合同ごうどう・多角たかく形がた・円周えんしゅう率りつ

この章しょうで学まなぶこと

4年生ねんせいでは、角の大おおきさや 垂直すいちょく・平行へいこう、そして 台形だいけい・平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形がたなど、いろいろな図形づけいの仕組しくみを学まなびました。

5年生ねんせいでは、図形づけいのせかいをもう一いち歩ほふかく調しらべます。

• ふたつの図形づけいが ぴったり重かさなるってどういうこと？（合同ごうどう）
• 三角形さんかっけいや四角形しかっけいの 角の和は、どんな形かたちでも決きまっている？
• 正多角形せいたかっけいと 円のふしぎな関係かんけい
• 円えんのまわりの長ながさ（円周えんしゅう）は、直径ちょっけいの何なん倍ばい？（円周率えんしゅうりつ）

この章しょうが終おわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 合同ごうどうの意味いみを言いえる（ぴったり重かさなる＝形かたちと大おおきさが同おなじ）
• 対応たいおうする辺あたり・対応たいおうする角を見みつけられる
• 三角形さんかっけいが 1 つに決きまる 3 つの条件じょうけんを言いえる
• 三角形さんかっけいの内角ないかくの和わ = 180°を使つかえる
• 四角形しかっけいの内角ないかくの和わ = 360°、五角形ごかっけい = 540°、六角形ろっかっけい = 720°と計算けいさんできる
• 正多角形せいたかっけいの意味いみと例れいが言いえる
• 円周率えんしゅうりつの意味いみを言いえる（円周えんしゅう ÷ 直径ちょっけい ≒ 3.14）
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14で円周えんしゅうの長ながさを求もとめられる

ポイント: この章しょうのキーワードは 「ぴったり重かさなる」「角かくを集あつめる」「直径ちょっけいの何なん倍ばい」の 3 つです。どれも、形のしくみを数かずで表あらわすことがねらいです。

1. 合同ごうどうな図形づけい

合同ごうどうとは

ふたつの図形づけいが ぴったり重かさねられるとき、その 2 つの図形づけいは 合同ごうどうであるといいます。「形かたちも大おおきさも同おなじ」ということです。

   図形 ア            図形 イ
   ┌──┐            ┌──┐
   │  │            │  │
   │  │            │  │
   └──┘            └──┘

回まわしたり、うら返かえしたりして重かさなれば、それも合同ごうどうです。

   ア（もとの向き）    イ（回転）       ウ（うら返し）
    ┌─┐               ┌─┐             ┌─┐
    │ │  →  90°回転    ├─┘             │ │
    ├─┘               │               └─┤
    └                                      └

ずらしても、回まわしても、うら返かえしても、ぴったり重かさなるなら合同ごうどうです。

対応する辺たいおうするへんと 対応する角たいおうするかく

合同ごうどうな図形づけいでは、重かさねたときに同おなじ場所ばしょに来くる辺どうし・角かくどうしを 対応する辺たいおうするへん、対応する角たいおうするかくといいます。

     A                A'
    /\               /\
   /  \             /  \
  /    \           /    \
 B──────C         B'─────C'

三角形さんかっけい ABC と 三角形さんかっけい A'B'C' が合同ごうどうなら、

• 辺あたり AB と 辺あたり A'B' は 対応たいおうする辺（長ながさが等ひとしい）
• 辺あたり BC と 辺あたり B'C' は 対応たいおうする辺（長ながさが等ひとしい）
• 辺あたり CA と 辺あたり C'A' は 対応たいおうする辺（長ながさが等ひとしい）
• 角かく A と 角かく A' は 対応たいおうする角（大おおきさが等ひとしい）
• 角かく B と 角かく B' は 対応たいおうする角（大おおきさが等ひとしい）
• 角かく C と 角かく C' は 対応たいおうする角（大おおきさが等ひとしい）

