立体と 体積
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この章で学ぶこと
4 年生では、直方体と 立方体の辺や面の関係、見取図や 展開図を学びました。この章では、さらに仲間を増やして 角柱や 円柱を取り上げます。そして、立体の「かさ」を数字で表す 体積の計算に進みます。
この章がおわるころには、つぎのことができるようになっています。
- 角柱・円柱の名前と、その 底面・側面・高さ が言える
- 三角柱・四角柱・五角柱・六角柱… の 頂点・辺・面の数を数えられる
- 円柱の 見取図・展開図をかける
- 体積の意味（1 cm³ が何こ分）が分かる
- 直方体の体積 ＝ たて × よこ × 高さ、立方体の体積 ＝ 1 辺 × 1 辺 × 1 辺 を使える
- 立方センチメートル（cm³）、立方メートル（m³）、L（リットル）の関係が言える
- 複合立体の体積を、分けて足す・大きいから引くで求められる
ポイント:立体の章では 面積とまったく同じ考え方が使えます。面積は「1 cm² の正方形が何こ分」。体積は 「1 cm³ の立方体が何こ分」。次元が 1 つ増えるだけです。
1. 4 年生で学んだ立体（おさらい）
直方体と立方体
- 直方体：6 つの面がぜんぶ長方形（正方形をふくむ）。向かい合う面は同じ形・同じ大きさ
- 立方体：6 つの面がぜんぶ同じ正方形。サイコロの形
直方体: 立方体:
┌──────┐ ┌────┐
╱ ╱│ ╱ ╱│
╱ ╱ │ ╱ ╱ │
┌──────┐ │ ┌────┐ │
│ │ │ │ │ │
│ │ ╱ │ │ ╱
│ │ ╱ │ │ ╱
└──────┘ └────┘
どちらも 6 面・12 辺・8 頂点。
見取図と展開図
- 見取図：立体を 斜めから見たようにかいた図（見えない辺は点線）
- 展開図：立体の面を、つながった形に平らに広げてかいた図
立方体の展開図（十字型）:
┌────┐
│ │
│ │
┌────┼────┼────┬────┐
│ │ │ │ │
│ │ │ │ │
└────┼────┼────┴────┘
│ │
│ │
└────┘
これらは 5 年生の新しい立体でも同じように使います。
2. 角柱と 円柱
角柱
角柱（かくちゅう）とは、上下に同じ形の多角形があり、側面がぜんぶ長方形（または正方形）の立体です。
上下の同じ形の面を 底面（ていめん）、横をとり囲む長方形の面を 側面（そくめん）といいます。
三角柱: 四角柱: 五角柱:
▲ ┌────┐ ⬠
╱│╲ ╱ ╱│ ╱ │╲
╱ │ ╲ ╱ ╱ │ ╱ │ ╲
▲──┼──▲ ┌────┐ │ ⬠───┼───⬠
│ │ │ │ │ │ │ │ │
│ ▼ │ │ │ ╱ │ ▼ │
│ ╱ ╲ │ │ │ ╱ │ ╱ ╲ │
▼─────▼ └────┘ ⬠──────⬠
底面の形で 角柱の名前が決まります。
| 底面の形 | 名前 | 側面 | 頂点 | 辺 | 面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 三角形 | 三角柱 | 長方形 3 つ | 6 | 9 | 5 |
| 四角形 | 四角柱 | 長方形 4 つ | 8 | 12 | 6 |
| 五角形 | 五角柱 | 長方形 5 つ | 10 | 15 | 7 |
| 六角形 | 六角柱 | 長方形 6 つ | 12 | 18 | 8 |
ポイント: 底面が n 角形の 角柱では、頂点 = 2n、辺 = 3n、面 = n + 2。これは丸暗記しなくてよくて、「上の面と下の面で 頂点が同じ数ずつ」「n 本の縦辺 ＋ 上下の n 角形の辺 × 2」「上下 2 面 ＋ 側面 n 枚」と考えれば自分で出せます。
直方体・立方体は四角柱の仲間です。底面が長方形（または正方形）で、側面も長方形だからです。
円柱
円柱（えんちゅう）とは、上下に同じ大きさの円があり、側面が丸まった長方形の立体です。底面の形が 円なのがとくちょう。
円柱:
╭──────╮
│ │ ← 上の底面（円）
╰──────╯
│ │
│ │ ← 側面
│ │
╭──────╮
│ │ ← 下の底面（円）
╰──────╯
円柱には 頂点も、まっすぐな辺もありません。ただし上下の円のふちと、1 本の高さの直線を「辺」と呼ぶこともあります。
高さ
角柱でも 円柱でも、高さは「2 つの 底面のあいだの垂直な長さ」です。側面の長方形の 1 辺の長さと同じになります。
┌────┐
│ │ ↑
│ │ │
│ │ │ 高さ
│ │ │
│ │ ↓
└────┘
3. 角柱・円柱の展開図
四角柱の展開図
4 年生で学んだ直方体の展開図と同じ考え方です。
