立体りったいと 体積たいせき

この章しょうで学まなぶこと

4 年ねん生せいでは、直方体ちょくほうたいと 立方体りっぽうたいの辺あたりや面めんの関係かんけい、見取図みとりずや 展開てんかい図ずを学まなびました。この章しょうでは、さらに仲間なかまを増ふやして 角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうを取とり上あげます。そして、立体りったいの「かさ」を数字すうじで表あらわす 体積たいせきの計算けいさんに進すすみます。

この章しょうがおわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの名前なまえと、その 底面ていめん・側面そくめん・高さたかさ が言いえる
• 三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう・六角ろっかく柱はしら… の 頂ちょう点てん・辺へん・面めんの数かずを数かぞえられる
• 円柱えんちゅうの 見取図みとりず・展開てんかい図ずをかける
• 体積たいせきの意味いみ（1 cm³ が何なにこ分）が分わかる
• 直方体ちょくほうたいの体積たいせき ＝ たて × よこ × 高たかさ、立方体りっぽうたいの体積たいせき ＝ 1 辺あたり × 1 辺あたり × 1 辺 を使つかえる
• 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（cm³）、立方メートルりっぽうめーとる（m³）、L（リットル）の関係かんけいが言いえる
• 複合ふくごう立体りったいの体積たいせきを、分わけて足たす・大おおきいから引ひくで求もとめられる

ポイント:立体りったいの章しょうでは 面積めんせきとまったく同おなじ考かんがえ方かたが使つかえます。面積めんせきは「1 cm² の正方形せいほうけいが何なにこ分ぶん」。体積たいせきは 「1 cm³ の立方体りっぽうたいが何なにこ分ぶん」。次元じげんが 1 つ増ふえるだけです。

1. 4 年ねん生せいで学まなんだ立体りったい（おさらい）

直方体ちょくほうたいと立方体りっぽうたい

• 直方体ちょくほうたい：6 つの面めんがぜんぶ長方形ちょうほうけい（正方形せいほうけいをふくむ）。向むかい合あう面めんは同おなじ形かたち・同おなじ大おおきさ
• 立方体りっぽうたい：6 つの面めんがぜんぶ同おなじ正方形せいほうけい。サイコロの形

   直方体:                  立方体:

      ┌──────┐                 ┌────┐
     ╱      ╱│                ╱    ╱│
    ╱      ╱ │               ╱    ╱ │
   ┌──────┐  │              ┌────┐  │
   │      │  │              │    │  │
   │      │  ╱              │    │  ╱
   │      │ ╱               │    │ ╱
   └──────┘                  └────┘

どちらも 6 面めん・12 辺あたり・8 頂ちょう点てん。

見取図みとりずと展開てんかい図ず

• 見取図みとりず：立体りったいを 斜ななめから見みたようにかいた図ず（見みえない辺あたりは点線てんせん）
• 展開てんかい図ず：立体りったいの面めんを、つながった形かたちに平たいらに広ひろげてかいた図

   立方体の展開図（十字型）:

          ┌────┐
          │    │
          │    │
      ┌────┼────┼────┬────┐
      │    │    │    │    │
      │    │    │    │    │
      └────┼────┼────┴────┘
          │    │
          │    │
          └────┘

これらは 5 年生ねんせいの新あたらしい立体りったいでも同おなじように使つかいます。

2. 角柱かくちゅうと 円柱えんちゅう

角柱かくちゅう

角柱かくちゅう（かくちゅう）とは、上下じょうげに同おなじ形かたちの多角たかく形がたがあり、側面そくめんがぜんぶ長方形ちょうほうけい（または正方形せいほうけい）の立体りったいです。

上下じょうげの同おなじ形かたちの面めんを 底面ていめん（ていめん）、横よこをとり囲かこむ長方形ちょうほうけいの面めんを 側面そくめん（そくめん）といいます。

   三角柱:               四角柱:               五角柱:

        ▲                 ┌────┐              ⬠
       ╱│╲               ╱    ╱│             ╱ │╲
      ╱ │ ╲             ╱    ╱ │            ╱  │ ╲
     ▲──┼──▲          ┌────┐  │           ⬠───┼───⬠
     │  │  │           │    │  │           │   │   │
     │  ▼  │           │    │  ╱           │   ▼   │
     │ ╱ ╲ │           │    │ ╱            │ ╱   ╲ │
     ▼─────▼           └────┘              ⬠──────⬠

