小数しょうすうの かけ算ざん・わり算ざん

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、小数しょうすうどうしのかけ算ざんとわり算ざんができるようになります。4 年ねん生せいでは「小数しょうすう × 整数せいすう」「小数しょうすう ÷ 整数せいすう」までを学まなびました。5 年ねん生せいでは かける数かず・わる数すうが小数しょうすう でも計算けいさんできるように、意味いみと計算けいさん方法ほうほうの両方りょうほうを広ひろげていきます。

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 整数せいすうや小数しょうすうを 10 倍ばい・100 倍ばい・1/10・1/100 する計算けいさんが、小数点しょうすうてんの移動いどうでできる
• 整数せいすう × 小数しょうすう、小数しょうすう × 小数しょうすう を筆算ひっさんで正まさしく計算けいさんできる
• 積の小数点せきのしょうすうてん の位置いちを「かける数かずの小数点しょうすうてん以下いかのけた数すうの合計ごうけい」で決きめられる
• 整数せいすう ÷ 小数しょうすう、小数しょうすう ÷ 小数しょうすう を筆算ひっさんで正まさしく計算けいさんできる
• わる数すうとわられる数かずを 同おなじ倍数ばいすうする と商しょうは変かわらない、という性質せいしつを使つかえる
• わり切きれないときに 商を上うえからのけた数すうのがい数すう（商のがい数しょうのがいすう） で表あらわせる
• あまりが出でるときに あまりの小数点しょうすうてん を正ただしく打うてる

ポイント:小数しょうすうの計算けいさんは、整数せいすうの計算けいさんと 同おなじルール で進すすみます。ちがうのは 小数点しょうすうてんをどこに打うつか だけ。この章しょうでは「どうしてその位置いちに打うつのか」という理由りゆうにも注目ちゅうもくします。

1. 10 倍ばい・100 倍ばい・1/10・1/100 のしくみ

小数しょうすうと整数せいすうは、どちらも 十じゅう進しん位取くらいどり記数きすう法ほう で書かかれています。つまり、10 倍ばいすると位くらいが 1 つ上あがり、1/10 にすると位くらいが 1 つ下さがる という同おなじしくみです。

このしくみを、小数点しょうすうてんの移動いどう として捉とらえ直なおしてみます。

元もとの数かず	10 倍ばい	100 倍ばい	1000 倍ばい
2.485	24.85	248.5	2485

小数点しょうすうてんが 右へ 1 つずつ動うごいているのがわかりますね。

元もとの数かず	1/10	1/100
2.485	0.2485	0.02485

1/10・1/100 にすると、小数点しょうすうてんは 左へ 1 つずつ動うごきます。

ポイント: 10 倍ばい・100 倍ばい・… → 小数点しょうすうてんは 右へ。1/10・1/100・… → 小数点しょうすうてんは 左へ。0 を書かき足たしたり、先頭せんとうに 0 を補おぎなったりする必要ひつようがあるときは、わすれないようにしましょう。

例題れいだい：筆算ひっさんしないで答こたえる

24.85 ÷ 100 を、筆算ひっさんせずに答こたえます。

1/100 にするのだから、小数点しょうすうてんを 左に 2 つ動うごかします。

24.85 → 2.485 → 0.2485

答こたえ：0.2485。

このように、10 倍ばいや 1/100 の計算けいさんは小数点しょうすうてんを動うごかすだけで一いちしゅんで終おわります。

2. 整数せいすう × 小数しょうすう

ここから小数しょうすうのかけ算ざんに入はいります。まずは 整数せいすう × 小数しょうすう から。

例題れいだい：1m が 80 円えんの布ぬのを 2.5m 買かうと？

式しきは 80 × 2.5。でも「2.5 こぶん」ってどういうことでしょう？

4 年生ねんせいまでは、かけ算ざんを「いくつぶん」「何なん倍ばい」と考かんがえてきました。5 年ねん生せいではこの考かんがえ方かたを広ひろげて、「1 を基準きじゅんにしたときに、2.5 にあたる大おおきさ」 という意味いみでとらえ直なおします。

つまり、80 × 2.5 は「80 の 2.5 倍ばい」。1m の値あたいだんを 1 とみたとき、2.5m 分ぶんは「1 の 2.5 にあたる大おおきさ」だから 80 × 2.5 で求もとめられるのです。

計算けいさんのしくみ

数かず直線ちょくせんで考かんがえると、1m で 80 円えん、0.5m で 40 円えん、合あわせて 2.5m で 120 + 80 = 200 円… というのは直ちょくかん的てきにも分わかります。

