 長方形に！

左はしの 三角形さんかくけいが、右みぎはしに ぴったり はまって、長方形ちょうほうけいに 変形へんけい できました。これを 等とう積せき変形へんけい（とうせきへんけい：面積めんせきを 変かえずに 形かたちを 変かえる こと）と いいます。

できた 長方形ちょうほうけいの たては、もとの 平行四辺形へいこうしへんけいの 高さたかさ。よこは もとの 底辺ていへん。だから、

$平行四辺形の 面積=底辺\times 高さ$

底辺ていへん と 高さたかさ の 関係かんけい

大切たいせつなのは 高さたかさは 底辺ていへんに 垂直すいちょくに 測はかる、と いう こと。斜ななめの 辺へんの 長ながさで は ありません。

      ━━━━━━━━━
     ／│        ／
    ／ │高さ  ／
   ━━━━━━━━━
   └──底辺──┘

例題れいだい:底辺ていへん 8 cm、高たかさ 5 cm の 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせきは？

$8\times 5=402^{}$

底辺ていへん は どこに とっても よい

どの 辺へんを 底辺ていへんと 見みるかは、自由じゆうです。ただし、底辺ていへんを 変かえたら、高さたかさも その 底辺ていへんに 垂直すいちょくに とり直なおす必要ひつようが あります。

   底辺 を 下の 辺に:        底辺 を 左の 辺に:

      ━━━━━━━━━             ─
     ／│        ／           ╲
    ／ │高さ  ／         高さ ╲
   ━━━━━━━━━                ─
   └──底辺──┘           └底辺┘

どちらで 計算けいさん しても、面積めんせきは 同おなじ 値あたいに なります。

注意ちゅうい: 「斜ななめの 辺へんの 長ながさ」を 高たかさに して しまう ミス が 多おおい です。高さたかさは いつでも 底辺ていへんに 垂直すいちょく。分度器ぶんどきや 三角さんかく定規じょうぎで 確たしかめましょう。

高さたかさが 図形ずけいの 外そとに ある ばあい

平行四辺形へいこうしへんけいが 大おおきく かたむいて いる と、高さたかさが 図形ずけいの 外に 来くる ことが あります。

             ━━━━━━━━━
            ／         ／
           ／         ／
          ━━━━━━━━━
   ───────│
         高さ（延長した 線に 垂直）
   └────底辺────┘

この ばあいも、公式こうしきは 同おなじ。底辺ていへんを 延長えんちょう した 直線ちょくせんに 垂直すいちょくな 長ながさ を 高さたかさとして 測はかります。

ポイント:平行四辺形へいこうしへんけいは 底辺ていへん × 高たかさ。高さたかさは いつでも 底辺ていへんに 垂直すいちょく です。

3. 三角形さんかくけいの 面積めんせき

同おなじ 三角形さんかくけいを もう 1 つ

三角形さんかくけいの 面積めんせきは、同おなじ 三角形さんかくけいを もう 1 つ 用意ようい して ひっくり返かえして くっつけると、平行四辺形へいこうしへんけいに なります。

   三角形 1 つ：         もう 1 つ くっつけて：

       ／｜                 ━━━━━━━━
      ／ ｜                ／      ／
     ／  ｜  →       ／      ／
    ━━━━━             ━━━━━━━━
    底辺               平行四辺形！

できた 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせきは 底辺ていへん × 高たかさ。三角形さんかくけい 1 つ分ぶんは その 半分はんぶんなので、

$三角形の 面積=底辺\times 高さ÷2$

÷ 2 を 忘わすれない ように しましょう。

底辺ていへん と 高さたかさ

三角形さんかくけいでも、高さたかさは 底辺ていへんに 垂直すいちょくに 測はかる。

        ▲
       ／｜＼
      ／ ｜ ＼      ← 高さ（底辺に 垂直）
     ／  ｜  ＼
    ━━━━━━━━━━
    └──底辺──┘

例題れいだい 1:底辺ていへん 10 cm、高たかさ 6 cm の 三角形さんかくけいの 面積めんせきは？

$10\times 6÷2=302^{}$

高さたかさが 外そとに 出でる 三角形さんかくけい

大おおきく かたむいた 三角形さんかくけい では、高さたかさが 三角形さんかくけいの 外に 出でる ことも あります。

              ▲
             ／＼
           ／     ＼
   ─────────
   │   底辺を 延長 │
   高さ
   （底辺の 延長線に 垂直）

