立体りったいと 体積たいせき

この 章しょうで 学まなぶこと

4 年ねん生せいでは、直方体ちょくほうたいと 立方体りっぽうたいの 辺へんや 面めんの 関係かんけい、見取図みとりずや 展開図てんかいずを 学まなびました。この 章しょうでは、さらに 仲間なかまを 増ふやして 角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうを 取とり上あげます。そして、立体りったいの「かさ」を 数字すうじで 表あらわす 体積たいせきの 計算けいさん に 進すすみます。

この 章しょうが おわる ころには、つぎの ことが できるように なって います。

• 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの 名前なまえと、その 底面ていめん・側面そくめん・高さたかさ が 言いえる
• 三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう・六角ろっかく柱はしら… の 頂ちょう点てん・辺へん・面めんの 数かずを 数かぞえられる
• 円柱えんちゅうの 見取図みとりず・展開図てんかいずを かける
• 体積たいせきの 意味いみ（1 cm³ が 何なにこ 分）が 分わかる
• 直方体ちょくほうたいの 体積たいせき ＝ たて × よこ × 高たかさ、立方体りっぽうたいの 体積たいせき ＝ 1 辺へん × 1 辺へん × 1 辺へん を 使つかえる
• 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（cm³）、立方メートルりっぽうめーとる（m³）、L（リットル）の 関係かんけい が 言いえる
• 複合ふくごう立体りったいの 体積たいせき を、分わけて 足たす・大おおきいから 引ひくで 求もとめられる

ポイント:立体りったいの 章しょうでは 面積めんせきと まったく 同おなじ 考かんがえ方かたが 使つかえます。面積めんせきは「1 cm² の 正方形せいほうけいが 何なにこ 分ぶん」。体積たいせきは 「1 cm³ の 立方体りっぽうたいが 何なにこ 分ぶん」。次元じげんが 1 つ 増ふえる だけ です。

1. 4 年ねん生せいで 学まなんだ 立体りったい（おさらい）

直方体ちょくほうたいと 立方体りっぽうたい

• 直方体ちょくほうたい：6 つの 面めんが ぜんぶ 長方形ちょうほうけい（正方形せいほうけい を ふくむ）。向むかい合あう 面めんは 同おなじ 形かたち・同おなじ 大おおきさ
• 立方体りっぽうたい：6 つの 面めんが ぜんぶ 同おなじ 正方形せいほうけい。サイコロの 形

   直方体:                  立方体:

      ┌──────┐                 ┌────┐
     ╱      ╱│                ╱    ╱│
    ╱      ╱ │               ╱    ╱ │
   ┌──────┐  │              ┌────┐  │
   │      │  │              │    │  │
   │      │  ╱              │    │  ╱
   │      │ ╱               │    │ ╱
   └──────┘                  └────┘

どちらも 6 面めん・12 辺へん・8 頂ちょう点てん。

見取図みとりずと 展開図てんかいず

• 見取図みとりず：立体りったいを 斜ななめから 見みた ように かいた 図ず（見みえない 辺へんは 点線てんせん）
• 展開図てんかいず：立体りったいの 面めんを、つながった 形かたちに 平たいらに 広ひろげて かいた 図

   立方体の 展開図（十字型）:

          ┌────┐
          │    │
          │    │
      ┌────┼────┼────┬────┐
      │    │    │    │    │
      │    │    │    │    │
      └────┼────┼────┴────┘
          │    │
          │    │
          └────┘

これらは 5 年生ねんせいの 新あたらしい 立体りったい でも 同おなじように 使つかいます。

2. 角柱かくちゅうと 円柱えんちゅう

角柱かくちゅう

角柱かくちゅう（かくちゅう）とは、上下じょうげに 同おなじ 形かたちの 多角形たかくけいが あり、側面そくめんが ぜんぶ 長方形ちょうほうけい（または 正方形せいほうけい）の 立体りったい です。

上下じょうげの 同おなじ 形かたちの 面めんを 底面ていめん（ていめん）、横よこを とり囲かこむ 長方形ちょうほうけいの 面めんを 側面そくめん（そくめん）と いいます。

   三角柱:               四角柱:               五角柱:

        ▲                 ┌────┐              ⬠
       ╱│╲               ╱    ╱│             ╱ │╲
      ╱ │ ╲             ╱    ╱ │            ╱  │ ╲
     ▲──┼──▲          ┌────┐  │           ⬠───┼───⬠
     │  │  │           │    │  │           │   │   │
     │  ▼  │           │    │  ╱           │   ▼   │
     │ ╱ ╲ │           │    │ ╱            │ ╱   ╲ │
     ▼─────▼           └────┘              ⬠──────⬠