┌────┐
│上底面│
├────┼────┬────┬────┐
│側面1│側面2│側面3│側面4│
├────┼────┴────┴────┘
│下底面│
└────┘
上下に 底面の四角形、横一列に 側面の長方形が 4 つならびます。側面の横の長さをぜんぶ足すと、底面の まわりの長さ（周）と等しくなります。
三角柱の展開図
▲
│底面│
├──────────────────┐
│ 側面1 │ 側面2 │ 側面3 │
├──────────────────┘
│底面│
▼
底面が三角形、側面が長方形 3 つです。
円柱の展開図
ここが 5 年生の新しいところです。円柱の 側面をはさみで切り開いて広げると、長方形になります。
● ●
│ 底面（円） │
╰─────╯
┌──────────────┐
│ │
│ 側面 │ 高さ
│ （長方形） │
│ │
└──────────────┘
╭─────╮
│ 底面（円） │
● ●
ここが大切な発見:
- 側面の長方形の たて ＝ 円柱の 高さ
- 側面の長方形の よこ ＝ 底面の円の まわりの長さ（円周）
つまり、側面のよこ ＝ 直径 × 3.14（円周率）。第 4 章で学んだ円周率がここで役立ちます。
例題: 底面の直径が 10 cm、高さが 8 cm の 円柱。側面を広げた長方形のたて・よこの長さは？
- たて ＝ 高さ ＝ 8 cm
- よこ ＝ 直径 × 3.14 ＝ 10 × 3.14 ＝ 31.4 cm
ポイント: 円柱の側面は、開いてみると意外と 「長方形」 です。よこの長さは 円周＝ 直径 × 3.14 で求めます。
4. 体積の意味
体積とは、立体の 「かさ」＝ その立体が空間をどれだけしめているかを表す数です。
面積のときは 「1 cm² の正方形が何こ分か」で広さを表しました。体積も同じように、「1 辺が 1 cm の立方体が何こ分か」でかさを表します。
1 cm の立方体（単位の大きさ）:
┌────┐
╱ ╱│
╱ ╱ │ 1 cm
┌────┐ │
│ │ │
│ │ ╱ 1 cm
│ │ ╱
└────┘
1 cm
この立方体 1 個のかさ ＝ 1 cm³
この 1 辺 1 cm の立方体 1 こ分のかさを 1 立方センチメートル（1 cm³）と言います。読み方は 「いちりっぽうセンチメートル」。
つみ重ねて数える
直方体の中に、1 cm³ の立方体が何こ入るか、つみ重ねて数えてみましょう。
たて 2 cm、よこ 3 cm、高さ 2 cm の直方体:
下の段（1 段目）: 上の段（2 段目）:
┌─┬─┬─┐ ┌─┬─┬─┐
│1│2│3│ │1│2│3│
├─┼─┼─┤ ├─┼─┼─┤
│4│5│6│ │4│5│6│
└─┴─┴─┘ └─┴─┴─┘
1 段 = 2 × 3 = 6 こ
2 段ある → 6 × 2 = 12 こ
体積 = 12 cm³
1 段に 2 × 3 ＝ 6 こ、それが 2 段なので 6 × 2 ＝ 12 こ。つまり、
これが、つぎの直方体の体積の公式につながります。
5. 直方体・立方体の体積
直方体の体積
1 段のこ数は たて × よこ、段の数は 高さ（cm 単位）。だから、
例題 1: たて 4 cm、よこ 5 cm、高さ 3 cm の直方体の体積は？
立方体の体積
立方体は たて = よこ = 高さ。すべて同じ長さ（1 辺）なので、
例題 2: 1 辺が 6 cm の立方体の体積は？
底面の面積 × 高さ という見方
直方体を「四角柱」として見ると、たて × よこ は 底面（長方形）の 面積になっています。つまり、
この「底面の面積 × 高さ」という考え方は、6 年生で学ぶ 角柱や 円柱の体積にそのままつながります。今は直方体・立方体の公式をしっかり使えるようにしましょう。
ポイント:長さの単位は そろえる。たてが cm、よこが m、高さが mm… のようにバラバラだと計算できません。ぜんぶ cm か、ぜんぶ m にそろえてからかけ算します。
6. 大きな 体積の単位 — 立方メートル
1 m³ ってどれくらい？
とても大きなものの体積を cm³ で表すと、数字が大きくなりすぎます。そこで、もっと大きな単位立方メートル（m³）を使います。
1 m³ は、1 辺が 1 m の立方体 1 こ分のかさ。身長くらいの大きなサイコロを思い浮かべてください。
cm³ と m³ の関係
1 m ＝ 100 cm なので、1 m³ はどれくらいか計算してみましょう。
1 辺 1 m の立方体
＝ 1 辺 100 cm の立方体
1 m³ = 1,000,000 cm³（100 万 cm³）。予想よりずっと大きいですね。
| 単位 | 大きさ |
|---|---|