底辺ていへんを 延長えんちょう した 直線ちょくせんに 垂直すいちょくな 長ながさ を 高さたかさと します。公式こうしきは そのまま 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2。

例題れいだい 2:底辺ていへん 8 cm、高たかさ 5 cm（外側そとがわ）の 三角形さんかくけいの 面積めんせきは？

$8\times 5÷2=202^{}$

直角ちょっかく三角形さんかくけいの ばあい

直角ちょっかく三角形さんかくけいなら、直角ちょっかくを はさむ 2 辺へんが そのまま 底辺ていへんと 高たかさ に なります。

    │＼
    │  ＼
    │    ＼       ← 斜なな辺
 高 │      ＼
 さ │        ＼
    │          ＼
    └──────────
       底辺

例題れいだい 3:直角ちょっかくを はさむ 2 辺へんが 6 cm と 4 cm の 直角ちょっかく三角形さんかくけいの 面積めんせきは？

$6\times 4÷2=122^{}$

ポイント:三角形さんかくけいは 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2。÷ 2 は、「三角形さんかくけい 2 こで 平行四辺形へいこうしへんけいに なる」から 来きて います。

4. ひし形ひしがたの 面積めんせき

長方形ちょうほうけいで 囲かこんで 半分はんぶん

ひし形ひしがたは、4 辺へんの 長ながさが ぜんぶ 等ひとしい 四角形しかくけいでした。2 本ほんの 対角線たいかくせんが 垂直すいちょくに 交まじわるのが とくちょう です。

ひし形ひしがたの 面積めんせきは、つぎのように 考かんがえると すっきり 分わかります。

   ┌─────────────┐
   │     ／╲      │
   │    ╱    ╲     │      ← ひし形を、
   │   ╱ ひし  ╲   │        2 本の 対角線を 辺と する
   │  ╱  形     ╲  │        長方形で 囲む
   │   ╲       ╱   │
   │    ╲    ╱    │
   │     ╲／      │
   └─────────────┘
   よこ = 対角線 1
   たて = 対角線 2

この 長方形ちょうほうけいの 面積めんせきは 対角線たいかくせん 1 × 対角線たいかくせん 2。そして、長方形ちょうほうけいの 中なかを よく 見みると、ひし形ひしがた と そとの 三角形さんかくけい 4 つに 分わかれて いて、ひし形ひしがたは ちょうど 長方形ちょうほうけいの 半分はんぶんです（そとの 4 つの 三角形さんかくけい を あわせると、もう 1 つの ひし形ひしがたに なる）。

だから、

$ひし形の 面積=対角線\times 対角線÷2$

例題れいだい: 2 本ほんの 対角線たいかくせんが 8 cm と 6 cm の ひし形ひしがたの 面積めんせきは？

$8\times 6÷2=242^{}$

ポイント: ひし形ひしがたは 辺へんの 長ながさ では なく、対角線たいかくせんの 長ながさで 面積めんせきを 求もとめる のが コツ です。

5. 台形だいけいの 面積めんせき

2 つ 合あわせて 平行四辺形へいこうしへんけい

台形だいけいは、向むかい合あう 1 組くみの 辺へんだけ が 平行へいこうな 四角形しかくけい でした。上うえの 平行へいこうな 辺へんを 上底じょうてい、下したの 平行へいこうな 辺へんを 下底かてい、2 本ほんの 平行へいこう線せんの あいだの 垂直すいちょくな 長ながさを 高さたかさと いいます。

      ──上底──
     ／│       ＼
    ／ │高さ     ＼
   ━━━━━━━━━━━
   └──── 下底 ────┘

台形だいけいの 面積めんせきを 求もとめる には、同おなじ 台形だいけいを もう 1 つ さかさまに くっつけると よい です。

   台形 1 つ：              2 つ くっつけて：

       ──上底──                   ──上底──   下底
      ／        ＼                ／       ＼━━━━━━━━━
     ／          ＼         →  ／           ＼      ／
    ━━━━━━━━━             ━━━━━━━━━━━━━━━━━
    └── 下底 ──┘            下底      上底

                              ぴったり 平行四辺形！

できた 平行四辺形へいこうしへんけいの 底辺ていへんは 上底じょうてい + 下底かてい、高さは そのまま もとの 台形だいけいの 高さたかさ。だから 面積めんせきは