合同ごうどうな図形づけいでは、対応たいおうする辺あたりの長ながさも、対応たいおうする角かくの大おおきさも、ぜんぶ等ひとしいのがきまりです。

ポイント:合同ごうどうかどうかを調しらべるには、対応たいおうする辺あたりと角かくを見みくらべるのが基本きほん。ただし、三角形さんかっけいなら全部ぜんぶを調しらべなくても、あるポイントさえそろえば合同ごうどうと分わかります（次つぎの節ふし）。

2. 三角形さんかっけいが 1 つに決きまる条件じょうけん

三角形さんかっけいの 合同ごうどう条件じょうけん

三角形さんかっけいは、3 つの辺と 3 つの角、合あわせて 6 つの要素ようそがあります。でも、そのうちの 3 つが決きまれば、三角形さんかっけいの形かたちと大おおきさが 1 つに決きまることが分わかっています。

つぎの 3 つのどれかが同おなじなら、2 つの三角形さんかっけいは 合同ごうどうです。

① 3 つの辺あたりの長ながさがそれぞれ等ひとしい

        5 cm                  5 cm
       /\                    /\
   4  /  \  6            4  /  \  6
     /    \                /    \
    /______\              /______\
      7 cm                  7 cm

辺の長ながさがすべて等ひとしい三角形さんかっけいは、必かならずぴったり重かさなります。

② 2 つの辺あたりとその間かんの角かくが等ひとしい

          /                    /
      5  / 60°             5  / 60°
        /                    /
       /──────              /──────
         6                    6

2 本ほんの辺あたりと、その 2 辺あたりではさんだ角が同おなじなら合同ごうどう。

③ 1 つの辺あたりと、その両りょうはしの角かくが等ひとしい

       40°     70°            40°     70°
        /\                    /\
       /  \                  /  \
      /    \                /    \
     /______\              /______\
        8 cm                  8 cm

1 つの辺あたりの長ながさと、その辺あたりの 両はしの角（両りょうはじ）の大おおきさが同おなじなら合同ごうどう。

ポイント:合同ごうどうな三角形さんかっけいは、この 3 つの条件じょうけんのどれか 1 つをチェックすれば見分みわけられます。全部ぜんぶの辺あたり・角かくを調しらべなくてよいのがコツです。

合同ごうどうな三角形さんかっけいをかいてみよう

「3 つの辺あたりの長ながさが 4 cm、5 cm、6 cm の三角形さんかっけいをかきなさい」と言いわれたら、コンパスと ものさしで 1 通とおりの形かたちにしかかけません。

   ① 6 cm の 直線を ひく
        ●───────────────────●

   ② 左はしから半径 4 cm の円、右はしから半径 5 cm の円をかく

   ③ 2 つの円が交わった点が、3 つめの<ruby>頂<rt>ちょう</rt></ruby><ruby>点<rt>てん</rt></ruby>

どこかで必かならずぴったり決きまる——これが「三角形さんかっけいが 1 つに決きまる」ということです。

3. 三角形さんかっけいの内角ないかくの和わ = 180°

内角ないかくとは

多角たかく形がたの 内がわにある角かくを 内角ないかくといいます。

        A
       /\
      /  \
     /    \
    /      \
   B────────C

三角形さんかっけい ABC なら、角かく A、角かく B、角かく C の 3 つが内角ないかくです。

三角形さんかっけいの 3 つの角かくの和わ

どんな三角形さんかっけいでも、3 つの内角ないかくの大おおきさを足たすと 180°になります。これを三角形さんかっけいの 内角の和ないかくのわといいます。

$\angle A+\angle B+\angle C=180°$

たしかめる方法ほうほうはいくつかあります。

方法ほうほう 1：分度器ぶんどきではかる

紙に三角形さんかっけいをかき、それぞれの角かくを分度器ぶんどきで はかって足たしてみると、およそ 180°になります。

方法ほうほう 2：3 つの角かくを切きり取とって集あつめる

   もとの三角形             角を切り取る          集める
        /\                    ●  ●  ●          ●──●──●
       /  \                                      （ちょうど半回転 = 180°）
      /    \
     ────────