| 1 cm³ | 1 辺 1 cm の立方体 |
| 1 m³ | 1 辺 1 m の立方体 ＝ 1,000,000 cm³ |
7. L（リットル）との関係
水やジュースのかさを表す L（リットル）は、2 年生で学んだ単位です。じつはこれも体積の単位の仲間で、cm³ や m³ と対応しています。
大事な関係:
これは、1 辺 10 cm の立方体の体積とちょうど同じ大きさです。
さらに、1 kL（キロリットル）は 1 L の 1000 倍、つまり 1,000,000 cm³。これは 1 m³ と同じです。
| 体積の単位 | かさの単位 |
|---|---|
| 1 cm³ | 1 mL（1 ミリリットル） |
| 1,000 cm³ | 1 L |
| 1 m³ | 1 kL |
ポイント: 牛にゅうパック 1 L ＝ 1,000 cm³、水そう 1 m³ ＝ 1 kL ＝ 1,000 L の 2 つは、生活の中でよく出てくる大事な関係です。
例題 3:水そうの中が、たて 50 cm、よこ 80 cm、高さ 40 cm。いっぱいになったときの水は何 L？
体積 ＝ 50 × 80 × 40 ＝ 160,000 cm³。
L に直すには 1,000 でわる：
8. 複合立体の体積
2 つ以上の直方体が組み合わさった形でも、面積のときと同じ考え方で求められます。
分けて足す
L 字型の直方体を上から見た図:
┌────────┐
│ ① │ ← ① と ② の 2 つの
│ │ 直方体に分ける
├────┬───┘
│ ② │
│ │
└────┘
体積 ＝ ① の体積 ＋ ② の体積
大きいから引く
中に穴があいた直方体:
┌────────┐
│ │ ← 大きな直方体から
│ ┌──┐ │ 中の小さな直方体を
│ │ │ │ 引く
│ └──┘ │
└────────┘
体積 ＝ 大きい直方体 − 中の直方体
例題 4: L 字型の直方体。下の部分はたて 6 cm、よこ 10 cm、高さ 4 cm。上の出っぱりはたて 6 cm、よこ 4 cm、高さ 3 cm。全体の体積は？
- 下の直方体 … 6 × 10 × 4 = 240 cm³
- 上の直方体 … 6 × 4 × 3 = 72 cm³
- 合計 … 240 + 72 = 312 cm³
やってみよう: たて 20 cm、よこ 30 cm、高さ 15 cm の直方体の中に、たて 10 cm、よこ 10 cm、高さ 15 cm の直方体の穴があいています。のこった部分の体積は何 cm³？
答え: 20 × 30 × 15 − 10 × 10 × 15 ＝ 9,000 − 1,500 ＝ 7,500 cm³
9. つまずきやすいポイント
① 単位がそろっていない
たて 50 cm、よこ 2 m、高さ 30 cm
このまま 50 × 2 × 30 ＝ 3,000 とするとまちがい。2 m ＝ 200 cm にそろえて、
とします。
② cm³ と m³ を混同する
1 m³ は 1,000,000 cm³（100 万）。「1 m³ = 100 cm³」や「1 m³ = 1,000 cm³」はまちがいです。長さ（1 m = 100 cm）や面積（1 m² = 10,000 cm²）と混同しやすいので注意。
③ 体積と面積の単位を取りちがえる
面積は cm²・m²、体積は cm³・m³。答えを書くとき、上の小さな数字（指数）が ² なのか ³ なのかをしっかり確認しましょう。
まとめ
- 角柱は 底面が多角形・側面が長方形の立体（三角柱・四角柱・五角柱…）
- 円柱は 底面が円・側面が丸まった長方形の立体
- 直方体・立方体は 四角柱の仲間
- 角柱の 頂点は 底面の角 × 2、辺は 底面の辺 × 3、面は 底面の辺 ＋ 2
- 円柱の展開図は、側面が 長方形。よこ = 底面の円周 = 直径 × 3.14
- 体積は 1 cm³ の立方体が何こ分か で表す
- 直方体の体積 ＝ たて × よこ × 高さ
- 立方体の体積 ＝ 1 辺 × 1 辺 × 1 辺
- 直方体の体積 ＝ 底面の面積 × 高さ（6 年生で 角柱・円柱に拡張）
- 立方センチメートル（cm³）と 立方メートル（m³）の関係：1 m³ = 1,000,000 cm³
- L との関係：1 L = 1,000 cm³、1 kL = 1 m³
- 複合立体は 分けて足すか 大きいから引くで求める
- 単位はそろえる（cm ならぜんぶ cm）。体積は ³ 付きの単位で書く
次の章: いよいよ 5 年生の算数の後半戦、割合・百分率・速さのせかいです。「50 円の品物が 2 割引きでいくら？」「時速 60 km で 3 時間進むと何 km？」 といった生活の場面で活躍する考え方を身につけましょう。