$(上底+下底)\times 高さ$

ただし これは 台形だいけい 2 こ 分なので、1 こ 分ぶんは その 半分はんぶん：

$台形の 面積=(上底+下底)\times 高さ÷2$

例題れいだい:上底じょうてい 4 cm、下底かてい 10 cm、高たかさ 6 cm の 台形だいけいの 面積めんせきは？

$(4+10)\times 6÷2=14\times 6÷2=422^{}$

ポイント:台形だいけいの 公式こうしきは (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2。÷ 2 は、「台形だいけい 2 こで 平行四辺形へいこうしへんけいに なる」から 来きて います。三角形さんかくけいの ときの ÷ 2 と 理由りゆうは 同おなじ です。

上底じょうていが 0 に なると…？

もし 台形だいけいの 上底じょうていが だんだん 短みじかく なって、0に なったら、どうなるでしょうか。

   上底 あり:            上底 0 （= 三角形）:

      ──                      ●
     ／  ＼                   ／＼
    ／    ＼        →     ／    ＼
   ━━━━━━━                ━━━━━━━

台形だいけいは 三角形さんかくけいに なります。公式こうしきに 上底じょうてい = 0 を 入いれて みましょう。

$(0+下底)\times 高さ÷2=下底\times 高さ÷2$

…これは まさに 三角形さんかくけいの 公式こうしき！ 台形だいけいの 公式こうしきの 中なかに、三角形さんかくけいの 公式こうしきが かくれて いた わけ です。

6. 公式こうしきの まとめ

ここまで 学まなんだ 4 つの 公式こうしきを、ならべて 見みて みましょう。

図形ずけい	面積めんせきの 公式こうしき
長方形ちょうほうけい	たて × よこ
正方形せいほうけい	1 辺へん × 1 辺へん
平行四辺形へいこうしへんけい	底辺ていへん × 高たかさ
三角形さんかくけい	底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2
ひし形ひしがた	対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2
台形だいけい	(上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2

ポイント:丸まる暗記あんき しようと せず、「どうして この 公式こうしきに なるのか」を 1 つ 1 つ 思おもい出だせる ように して おきましょう。公式こうしきを 忘わすれても、長方形ちょうほうけいに 変形へんけい・もう 1 つ くっつける・分わけて 考かんがえるの 3 つの 考かんがえ方かたで、自分じぶんで 導みちびき出だせます。

7. 複合ふくごう図形ずけいの 面積めんせき

実じつさいの 問題もんだいでは、いくつかの 基本きほん図形ずけいを 組み合わせくみあわせた 図形ずけいが 出でて きます。こうした 複合ふくごう図形ずけいの 面積めんせきは、つぎの どちらかで 求もとめます。

分わけて 足たす

   ┌──────┐
   │      │
   │  ①  │             ← 長方形 ① と
   │      │
   ├──────┼──┐
   │      │  │
   │  ②  │  │     ← 長方形 ② に 分ける
   │      │  │
   └──────┴──┘

全体ぜんたいを ① + ②と 考えかんがえて、それぞれ の 面積めんせきを 足たします。

大おおきな 図形ずけいから 引ひく

   ┌────────────┐
   │            │
   │  大きな    │
   │  長方形    │       ← 大きな 長方形 から
   │    ┌──┐  │
   │    │  │  │         ← 中の 小さな 長方形 を 引く
   │    └──┘  │
   │            │
   └────────────┘

全体ぜんたいを (大おおきい 長方形ちょうほうけい) − (小ちいさい 長方形ちょうほうけい)と 考えかんがえて、引ひき算ざん します。

例題れいだい:下のような L 字じ型がたの 図形ずけいの 面積めんせきは？（たて 8 cm、よこ 10 cm、切きり取とり 部分ぶぶんが たて 3 cm、よこ 4 cm）

   ┌──────────┐
   │          │
   │          │ 8 cm
   │   ┌──────┤
   │   │ 3 cm
   │   │
   └───┘
   └──10 cm──┘
       └4 cm┘

方法ほうほう A（分わけて 足たす）：

• 左ひだりの 長方形ちょうほうけい … 10 − 4 = 6 cm × 8 cm = 48 cm²
• 右みぎ上じょうの 長方形ちょうほうけい … 4 cm × 8 − 3 = 5 cm = 20 cm²
• 合計ごうけい … 48 + 20 = 68 cm²

方法ほうほう B（大おおきいから 引ひく）：

• 大おおきな 長方形ちょうほうけい … 10 × 8 = 80 cm²
• 切きり取とった 長方形ちょうほうけい … 4 × 3 = 12 cm²
• 全体ぜんたい … 80 − 12 = 68 cm²