底面ていめんの 形で 角柱かくちゅうの 名前なまえが 決きまります。

底面ていめんの 形かたち	名前なまえ	側面そくめん	頂ちょう点てん	辺へん	面めん
三角形さんかくけい	三角柱さんかくちゅう	長方形ちょうほうけい 3 つ	6	9	5
四角形しかくけい	四よん角柱かくちゅう	長方形ちょうほうけい 4 つ	8	12	6
五角形ごかくけい	五ご角柱かくちゅう	長方形ちょうほうけい 5 つ	10	15	7
六角形ろっかっけい	六角ろっかく柱	長方形ちょうほうけい 6 つ	12	18	8

ポイント: 底面ていめんが n 角形かくがたの 角柱かくちゅうでは、頂ちょう点てん = 2n、辺へん = 3n、面めん = n + 2。これは 丸まる暗記あんき しなくて よくて、「上うえの 面めんと 下したの 面めんで 頂ちょう点てんが 同おなじ 数かず ずつ」「n 本ほんの 縦たて辺へん ＋ 上下じょうげの n 角形かくがた の 辺へん × 2」「上下じょうげ 2 面めん ＋ 側面そくめん n 枚まい」と 考かんがえれば 自分じぶんで 出だせます。

直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいは 四よん角柱かくちゅう の 仲間なかまです。底面ていめんが 長方形ちょうほうけい（または 正方形せいほうけい）で、側面そくめんも 長方形ちょうほうけい だから です。

円柱えんちゅう

円柱えんちゅう（えんちゅう）とは、上下じょうげに 同おなじ 大おおきさの 円えんが あり、側面そくめんが 丸まるまった 長方形ちょうほうけいの 立体りったい です。底面ていめんの 形かたちが 円なのが とくちょう。

   円柱:

      ╭──────╮
      │      │       ← 上の 底面（円）
      ╰──────╯
      │      │
      │      │       ← 側面
      │      │
      ╭──────╮
      │      │       ← 下の 底面（円）
      ╰──────╯

円柱えんちゅうには 頂ちょう点てんも、まっすぐな 辺へんも ありません。ただし 上下じょうげ の 円えんの ふちと、1 本ほんの 高たかさの 直線ちょくせんを「辺へん」と 呼よぶ こと も あります。

高さたかさ

角柱かくちゅうでも 円柱えんちゅうでも、高さたかさは「2 つの 底面ていめんの あいだの 垂直すいちょくな 長ながさ」です。側面そくめんの 長方形ちょうほうけいの 1 辺へんの 長ながさ と 同おなじ に なります。

      ┌────┐
      │    │  ↑
      │    │  │
      │    │  │ 高さ
      │    │  │
      │    │  ↓
      └────┘

3. 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうの 展開図てんかいず

四よん角柱かくちゅう の 展開図てんかいず

4 年ねん生せいで 学まなんだ 直方体ちょくほうたい の 展開図てんかいずと 同おなじ 考かんがえ方かた です。

   ┌────┐
   │上底面│
   ├────┼────┬────┬────┐
   │側面1│側面2│側面3│側面4│
   ├────┼────┴────┴────┘
   │下底面│
   └────┘

上下じょうげ に 底面ていめんの 四角形しかくけい、横よこ一いち列れつに 側面そくめんの 長方形ちょうほうけいが 4 つ ならびます。側面そくめんの 横よこ の 長ながさを ぜんぶ 足たすと、底面ていめんの まわりの 長ながさ（周あまね）と 等ひとしく なります。

三角柱さんかくちゅう の 展開図てんかいず

   ▲
   │底面│
   ├──────────────────┐
   │ 側面1 │ 側面2 │ 側面3 │
   ├──────────────────┘
   │底面│
   ▼

底面ていめんが 三角形さんかくけい、側面そくめんが 長方形ちょうほうけい 3 つ です。

円柱えんちゅうの 展開図てんかいず

ここが 5 年生ねんせいの 新あたらしい ところ です。円柱えんちゅうの 側面そくめんを はさみで 切きり開ひらいて 広ひろげると、長方形ちょうほうけいに なります。

   ●         ●
   │ 底面（円） │
   ╰─────╯
   ┌──────────────┐
   │              │
   │    側面      │  高さ
   │   （長方形） │
   │              │
   └──────────────┘
   ╭─────╮
   │ 底面（円） │
   ●         ●