3 つの角かくを切きり取とって 1 つの点てんに集あつめると、ちょうど 半はん回転かいてん（180°）に ならびます。

例れい：角かくを計算けいさんする

三角形さんかっけいの 2 つの角かくが 60° と 70° のとき、のこる角かくは？

$180°-60°-70°=50°$

答こたえ：50°。

4. 四角形しかっけいの内角ないかくの和わ = 360°

どんな四角形しかっけいでも、4 つの内角ないかくの和わは 360°になります。

なぜ 360° なのか

四角形しかっけいを、1 本ほんの 対角線たいかくせんで 2 つの三角形さんかっけいに分わけてみます。

   A────────B            A────────B
   │        │            │       ／│
   │        │    →       │     ／  │
   │        │            │   ／    │
   D────────C            D────────C

2 つの三角形さんかっけいの内角ないかくの和わは、180° × 2 = 360°。分わけたときに出でてきた角かくを全部ぜんぶ足たすと、もとの四角形しかっけいの 4 つの内角ないかくを足たしたのと同おなじことになります。

だから、四角形しかっけいの内角ないかくの和わ = 180° × 2 = 360°。

例れい：角かくを計算けいさんする

四角形しかっけいの 3 つの角かくが 90°、100°、80° のとき、のこる角かくは？

$360°-90°-100°-80°=90°$

答こたえ：90°。

5. 多角たかく形がたの内角ないかくの和わ

五角形ごかっけい・六角形ろっかっけいも同おなじように

五角形ごかっけいや六角形ろっかっけいも、対角線たいかくせんで三角形さんかっけいに分わけて、180° を何なん倍ばいするかで求もとめられます。

五角形ごかっけい

       A
      / \
     /   \
    E     B
    │     │
    │     │
    D─────C

頂ちょう点てん A から対角線たいかくせんを引ひくと、五角形ごかっけいは 3 つの三角形さんかっけいに分わけられます。

$180°\times 3=540°$

五角形ごかっけいの内角ないかくの和わ = 540°。

六角形ろっかっけい

頂ちょう点てんから対角線たいかくせんを引ひくと、4 つの三角形さんかっけいに分わけられます。

$180°\times 4=720°$

六角形ろっかっけいの内角ないかくの和わ = 720°。

まとめると n 角形かくがたの内角ないかくの和わ

n 角形かくがたを 1 つの頂ちょう点てんから対角線たいかくせんで分わけると、(n − 2) 個の三角形さんかっけいにできます。

$n 角形の内角の和=180°\times (n-2)$

多角たかく形がた	n	(n − 2)	内角ないかくの和わ
三角形さんかっけい	3	1	180°
四角形しかっけい	4	2	360°
五角形ごかっけい	5	3	540°
六角形ろっかっけい	6	4	720°
七なな角形かくがた	7	5	900°
八はち角形かくがた	8	6	1080°

ポイント: 「頂ちょう点てんの数かずから 2 を引ひいた数かず × 180°」でいつでも計算けいさんできます。三角形さんかっけいに分わけると考かんがえるのがコツです。