これを 計算けいさん で出だしてみます。かける数かず 2.5 を 10 倍ばいすると 25（整数せいすう）。

• 80 × 25 = 2000
• 答こたえは 10 倍ばいになっているから、10 でわる：2000 ÷ 10 = 200

こうして 80 × 2.5 = 200 が求もとまります。

筆算ひっさんのしかた

実じつさいには筆算ひっさんでも計算けいさんできます。

      8 0
    ×  2.5
    -----
      4 0 0     ← 80 × 5
    1 6 0        ← 80 × 2
    -------
    2 0 0.0     ← 小数点を打つ

小数点しょうすうてんの位置いちのきまり：かけられる数かずとかける数かずの 小数点しょうすうてん以下いかのけた数すうの合計ごうけい だけ、積せきの小数点しょうすうてんを右みぎから左ひだりへずらします。

• 80（小数点しょうすうてん以下いか 0 けた）× 2.5（小数点しょうすうてん以下いか 1 けた）→ 合計ごうけい1 けた
• 2000 の右みぎから 1 けた左ひだりに小数点しょうすうてんを打うって 200.0、つまり 200

3. 小数しょうすう × 小数しょうすう

こんどは小数しょうすうどうしのかけ算ざんです。

例題れいだい：0.3 × 0.4

0.3 × 0.4 の答こたえを考かんがえましょう。両方りょうほうとも 1 より小ちいさい数かずですね。

• 0.3 を 10 倍ばい → 3
• 0.4 を 10 倍ばい → 4
• 3 × 4 = 12

2 回かいそれぞれ 10 倍ばいしたので、合あわせて 100 倍 になっています。もとに戻もどすには 100 でわる：12 ÷ 100 = 0.12。

答こたえ：0.3 × 0.4 = 0.12。

例題れいだい：2.5 × 1.4

もう少すこし大おおきい数かずで。

• 2.5 × 10 = 25
• 1.4 × 10 = 14
• 25 × 14 = 350
• 合あわせて 100 倍ばいしたから、350 ÷ 100 = 3.5

筆算ひっさんではこうなります。

        2.5
      × 1.4
      -----
      1 0 0     ← 25 × 4
    2 5          ← 25 × 1（10 の位なのでずらす）
    -------
    3.5 0       ← 小数点以下 2 けた

かけられる数かず 2.5（小数点しょうすうてん以下いか 1 けた）+ かける数かず 1.4（小数点しょうすうてん以下いか 1 けた）= 合計ごうけい2 けた。350 の右みぎから 2 けた左ひだりに小数点しょうすうてんを打うって 3.50 = 3.5。

積の小数点せきのしょうすうてん のきまり

まとめると、小数しょうすうのかけ算ざんの 積の小数点せきのしょうすうてん は：

ポイント:かけられる数かずの小数点しょうすうてん以下いかのけた数すう と かける数かずの小数点しょうすうてん以下いかのけた数すう を 足たし算ざん した数かずだけ、積の右みぎから左ひだりへ小数点しょうすうてんをずらす。

たとえば：

計算けいさん	小数点しょうすうてん以下いかのけた	積せきの小数点しょうすうてん
0.3 × 0.4	1 + 1 = 2	12 → 0.12
1.2 × 0.05	1 + 2 = 3	60 → 0.060 = 0.06
2.5 × 1.4	1 + 1 = 2	350 → 3.50 = 3.5
6 × 0.7	0 + 1 = 1	42 → 4.2

注意ちゅうい:筆算ひっさんのときは 右のはしをそろえて書かきます。整数せいすうのかけ算ざんのように位くらいをそろえる必要ひつようはありません。小数点しょうすうてんの位置いちは 最後さいごに打うつ のがコツ。