ここが 大切たいせつな 発見はっけん:

• 側面そくめんの 長方形ちょうほうけいの たて ＝ 円柱えんちゅうの 高さたかさ
• 側面そくめんの 長方形ちょうほうけいの よこ ＝ 底面ていめんの 円えんの まわり の 長ながさ（円周えんしゅう）

つまり、側面そくめんの よこ ＝ 直径ちょっけい × 3.14（円周えんしゅう率りつ）。第だい 4 章しょうで 学まなんだ 円周えんしゅう率りつが ここで 役立やくだちます。

例題れいだい: 底面ていめんの 直径ちょっけいが 10 cm、高さたかさが 8 cm の 円柱えんちゅう。側面そくめんを 広ひろげた 長方形ちょうほうけいの たて・よこ の 長ながさは？

• たて ＝ 高たかさ ＝ 8 cm
• よこ ＝ 直径ちょっけい × 3.14 ＝ 10 × 3.14 ＝ 31.4 cm

ポイント: 円柱えんちゅうの 側面そくめんは、開ひらいて みる と 意外いがいと 「長方形ちょうほうけい」 です。よこの 長ながさは 円周えんしゅう＝ 直径ちょっけい × 3.14 で 求もとめます。

4. 体積たいせきの 意味いみ

体積たいせきとは、立体りったいの 「かさ」＝ その 立体りったいが 空間くうかんを どれだけ しめて いるか を 表あらわす 数かず です。

面積めんせきの ときは 「1 cm² の 正方形せいほうけいが 何なにこ 分ぶん か」で 広ひろさを 表あらわしました。体積たいせきも 同おなじ ように、「1 辺へんが 1 cm の 立方体りっぽうたいが 何なにこ 分ぶん か」で かさを 表あらわします。

   1 cm の 立方体（単位 の 大きさ）:

        ┌────┐
       ╱    ╱│
      ╱    ╱ │  1 cm
     ┌────┐  │
     │    │  │
     │    │  ╱  1 cm
     │    │ ╱
     └────┘
     1 cm

   この 立方体 1 個 の かさ ＝ 1 cm³

この 1 辺へん 1 cm の 立方体りっぽうたい 1 こ 分の かさ を 1 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（1 cm³）と 言いいます。読よみ方かたは 「いち りっぽう センチメートル」。

つみ重かさねて 数かぞえる

直方体ちょくほうたい の 中なかに、1 cm³ の 立方体りっぽうたいが 何なにこ 入はいるか、つみ重かさねて 数かぞえて みましょう。

   たて 2 cm、よこ 3 cm、高さ 2 cm の 直方体:

      下の 段（1 段 目）:        上の 段（2 段 目）:
      ┌─┬─┬─┐                   ┌─┬─┬─┐
      │1│2│3│                   │1│2│3│
      ├─┼─┼─┤                   ├─┼─┼─┤
      │4│5│6│                   │4│5│6│
      └─┴─┴─┘                   └─┴─┴─┘

      1 段 = 2 × 3 = 6 こ
      2 段 ある → 6 × 2 = 12 こ

      体積 = 12 cm³

1 段だん に 2 × 3 ＝ 6 こ、それが 2 段なので 6 × 2 ＝ 12 こ。つまり、

$2\times 3\times 2=123^{}$

これが、つぎの 直方体ちょくほうたい の 体積たいせきの 公式こうしきに つながります。

5. 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいの 体積たいせき

直方体ちょくほうたいの 体積たいせき

1 段だん の こ 数かず は たて × よこ、段だんの 数かず は 高さ（cm 単位たんい）。だから、

$直方体の 体積=たて\times よこ\times 高さ$

例題れいだい 1: たて 4 cm、よこ 5 cm、高たかさ 3 cm の 直方体ちょくほうたいの 体積たいせきは？

$4\times 5\times 3=603^{}$

立方体りっぽうたいの 体積たいせき

立方体りっぽうたいは たて = よこ = 高たかさ。すべて 同おなじ 長ながさ（1 辺へん）なので、

$立方体の 体積=1 辺\times 1 辺\times 1 辺$

例題れいだい 2: 1 辺へんが 6 cm の 立方体りっぽうたいの 体積たいせきは？

$6\times 6\times 6=2163^{}$

底面ていめんの 面積めんせき × 高さたかさ という 見方みかた

直方体ちょくほうたいを「四よん角柱かくちゅう」として 見みると、たて × よこ は 底面ていめん（長方形ちょうほうけい）の 面積めんせきに なって います。つまり、