どちらで 計算けいさん しても、答えこたえは 68 cm²で 同おなじ です。

やってみよう:下図したずのように 長方形ちょうほうけいの 中なかに 三角形さんかくけいが 入はいった 図形ずけいの 面積めんせきを 求もとめましょう。（長方形ちょうほうけいは たて 6 cm・よこ 10 cm、中なかの 三角形さんかくけいは 底辺ていへん 10 cm・高たかさ 6 cm の 直角ちょっかく三角形さんかくけいを 引ひいた 形かたち）

答えこたえ:長方形ちょうほうけい 60 cm² − 三角形さんかくけい 30 cm² = 30 cm²

8. つまずきやすい ポイント

① 高さたかさと 斜ななめの 辺へんを まちがえる

平行四辺形へいこうしへんけいや 三角形さんかくけい の 問題もんだい で、斜ななめの 辺へんの 長ながさを 高さたかさに して しまう ミス が よく あります。

      ━━━━━━━
     ／│     ／
   斜なな／ │5 ／  ← 高さ は 5 cm（垂直）
    ／  │ ／        斜ななめの 辺 6 cm を 使っては ダメ
   ━━━━━━━

高さたかさは、いつでも 底辺ていへんに 垂直すいちょく。図ずに 小ちいさな 直角ちょっかくマーク □ が ある ほう が 高さたかさです。

② 三角形さんかくけい・台形だいけいで ÷ 2 を 忘わすれる

三角形さんかくけいの 公式こうしき「底辺ていへん × 高たかさ」で 止とめて しまう ミス も 多おおい です。÷ 2 を 書かき忘わすれない ように、公式こうしきを 声こえに 出だして おぼえましょう。

• 三角形さんかくけい = 底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2
• ひし形ひしがた = 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん÷ 2
• 台形だいけい = (上底じょうてい + 下底かてい) × 高たかさ ÷ 2

÷ 2 が 付つく の は 3 つ、と おぼえて しまう のも 手て です。

③ 単位たんいの 書かき忘わすれ

面積めんせきの 単位たんいは cm²、m²、km²。計算けいさんに むちゅうに なると、答えこたえに 単位たんいを 書かき忘わすれる ことが あります。面積めんせき なら 必かならず 「² 付つき」の 単位たんいを 書かきましょう。

まとめ

• 平行四辺形へいこうしへんけいの 面積めんせき ＝ 底辺ていへん × 高さたかさ（長方形ちょうほうけいに 等とう積せき変形へんけい）
• 三角形さんかくけいの 面積めんせき ＝ 底辺ていへん × 高さたかさ ÷ 2（三角形さんかくけい 2 こで 平行四辺形へいこうしへんけい）
• ひし形ひしがたの 面積めんせき ＝ 対角線たいかくせん × 対角線たいかくせん ÷ 2（囲かこむ 長方形ちょうほうけいの 半分はんぶん）
• 台形だいけいの 面積めんせき ＝ (上底じょうてい + 下底かてい) × 高さたかさ ÷ 2（台形だいけい 2 こで 平行四辺形へいこうしへんけい）
• 高さたかさは いつでも 底辺ていへんに 垂直すいちょくに 測はかる。斜ななめの 辺へんの 長ながさ では ない
• 底辺ていへんを どの 辺へんに とっても、面積めんせきは 同おなじ（ただし 高さたかさも とり直なおす）
• 高さたかさが 図形ずけいの 外そと に ある ときは、底辺ていへんを 延長えんちょう した 直線ちょくせんに 垂直すいちょくに 測はかる
• 複合ふくごう図形ずけいは 「分わけて 足たす」か「大おおきいから 引ひく」で 求もとめる
• 面積めんせきの 単位たんいは 必かならず cm²、m² など ² 付つきで 書かく

次の 章しょう:面積めんせき（広ひろさ）の つぎは、体積たいせき（かさ）です。サイコロの ような 立方体りっぽうたいや、ティッシュ箱ばこのような 直方体ちょくほうたいの かさを、cm³（立方センチメートルりっぽうせんちめーとる）や m³（立方メートルりっぽうめーとる）という 単位たんいで 計算けいさんできる ように しましょう。角柱かくちゅう・円柱えんちゅう の 見取図みとりず・展開図てんかいず にも ちょうせん します。