1 より小ちいさい数かずをかけると、答こたえは元もとより小ちいさい

おもしろいことに、1 より小ちいさい数かずをかけると、答こたえはかけられる数かずより小ちいさく なります。

• 80 × 1 = 80
• 80 × 0.8 = 64（80 より小ちいさい）
• 80 × 0.5 = 40（80 より小ちいさい）

これは「0.8 は 1 より小ちいさい割合わりあいだから、80 全部ぜんぶよりは少すくなくなる」と考かんがえれば納得なっとくできます。

4. 整数せいすう ÷ 小数しょうすう

つぎはわり算ざんです。まずは 整数せいすう ÷ 小数しょうすう から。

例題れいだい：9m のリボンを 1.8m ずつに切きると？

式しきは 9 ÷ 1.8。「9 を 1.8 で分わけたら何なん本ほん取とれるか」を求もとめます。

小数しょうすうでわるのはむずかしそうに見みえますが、わる数すうを整数せいすうにする工夫くふうをすれば大だいじょうぶ。

わり算ざんの大事だいじな性質せいしつ：わられる数かずとわる数すうを 同おなじ数かずでかける と、商しょう（答こたえ）は変かわりません。

• 9 ÷ 1.8 = (9 × 10) ÷ (1.8 × 10) = 90 ÷ 18
• 90 ÷ 18 = 5

答こたえ：9 ÷ 1.8 = 5。リボンは 5 本ほんとれます。

筆算ひっさんのやり方かた

筆算ひっさんでは 小数点しょうすうてんの移動いどう を使つかいます。

         5
    1.8 ) 9.0
          9 0
          ---
            0

わる数すう 1.8 の小数点しょうすうてんを 右に 1 つ動うごかして 18。同おなじだけわられる数かず 9 の小数点しょうすうてんも右みぎに 1 つ動うごかして 90（9 → 90）。あとは 90 ÷ 18 = 5。

ポイント:小数しょうすうでわるときは、わる数すうが整数せいすうになるまで両方りょうほうの小数点しょうすうてんを右みぎへ動うごかします。わる数すうの小数点しょうすうてん以下いかのけた数すうだけ、両方りょうほういっしょに動うごかすのがコツ。

5. 小数しょうすう ÷ 小数しょうすう

最後さいごは 小数しょうすう ÷ 小数しょうすう です。考かんがえ方かたはさきほどと同おなじ。

例題れいだい：7.2 ÷ 2.4

わる数すう 2.4 を整数せいすうに するために、両方りょうほうの小数点しょうすうてんを右みぎに 1 つずらします。

• 7.2 → 72
• 2.4 → 24
• 72 ÷ 24 = 3

答こたえ：7.2 ÷ 2.4 = 3。

例題れいだい：0.1 ÷ 0.04

• わる数すう 0.04 を整数せいすうにするには、小数点しょうすうてんを右みぎに 2 つ動うごかして 4。
• わられる数かず 0.1 も同おなじく右みぎに 2 つ：0.1 → 1 → 10（けたが足たりないので 0 を補おぎないます）
• 10 ÷ 4 = 2.5

答こたえ：0.1 ÷ 0.04 = 2.5。

筆算ひっさんの例れい：3.45 ÷ 1.5

         2.3
    1.5 ) 3.4 5
          3 0
          ---
           4 5
           4 5
           ---
             0

1.5 → 15、3.45 → 34.5。34.5 ÷ 15 = 2.3。商しょうの小数点しょうすうてんは、わられる数かずの動うごいた後のちの小数点しょうすうてんの位置いち にそろえて打うちます。

なぜ小数点しょうすうてんを動うごかしていいの？

わり算ざんの性質せいしつ「わられる数かずとわる数すうを同おなじ倍数ばいすうしても商しょうは変かわらない」があるからです。

• 3.45 ÷ 1.5
• = (3.45 × 10) ÷ (1.5 × 10)
• = 34.5 ÷ 15
• = 2.3

ポイント:小数点しょうすうてんをずらす回数かいすうは わる数すうに合あわせる。「わる数すうの小数点しょうすうてん以下いかが 1 けたなら 1 回かい、2 けたなら 2 回かい」両方りょうほういっしょに右みぎへ動うごかします。

1 より小ちいさい数かずでわると、答こたえは元もとより大おおきい

これもおぼえておくと良よいこと。

• 9 ÷ 1 = 9
• 9 ÷ 0.9 = 10（9 より大おおきい）
• 9 ÷ 0.5 = 18（9 より大おおきい）
• 9 ÷ 0.1 = 90（大おおきい！）

「0.5 で分わけると 1 回かい分ぶんより小ちいさいかたまりで分わけるので、本数ほんすうは多おおくなる」と考かんがえると納得なっとくできます。

6. 商しょうのがい数すう

わり切きれないわり算ざんもあります。そんなときは 商のがい数しょうのがいすう（だいたいの答こたえ）で表あらわします。

例題れいだい：10 ÷ 3 を上うえから 2 けたのがい数すうで

10 ÷ 3 = 3.333… とどこまでも 3 が続つづきます。上うえから 2 けたのがい数すうにしたいときは、上から 3 けた目 を見みて四捨五入ししゃごにゅうします。

• 3.333…
• 上うえから 3 けた目めは 3
• 3 は 4 より小ちいさいので切きり捨すて
• 答こたえ：3.3

例題れいだい：5.2 ÷ 0.7 を上うえから 2 けたのがい数すうで

• 5.2 ÷ 0.7 = 52 ÷ 7 = 7.428…
• 上うえから 3 けた目めは 2
• 切きり捨すて → 答こたえ：7.4

ポイント: 「上うえから○けたのがい数すう」と言いわれたら、そのひとつ下かのけた を見みて四捨五入ししゃごにゅうします。

7. あまりのある小数しょうすうのわり算ざん

わり算ざんであまりが出でるときは、あまりの小数点しょうすうてんの位置いち に注意ちゅういが必要ひつようです。

例題れいだい：7.8 ÷ 2.5 を商しょうは一いちの位くらいまで、あまりも出だして

わり算ざんの筆算ひっさんで、わる数すうの小数点しょうすうてんを右みぎに 1 つ動うごかして 25。同おなじだけわられる数かずも動うごかして 78… と動うごかすと、本来ほんらいの 7.8 とは見みた目めがちがうので、あまりを出だすときは注意ちゅうい。