$直方体の 体積=(たて\times よこ)\times 高さ=底面積\times 高さ$

この「底面ていめんの 面積めんせき × 高さたかさ」という 考かんがえ方かたは、6 年ねん生せいで 学まなぶ 角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうの 体積たいせき に そのまま つながります。今いまは 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたい の 公式こうしき を しっかり 使つかえる ように しましょう。

ポイント:長さの 単位たんいは そろえる。たてが cm、よこが m、高たかさが mm… の ように バラバラ だと 計算けいさん できません。ぜんぶ cm か、ぜんぶ m に そろえて から かけ算ざん します。

6. 大おおきな 体積たいせきの 単位たんい — 立方メートルりっぽうめーとる

1 m³ って どれくらい？

とても 大おおきな ものの 体積たいせき を cm³ で 表あらわすと、数字すうじが 大おおきく なりすぎます。そこで、もっと 大おおきな 単位たんい立方メートルりっぽうめーとる（m³）を 使つかいます。

1 m³ は、1 辺へん が 1 m の 立方体りっぽうたい 1 こ 分の かさ。身長しんちょう くらい の 大おおきな サイコロ を 思おもい浮うかべて ください。

cm³ と m³ の 関係かんけい

1 m ＝ 100 cm なので、1 m³ は どれくらい か 計算けいさん して みましょう。

   1 辺 1 m の 立方体
   ＝ 1 辺 100 cm の 立方体

$13^{}=100\times 100\times 100=\mathrm{1,000,000}{3}^{}$

1 m³ = 1,000,000 cm³（100 万まん cm³）。予想よそう より ずっと 大おおきい ですね。

単位たんい	大おおきさ
1 cm³	1 辺へん 1 cm の 立方体りっぽうたい
1 m³	1 辺へん 1 m の 立方体りっぽうたい ＝ 1,000,000 cm³

7. L（リットル）と の 関係かんけい

水みず や ジュース の かさ を 表あらわす L（リットル）は、2 年ねん生せいで 学まなんだ 単位たんい です。じつは これも 体積たいせきの 単位たんい の 仲間なかま で、cm³ や m³ と 対応たいおう して います。

大事だいじな 関係かんけい:

$1 L=\mathrm{1,000}{3}^{}$

これは、1 辺へん 10 cm の 立方体りっぽうたいの 体積たいせき と ちょうど 同おなじ 大おおきさ です。

$10\times 10\times 10=\mathrm{1,000}{3}^{}=1 L$

さらに、1 kL（キロリットル）は 1 L の 1000 倍ばい、つまり 1,000,000 cm³。これは 1 m³ と 同おなじです。

$1 kL=\mathrm{1,000} L=\mathrm{1,000,000}{3}^{}=13^{}$

体積たいせきの 単位たんい	かさの 単位たんい
1 cm³	1 mL（1 ミリリットル）
1,000 cm³	1 L
1 m³	1 kL

ポイント: 牛にゅう パック 1 L ＝ 1,000 cm³、水 そう 1 m³ ＝ 1 kL ＝ 1,000 L の 2 つは、生活せいかつ の 中なかで よく 出でてくる 大事だいじな 関係かんけい です。

例題れいだい 3:水そう の 中なかが、たて 50 cm、よこ 80 cm、高たかさ 40 cm。いっぱい に なった とき の 水みず は 何なに L？

体積たいせき ＝ 50 × 80 × 40 ＝ 160,000 cm³。

L に 直なおすには 1,000 で わる：

$\mathrm{160,000}÷\mathrm{1,000}=160 L$

8. 複合ふくごう立体りったいの 体積たいせき

2 つ 以上いじょう の 直方体ちょくほうたいが 組くみ合あわさった 形かたち でも、面積めんせきの ときと 同おなじ 考かんがえ方かたで 求もとめられます。

分わけて 足たす

   L 字型 の 直方体 を 上 から 見た 図:

      ┌────────┐
      │  ①    │          ← ① と ② の 2 つの
      │        │            直方体に 分ける
      ├────┬───┘
      │ ② │
      │    │
      └────┘

   体積 ＝ ① の 体積 ＋ ② の 体積

大おおきいから 引ひく

   中に 穴 が あいた 直方体:

      ┌────────┐
      │        │           ← 大きな 直方体 から
      │  ┌──┐  │             中の 小さな 直方体 を
      │  │  │  │             引く
      │  └──┘  │
      └────────┘