6. 正多角形せいたかっけい

正多角形せいたかっけいとは

すべての辺あたりの長ながさが等ひとしく、すべての内角ないかくの大おおきさも等ひとしい多角たかく形がたを 正多角形せいたかっけいといいます。

正三角形せいさんかっけい

       ●
      / \
     /   \
    ●─────●

• 3 つの辺あたりがすべて同おなじ長ながさ
• 3 つの角かくがすべて 60°

正方形せいほうけい

   ●─────●
   │     │
   │     │
   ●─────●

• 4 つの辺あたりがすべて同おなじ長ながさ
• 4 つの角かくがすべて 90°

正五角形せいごかっけい

       ●
      / \
     ●   ●
     │   │
     ●───●

• 5 つの辺あたりがすべて同おなじ長ながさ
• 5 つの角かくがすべて 108°（540° ÷ 5 = 108°）

正六角形せいろっかっけい

      ●───●
     /     \
    ●       ●
     \     /
      ●───●

• 6 つの辺あたりがすべて同おなじ長ながさ
• 6 つの角かくがすべて 120°（720° ÷ 6 = 120°）

正多角形せいたかっけいの 1 つの角かくの大おおきさ

正多角形せいたかっけいの 1 つの内角ないかくは、内角ないかくの和わ ÷ 頂ちょう点てんの数で求もとめられます。

正多角形せいたかっけい	内角ないかくの和わ	頂ちょう点数てんすう	1 つの内角ないかく
正三角形せいさんかっけい	180°	3	60°
正方形せいほうけい	360°	4	90°
正五角形せいごかっけい	540°	5	108°
正六角形せいろっかっけい	720°	6	120°
正せい八はち角形かくがた	1080°	8	135°

正多角形せいたかっけいと円えんの関係かんけい

正多角形せいたかっけいの頂ちょう点てんをすべて 1 つの 円のまわりに置おくと、ぴったり入はいります。

        正六角形と円
          ●───●
         /     \
       ●  ●─●   ●
         \     /
          ●───●

正六角形せいろっかっけいは、中心ちゅうしんから 6 つの頂ちょう点てんまでの長ながさがすべて同おなじなので、円の中なかにきれいに入はいる形です。また、中心ちゅうしんと頂ちょう点てんを線せんで結むすぶと、6 つの正三角形せいさんかっけいができます。

ポイント:正多角形せいたかっけいは、頂ちょう点てんの数かずを増ふやしていくと、だんだん 円に近ちかづいていきます。正ただし 12 角形かくがた、正ただし 24 角形かくがた、正ただし 100 角形かくがた……と増ふやせば、まるで円えんのようになります。

7. 円周率えんしゅうりつと 円周えんしゅうの長ながさ

円えんの用語ようごの復習ふくしゅう

円えんについて 3年生ねんせいで学まなんだ用語ようごをおさらいします。

          中心
          ●
         /│\
        / │ \    半径
       /  │  \
      ●───●───●     直径 = 半径 × 2
         直径

• 中心ちゅうしん：円えんの真まん中なかの点てん
• 半径はんけい：中心ちゅうしんから円えんのふちまでの長ながさ
• 直径ちょっけい：円えんのふちからふちまで、中心ちゅうしんを通とおる長ながさ（半径はんけいの 2 倍ばい）
• 円周えんしゅう：円えんのまわりの長ながさ（←これが 5年生ねんせいの新あたらしいテーマ）

円周えんしゅうは直径ちょっけいの何なん倍ばい？

「円えんのまわりの長ながさ」と「直径ちょっけいの長ながさ」には、いつも同おなじ関係かんけいがあるのでしょうか？

じっけん：いろいろな大おおきさの円えんで、円周えんしゅうと直径ちょっけいをはかってみる

物体ぶったい	直径ちょっけい	円周えんしゅう（ひもではかる）	円周えんしゅう ÷ 直径ちょっけい
小ちいさな コイン	2 cm	6.28 cm	3.14
時計とけいの ふち	10 cm	31.4 cm	3.14
自転車じてんしゃの タイヤ	60 cm	188.4 cm	3.14

どんな大おおきさの円えんでも、円周えんしゅう ÷ 直径ちょっけい ≒ 3.14になります。この値あたいを 円周率えんしゅうりつといいます。

円周率えんしゅうりつの意味いみ

円周えんしゅう率りつとは、円周えんしゅうの長ながさが 直径ちょっけいの長ながさの 何なん倍ばいになっているかを表あらわす数かずです。

$円周率=\frac{}{}$

円周えんしゅう率りつの正ただしい値あたいは 3.14159265358979...とどこまでも続つづく数かずですが、小学校しょうがっこうでは 3.14を使つかいます。

ポイント:円周えんしゅう率りつは、円の大おおきさに関係かんけいなく いつも同おなじ。どんなに大おおきな円えんでも、小ちいさな円えんでも、円周えんしゅうは直径ちょっけいの約やく 3.14 倍ばいになります。