          3
    2.5 ) 7.8
          7 5
          ---
            0.3

商の一いちの位くらいまで出だすと 3、そしてあまりは？

ここがポイント。あまりの小数点しょうすうてんは、もとのわられる数かずの小数点しょうすうてんの位置いち にそろえます。筆算ひっさんで小数点しょうすうてんを動うごかして計算けいさんしても、あまりの小数点しょうすうてんは「動うごかす前まえのわられる数かず」の小数点しょうすうてんのところに打うちます。

• 7.8 ÷ 2.5 = 3 あまり 0.3
• 確たしかめ：2.5 × 3 + 0.3 = 7.5 + 0.3 = 7.8　○

注意ちゅうい: 「商しょうの小数点しょうすうてん」と「あまりの小数点しょうすうてん」は ちがう位置いち になることがあります。商しょうの小数点しょうすうてんは動うごかした後のちのわられる数かずの位置いち、あまりの小数点しょうすうてんは 動うごかす前まえの わられる数かずの位置いちです。まちがえやすいので、確たしかめ算さんでチェックしましょう。

確たしかめのしかた

わり算ざんのたしかめには、(わる数すう) × (商しょう) + (あまり) = (わられる数すう) の式しきを使つかいます。

この式しきでもとのわられる数かずが出でてくれば、あまりの小数点しょうすうてんの位置いちは正ただしいとわかります。

8. 計算けいさんに成なり立たつ性質せいしつ（分配ぶんぱいのきまり）

整数せいすうの計算けいさんで学まなんだ 分配ぶんぱいのきまり は、小数しょうすうでも成なり立たちます。

$◯\times (△+\square )=◯\times △+◯\times \square$

たとえば：

• 30 × 2.5 = 30 × 2 + 30 × 0.5 = 60 + 15 = 75
• 30 × 2.5 を直接ちょくせつ計算けいさんしても 75
• どちらでも同おなじ答こたえ ○

この性質せいしつを使つかうと、暗算あんざんで計算けいさんできたり、計算けいさんの確たしかめに使つかえたり します。

9. つまずきやすいポイント

• 積の小数点しょうすうてん：けた数すうを足たすのを忘わすれない（0.3 × 0.4 = 0.12、0 を書かくのをわすれない）
• わり算ざんの小数点しょうすうてん移動いどう：わる数すうの小数点しょうすうてん以下いかけた数すう ぶん、両方りょうほういっしょに動うごかす
• あまりの小数点しょうすうてん：もとのわられる数かずの位置いちに打うつ（商しょうの小数点しょうすうてんとはちがう）
• 1 より小ちいさい数かずをかけると答こたえは小ちいさくなる、わると答こたえは大おおきくなる
• 0 の書かきたし：けたが足たりないときは 0 を補おぎなう（0.1 → 10 のように）

まとめ

• 10 倍ばい・1/10 は小数点しょうすうてんを 右・左ひだりへ 1 つ動うごかすだけ
• 整数せいすうや 小数しょうすう のかけ算ざん：かけられる数かずとかける数かずを 10 倍ばい・100 倍ばいして整数せいすうにして計算けいさんし、最後さいごに割わり戻もどす
• 積の小数点せきのしょうすうてん：かけられる数かずの小数点しょうすうてん以下いかけた数すう + かける数かずの小数点しょうすうてん以下いかけた数すう ぶん、積せきの右みぎから左ひだりへずらす
• 小数しょうすうのわり算ざん：わる数すうが整数せいすうになるまで、わる数すう・わられる数かずの小数点しょうすうてんを 両方りょうほういっしょに右みぎへ動うごかす
• わり算ざんの性質せいしつ：わられる数かずとわる数すうを同おなじ倍数ばいすうしても商しょうは変かわらない
• 商のがい数しょうのがいすう：上うえから○けたのがい数すうは、そのひとつ下かのけたを四捨五入ししゃごにゅう
• あまりの小数点しょうすうてん：動うごかす前まえのわられる数かずの位置いちに打うつ
• 計算けいさんに成なり立たつ性質せいしつ（分配ぶんぱいのきまり）は、小数しょうすうでもそのまま使つかえる