   体積 ＝ 大きい 直方体 − 中の 直方体

例題れいだい 4: L 字じ型がた の 直方体ちょくほうたい。下した の 部分ぶぶんは たて 6 cm、よこ 10 cm、高たかさ 4 cm。上うえ の 出でっぱり は たて 6 cm、よこ 4 cm、高たかさ 3 cm。全体ぜんたいの 体積たいせきは？

• 下した の 直方体ちょくほうたい … 6 × 10 × 4 = 240 cm³
• 上うえ の 直方体ちょくほうたい … 6 × 4 × 3 = 72 cm³
• 合計ごうけい … 240 + 72 = 312 cm³

やってみよう: たて 20 cm、よこ 30 cm、高たかさ 15 cm の 直方体ちょくほうたいの 中なかに、たて 10 cm、よこ 10 cm、高たかさ 15 cm の 直方体ちょくほうたいの 穴あなが あいて います。のこった 部分ぶぶん の 体積たいせき は 何なに cm³？

答えこたえ: 20 × 30 × 15 − 10 × 10 × 15 ＝ 9,000 − 1,500 ＝ 7,500 cm³

9. つまずきやすい ポイント

① 単位たんいが そろって いない

   たて 50 cm、よこ 2 m、高さ 30 cm

この まま 50 × 2 × 30 ＝ 3,000 と する と まちがい。2 m ＝ 200 cm に そろえて、

$50\times 200\times 30=\mathrm{300,000}{3}^{}$

と します。

② cm³ と m³ を 混同こんどうする

1 m³ は 1,000,000 cm³（100 万まん）。「1 m³ = 100 cm³」や「1 m³ = 1,000 cm³」は まちがい です。長ながさ（1 m = 100 cm）や 面積めんせき（1 m² = 10,000 cm²）と 混同こんどう し やすい ので 注意ちゅうい。

③ 体積たいせき と 面積めんせき の 単位たんい を 取とりちがえる

面積めんせき は cm²・m²、体積たいせき は cm³・m³。答えこたえを 書かく とき、上 の 小ちいさな 数字すうじ（指数しすう）が ² なのか ³ なのか を しっかり 確認かくにん しましょう。

まとめ

• 角柱かくちゅうは 底面ていめんが 多角形たかくけい・側面そくめんが 長方形ちょうほうけい の 立体りったい（三角柱さんかくちゅう・四よん角柱かくちゅう・五ご角柱かくちゅう…）
• 円柱えんちゅうは 底面ていめんが 円えん・側面そくめんが 丸まるまった 長方形ちょうほうけい の 立体りったい
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたい は 四よん角柱かくちゅう の 仲間なかま
• 角柱かくちゅうの 頂ちょう点てん は 底面ていめん の 角かく × 2、辺へん は 底面ていめん の 辺へん × 3、面めん は 底面ていめん の 辺へん ＋ 2
• 円柱えんちゅうの 展開図てんかいず は、側面そくめんが 長方形ちょうほうけい。よこ = 底面ていめんの 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14
• 体積たいせきは 1 cm³ の 立方体りっぽうたい が 何なにこ 分ぶん か で 表あらわす
• 直方体ちょくほうたいの 体積たいせき ＝ たて × よこ × 高たかさ
• 立方体りっぽうたいの 体積たいせき ＝ 1 辺へん × 1 辺へん × 1 辺へん
• 直方体ちょくほうたいの 体積たいせき ＝ 底面ていめんの 面積めんせき × 高さたかさ（6 年ねん生せいで 角柱かくちゅう・円柱えんちゅうに 拡張かくちょう）
• 立方センチメートルりっぽうせんちめーとる（cm³）と 立方メートルりっぽうめーとる（m³）の 関係かんけい：1 m³ = 1,000,000 cm³
• L との 関係かんけい：1 L = 1,000 cm³、1 kL = 1 m³
• 複合ふくごう立体りったいは 分わけて 足たすか 大おおきいから 引ひくで 求もとめる
• 単位たんいは そろえる（cm なら ぜんぶ cm）。体積たいせき は ³ 付つきの 単位たんい で 書かく

次の 章しょう: いよいよ 5 年生ねんせいの 算数さんすう の 後半こうはん戦せん、割合わりあい・百分率ひゃくぶんりつ・速さはやさの せかい です。「50 円えん の 品物しなもの が 2 割引わりびき で いくら？」「時速じそく 60 km で 3 時間じかん進すすむと 何なに km？」 といった 生活せいかつの 場面ばめんで 活躍かつやく する 考かんがえ方かた を 身みに つけましょう。