底面ていめんの形で 角柱かくちゅうの名前なまえが決きまります。

底面ていめんの形かたち	名前なまえ	側面そくめん	頂ちょう点てん	辺あたり	面めん
三角形さんかくけい	三角柱さんかくちゅう	長方形ちょうほうけい 3 つ	6	9	5
四角形しかくけい	四よん角柱かくちゅう	長方形ちょうほうけい 4 つ	8	12	6
五角形ごかっけい	五ご角柱かくちゅう	長方形ちょうほうけい 5 つ	10	15	7
六角形ろっかっけい	六角ろっかく柱	長方形ちょうほうけい 6 つ	12	18	8

ポイント: 底面ていめんが n 角形かくがたの 角柱かくちゅうでは、頂ちょう点てん = 2n、辺あたり = 3n、面めん = n + 2。これは丸まる暗記あんきしなくてよくて、「上うえの面めんと下したの面めんで 頂ちょう点てんが同おなじ数かずずつ」「n 本ほんの縦たて辺あたり ＋ 上下じょうげの n 角形かくがたの辺あたり × 2」「上下じょうげ 2 面めん ＋ 側面そくめん n 枚まい」と考かんがえれば自分じぶんで出だせます。

直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいは四よん角柱かくちゅうの仲間なかまです。底面ていめんが長方形ちょうほうけい（または正方形せいほうけい）で、側面そくめんも長方形ちょうほうけいだからです。

円柱えんちゅう

円柱えんちゅう（えんちゅう）とは、上下じょうげに同おなじ大おおきさの円えんがあり、側面そくめんが丸まるまった長方形ちょうほうけいの立体りったいです。底面ていめんの形かたちが 円なのがとくちょう。

   円柱:

      ╭──────╮
      │      │       ← 上の底面（円）
      ╰──────╯
      │      │
      │      │       ← 側面
      │      │
      ╭──────╮
      │      │       ← 下の底面（円）
      ╰──────╯

円柱えんちゅうには 頂ちょう点てんも、まっすぐな辺あたりもありません。ただし上下じょうげの円えんのふちと、1 本ほんの高たかさの直線ちょくせんを「辺あたり」と呼よぶこともあります。

高さたかさ

角柱かくちゅうでも 円柱えんちゅうでも、高さたかさは「2 つの 底面ていめんのあいだの垂直すいちょくな長ながさ」です。側面そくめんの長方形ちょうほうけいの 1 辺あたりの長ながさと同おなじになります。

      ┌────┐
      │    │  ↑
      │    │  │
      │    │  │ 高さ
      │    │  │
      │    │  ↓
      └────┘

3. 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの展開てんかい図ず

四よん角柱かくちゅうの展開てんかい図ず

4 年ねん生せいで学まなんだ直方体ちょくほうたいの展開てんかい図ずと同おなじ考かんがえ方かたです。

   ┌────┐
   │上底面│
   ├────┼────┬────┬────┐
   │側面1│側面2│側面3│側面4│
   ├────┼────┴────┴────┘
   │下底面│
   └────┘

上下じょうげに 底面ていめんの四角形しかくけい、横よこ一いち列れつに 側面そくめんの長方形ちょうほうけいが 4 つならびます。側面そくめんの横よこの長ながさをぜんぶ足たすと、底面ていめんの まわりの長ながさ（周あまね）と等ひとしくなります。

三角柱さんかくちゅうの展開てんかい図ず

   ▲
   │底面│
   ├──────────────────┐
   │ 側面1 │ 側面2 │ 側面3 │
   ├──────────────────┘
   │底面│
   ▼

底面ていめんが三角形さんかくけい、側面そくめんが長方形ちょうほうけい 3 つです。

円柱えんちゅうの展開てんかい図ず

ここが 5 年生ねんせいの新あたらしいところです。円柱えんちゅうの 側面そくめんをはさみで切きり開ひらいて広ひろげると、長方形ちょうほうけいになります。

   ●         ●
   │ 底面（円） │
   ╰─────╯
   ┌──────────────┐
   │              │
   │    側面      │  高さ
   │   （長方形） │
   │              │
   └──────────────┘
   ╭─────╮
   │ 底面（円） │
   ●         ●