円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14

円周えんしゅう率りつの式しきをひっくり返かえすと、円周えんしゅうの長ながさが求もとめられます。

$円周=直径\times 3.14$

例れい 1：直径ちょっけい 10 cm の円えんの円周えんしゅう

$10\times 3.14=31.4$

答こたえ：31.4 cm。

例れい 2：半径はんけい 5 cm の円えんの円周えんしゅう

半径はんけい 5 cm なら直径ちょっけいは 10 cm。

$10\times 3.14=31.4$

答こたえ：31.4 cm。

例れい 3：直径ちょっけい 4 cm の円えんの円周えんしゅう

$4\times 3.14=12.56$

答こたえ：12.56 cm。

円周えんしゅうから直径ちょっけいを求もとめる

ぎゃくに、円周えんしゅうが分わかれば 直径ちょっけいも求もとめられます。

$直径=円周÷3.14$

例：円周えんしゅうが 18.84 cm の円えんの直径ちょっけい

$18.84÷3.14=6$

答こたえ：6 cm。

直径ちょっけい	円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14
1 cm	3.14 cm
2 cm	6.28 cm
5 cm	15.7 cm
8 cm	25.12 cm
10 cm	31.4 cm
100 cm	314 cm

やってみよう:半径はんけい 3 cm の円えんの円周えんしゅうは何なに cm でしょう？

答こたえ:直径ちょっけいは 3 × 2 = 6 cm。円周えんしゅう = 6 × 3.14 = 18.84 cm。

つまずきやすいポイント

• 「対応たいおうする」の意味いみ：合同ごうどうな 2 つの図形づけいを、重かさねたときに同おなじ場所ばしょに来くる辺や角かくのこと。見みた目めの順番じゅんばんではありません。
• 多角たかく形がたの内角ないかくの和：n 角形かくがたは (n − 2) 個この三角形さんかっけいに分わけられる、と覚おぼえておけば (n − 2) × 180° の式しきが作つくれます。
• 半径はんけいと直径ちょっけいをまちがえる：円周えんしゅうの公式こうしきは 直径ちょっけい × 3.14。半径はんけいしか分わかっていないときは、まず直径ちょっけい = 半径はんけい × 2 にしてから。
• 円周えんしゅう率りつは小数しょうすう：3.14 は切きり捨すてではなく、計算けいさんの都合つごうで使つかう およその値あたい。本当ほんとうはどこまでも続つづく数かずです。

まとめ

• 合同ごうどう：形かたちと大おおきさが同おなじで、ぴったり重かさなるふたつの図形づけい
• 合同ごうどうな図形づけいでは、対応する辺たいおうするへんの長ながさも 対応する角たいおうするかくの大おおきさもすべて等ひとしい
• 三角形さんかっけいの合同ごうどう条件じょうけん：3 辺あたり／2 辺あたり+間かんの角かく／1 辺あたり+両りょうはしの角のどれかが等ひとしい
• 内角の和ないかくのわ：
  • 三角形さんかっけい = 180°
  • 四角形しかっけい = 360°
  • n 角形かくがた = 180° × (n − 2)
• 正多角形せいたかっけい：すべての辺あたりが等ひとしく、すべての内角ないかくも等ひとしい多角たかく形がた
  • 正三角形せいさんかっけい（60°）・正方形せいほうけい（90°）・正五角形せいごかっけい（108°）・正六角形せいろっかっけい（120°）
• 円周率えんしゅうりつ：円周えんしゅう ÷ 直径ちょっけいの値あたい。どんな大おおきさの円えんでも 約 3.14
• 円周えんしゅう = 直径ちょっけい × 3.14
• 直径ちょっけい = 円周えんしゅう ÷ 3.14

次の章しょう:図形づけいを「見みる」段階だんかいから「大おおきさを計算けいさんする」段階だんかいへ進すすみます。つぎは 三角形さんかっけい・平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形がた・台形だいけいの面積めんせきを求もとめる方法ほうほうを学まなびましょう。