ここが大切たいせつな発見はっけん:

• 側面そくめんの長方形ちょうほうけいの たて ＝ 円柱えんちゅうの 高さたかさ
• 側面そくめんの長方形ちょうほうけいの よこ ＝ 底面ていめんの円えんの まわりの長ながさ（円周えんしゅう）

つまり、側面そくめんのよこ ＝ 直径ちょっけい × 3.14（円周えんしゅう率りつ）。第だい 4 章しょうで学まなんだ円周えんしゅう率りつがここで役立やくだちます。

例題れいだい: 底面ていめんの直径ちょっけいが 10 cm、高さたかさが 8 cm の 円柱えんちゅう。側面そくめんを広ひろげた長方形ちょうほうけいのたて・よこの長ながさは？

• たて ＝ 高たかさ ＝ 8 cm
• よこ ＝ 直径ちょっけい × 3.14 ＝ 10 × 3.14 ＝ 31.4 cm

ポイント: 円柱えんちゅうの側面そくめんは、開ひらいてみると意外いがいと 「長方形ちょうほうけい」 です。よこの長ながさは 円周えんしゅう＝ 直径ちょっけい × 3.14 で求もとめます。

4. 体積たいせきの意味いみ

体積たいせきとは、立体りったいの 「かさ」＝ その立体りったいが空間くうかんをどれだけしめているかを表あらわす数かずです。

面積めんせきのときは 「1 cm² の正方形せいほうけいが何なにこ分ぶんか」で広ひろさを表あらわしました。体積たいせきも同おなじように、「1 辺あたりが 1 cm の立方体りっぽうたいが何なにこ分ぶんか」でかさを表あらわします。

   1 cm の立方体（単位の大きさ）:

        ┌────┐
       ╱    ╱│
      ╱    ╱ │  1 cm
     ┌────┐  │
     │    │  │
     │    │  ╱  1 cm
     │    │ ╱
     └────┘
     1 cm

   この立方体 1 個のかさ ＝ 1 cm³

この 1 辺あたり 1 cm の立方体りっぽうたい 1 こ分のかさを 1 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（1 cm³）と言いいます。読よみ方かたは 「いちりっぽうセンチメートル」。

つみ重かさねて数かぞえる

直方体ちょくほうたいの中なかに、1 cm³ の立方体りっぽうたいが何なにこ入はいるか、つみ重かさねて数かぞえてみましょう。

   たて 2 cm、よこ 3 cm、高さ 2 cm の直方体:

      下の段（1 段目）:        上の段（2 段目）:
      ┌─┬─┬─┐                   ┌─┬─┬─┐
      │1│2│3│                   │1│2│3│
      ├─┼─┼─┤                   ├─┼─┼─┤
      │4│5│6│                   │4│5│6│
      └─┴─┴─┘                   └─┴─┴─┘

      1 段 = 2 × 3 = 6 こ
      2 段ある → 6 × 2 = 12 こ

      体積 = 12 cm³

1 段だんに 2 × 3 ＝ 6 こ、それが 2 段なので 6 × 2 ＝ 12 こ。つまり、

$2\times 3\times 2=123^{}$

これが、つぎの直方体ちょくほうたいの体積たいせきの公式こうしきにつながります。

5. 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいの体積たいせき

直方体ちょくほうたいの体積たいせき

1 段だんのこ数すうは たて × よこ、段だんの数かずは 高さ（cm 単位たんい）。だから、

$直方体の体積=たて\times よこ\times 高さ$

例題れいだい 1: たて 4 cm、よこ 5 cm、高たかさ 3 cm の直方体ちょくほうたいの体積たいせきは？

$4\times 5\times 3=603^{}$

立方体りっぽうたいの体積たいせき

立方体りっぽうたいは たて = よこ = 高たかさ。すべて同おなじ長ながさ（1 辺あたり）なので、

$立方体の体積=1 辺\times 1 辺\times 1 辺$

例題れいだい 2: 1 辺あたりが 6 cm の立方体りっぽうたいの体積たいせきは？

$6\times 6\times 6=2163^{}$

底面ていめんの面積めんせき × 高さたかさ という見方みかた

直方体ちょくほうたいを「四よん角柱かくちゅう」として見みると、たて × よこ は 底面ていめん（長方形ちょうほうけい）の 面積めんせきになっています。つまり、

$直方体の体積=(たて\times よこ)\times 高さ=底面積\times 高さ$

この「底面ていめんの面積めんせき × 高さたかさ」という考かんがえ方かたは、6 年ねん生せいで学まなぶ 角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうの体積たいせきにそのままつながります。今いまは直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいの公式こうしきをしっかり使つかえるようにしましょう。

ポイント:長さの単位たんいは そろえる。たてが cm、よこが m、高たかさが mm… のようにバラバラだと計算けいさんできません。ぜんぶ cm か、ぜんぶ m にそろえてからかけ算ざんします。

6. 大おおきな 体積たいせきの単位たんい — 立方メートルりっぽうめーとる

1 m³ ってどれくらい？

とても大おおきなものの体積たいせきを cm³ で表あらわすと、数字すうじが大おおきくなりすぎます。そこで、もっと大おおきな単位たんい立方メートルりっぽうめーとる（m³）を使つかいます。

1 m³ は、1 辺あたりが 1 m の立方体りっぽうたい 1 こ分のかさ。身長しんちょうくらいの大おおきなサイコロを思おもい浮うかべてください。

cm³ と m³ の関係かんけい

1 m ＝ 100 cm なので、1 m³ はどれくらいか計算けいさんしてみましょう。

   1 辺 1 m の立方体
   ＝ 1 辺 100 cm の立方体

$13^{}=100\times 100\times 100=\mathrm{1,000,000}{3}^{}$

1 m³ = 1,000,000 cm³（100 万ばん cm³）。予想よそうよりずっと大おおきいですね。

単位たんい	大おおきさ
1 cm³	1 辺あたり 1 cm の立方体りっぽうたい
1 m³	1 辺あたり 1 m の立方体りっぽうたい ＝ 1,000,000 cm³

7. L（リットル）との関係かんけい

水みずやジュースのかさを表あらわす L（リットル）は、2 年ねん生せいで学まなんだ単位たんいです。じつはこれも体積たいせきの単位たんいの仲間なかまで、cm³ や m³ と対応たいおうしています。

大事だいじな関係かんけい:

$1 L=\mathrm{1,000}{3}^{}$

これは、1 辺あたり 10 cm の立方体りっぽうたいの体積たいせきとちょうど同おなじ大おおきさです。

$10\times 10\times 10=\mathrm{1,000}{3}^{}=1 L$

さらに、1 kL（キロリットル）は 1 L の 1000 倍ばい、つまり 1,000,000 cm³。これは 1 m³ と同おなじです。

$1 kL=\mathrm{1,000} L=\mathrm{1,000,000}{3}^{}=13^{}$

体積たいせきの単位たんい	かさの単位たんい
1 cm³	1 mL（1 ミリリットル）
1,000 cm³	1 L
1 m³	1 kL

ポイント: 牛にゅうパック 1 L ＝ 1,000 cm³、水そう 1 m³ ＝ 1 kL ＝ 1,000 L の 2 つは、生活せいかつの中なかでよく出でてくる大事だいじな関係かんけいです。

例題れいだい 3:水そうの中なかが、たて 50 cm、よこ 80 cm、高たかさ 40 cm。いっぱいになったときの水みずは何なに L？

体積たいせき ＝ 50 × 80 × 40 ＝ 160,000 cm³。

L に直なおすには 1,000 でわる：

$\mathrm{160,000}÷\mathrm{1,000}=160 L$

8. 複合ふくごう立体りったいの体積たいせき

2 つ以上いじょうの直方体ちょくほうたいが組くみ合あわさった形かたちでも、面積めんせきのときと同おなじ考かんがえ方かたで求もとめられます。

分わけて足たす

   L 字型の直方体を上から見た図:

      ┌────────┐
      │  ①    │          ← ① と ② の 2 つの
      │        │            直方体に分ける
      ├────┬───┘
      │ ② │
      │    │
      └────┘

   体積 ＝ ① の体積 ＋ ② の体積

大おおきいから引ひく

   中に穴があいた直方体:

      ┌────────┐
      │        │           ← 大きな直方体から
      │  ┌──┐  │             中の小さな直方体を
      │  │  │  │             引く
      │  └──┘  │
      └────────┘

   体積 ＝ 大きい直方体 − 中の直方体

例題れいだい 4: L 字じ型がたの直方体ちょくほうたい。下したの部分ぶぶんはたて 6 cm、よこ 10 cm、高たかさ 4 cm。上うえの出でっぱりはたて 6 cm、よこ 4 cm、高たかさ 3 cm。全体ぜんたいの体積たいせきは？

• 下したの直方体ちょくほうたい … 6 × 10 × 4 = 240 cm³
• 上うえの直方体ちょくほうたい … 6 × 4 × 3 = 72 cm³
• 合計ごうけい … 240 + 72 = 312 cm³

やってみよう: たて 20 cm、よこ 30 cm、高たかさ 15 cm の直方体ちょくほうたいの中なかに、たて 10 cm、よこ 10 cm、高たかさ 15 cm の直方体ちょくほうたいの穴あながあいています。のこった部分ぶぶんの体積たいせきは何なに cm³？

答えこたえ: 20 × 30 × 15 − 10 × 10 × 15 ＝ 9,000 − 1,500 ＝ 7,500 cm³

9. つまずきやすいポイント

① 単位たんいがそろっていない

   たて 50 cm、よこ 2 m、高さ 30 cm

このまま 50 × 2 × 30 ＝ 3,000 とするとまちがい。2 m ＝ 200 cm にそろえて、

$50\times 200\times 30=\mathrm{300,000}{3}^{}$

とします。

② cm³ と m³ を混同こんどうする

1 m³ は 1,000,000 cm³（100 万まん）。「1 m³ = 100 cm³」や「1 m³ = 1,000 cm³」はまちがいです。長ながさ（1 m = 100 cm）や面積めんせき（1 m² = 10,000 cm²）と混同こんどうしやすいので注意ちゅうい。

③ 体積たいせきと面積めんせきの単位たんいを取とりちがえる

面積めんせきは cm²・m²、体積たいせきは cm³・m³。答えこたえを書かくとき、上の小ちいさな数字すうじ（指数しすう）が ² なのか ³ なのかをしっかり確認かくにんしましょう。

まとめ

• 角柱かくちゅうは 底面ていめんが多角たかく形がた・側面そくめんが長方形ちょうほうけいの立体りったい（三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう…）
• 円柱えんちゅうは 底面ていめんが円えん・側面そくめんが丸まるまった長方形ちょうほうけいの立体りったい
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいは 四よん角柱かくちゅうの仲間なかま
• 角柱かくちゅうの 頂ちょう点てんは 底面ていめんの角かく × 2、辺あたりは 底面ていめんの辺あたり × 3、面めんは 底面ていめんの辺あたり ＋ 2
• 円柱えんちゅうの展開てんかい図ずは、側面そくめんが 長方形ちょうほうけい。よこ = 底面ていめんの円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14
• 体積たいせきは 1 cm³ の立方体りっぽうたいが何なにこ分ぶんか で表あらわす
• 直方体ちょくほうたいの体積たいせき ＝ たて × よこ × 高たかさ
• 立方体りっぽうたいの体積たいせき ＝ 1 辺あたり × 1 辺あたり × 1 辺
• 直方体ちょくほうたいの体積たいせき ＝ 底面ていめんの面積めんせき × 高さたかさ（6 年ねん生せいで 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうに拡張かくちょう）
• 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（cm³）と 立方メートルりっぽうめーとる（m³）の関係かんけい：1 m³ = 1,000,000 cm³
• L との関係かんけい：1 L = 1,000 cm³、1 kL = 1 m³
• 複合ふくごう立体りったいは 分わけて足たすか 大おおきいから引ひくで求もとめる
• 単位たんいはそろえる（cm ならぜんぶ cm）。体積たいせきは ³ 付つきの単位たんいで書かく

次の章しょう: いよいよ 5 年生ねんせいの算数さんすうの後半こうはん戦せん、割合わりあい・百分率ひゃくぶんりつ・速さはやさのせかいです。「50 円えんの品物しなものが 2 割引わりびきでいくら？」「時速じそく 60 km で 3 時間じかん進すすむと何なに km？」 といった生活せいかつの場面ばめんで活躍かつやくする考かんがえ方かたを身みにつけましょう。