合同・多角形・円周率
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この章で学ぶこと
4年生では、角の大きさや 垂直・平行、そして 台形・平行四辺形・ひし形など、いろいろな図形の仕組みを学びました。
5年生では、図形のせかいをもう一歩ふかく調べます。
- ふたつの図形が ぴったり重なるってどういうこと？（合同）
- 三角形や四角形の 角の和は、どんな形でも決まっている？
- 正多角形と 円のふしぎな関係
- 円のまわりの長さ（円周）は、直径の何倍？（円周率）
この章が終わるころには、つぎのことができるようになっています。
- 合同の意味を言える（ぴったり重なる＝形と大きさが同じ）
- 対応する辺・対応する角を見つけられる
- 三角形が 1 つに決まる 3 つの条件を言える
- 三角形の内角の和 = 180°を使える
- 四角形の内角の和 = 360°、五角形 = 540°、六角形 = 720°と計算できる
- 正多角形の意味と例が言える
- 円周率の意味を言える（円周 ÷ 直径 ≒ 3.14）
- 円周 = 直径 × 3.14で円周の長さを求められる
ポイント: この章のキーワードは 「ぴったり重なる」「角を集める」「直径の何倍」の 3 つです。どれも、形のしくみを数で表すことがねらいです。
1. 合同な図形
合同とは
ふたつの図形が ぴったり重ねられるとき、その 2 つの図形は 合同であるといいます。「形も大きさも同じ」ということです。
図形 ア 図形 イ
┌──┐ ┌──┐
│ │ │ │
│ │ │ │
└──┘ └──┘
回したり、うら返したりして重なれば、それも合同です。
ア（もとの向き） イ（回転） ウ（うら返し）
┌─┐ ┌─┐ ┌─┐
│ │ → 90°回転 ├─┘ │ │
├─┘ │ └─┤
└ └
ずらしても、回しても、うら返しても、ぴったり重なるなら合同です。
対応する辺と 対応する角
合同な図形では、重ねたときに同じ場所に来る辺どうし・角どうしを 対応する辺、対応する角といいます。
A A'
/\ /\
/ \ / \
/ \ / \
B──────C B'─────C'
三角形 ABC と 三角形 A'B'C' が合同なら、
- 辺 AB と 辺 A'B' は 対応する辺（長さが等しい）
- 辺 BC と 辺 B'C' は 対応する辺（長さが等しい）
- 辺 CA と 辺 C'A' は 対応する辺（長さが等しい）
- 角 A と 角 A' は 対応する角（大きさが等しい）
- 角 B と 角 B' は 対応する角（大きさが等しい）
- 角 C と 角 C' は 対応する角（大きさが等しい）
合同な図形では、対応する辺の長さも、対応する角の大きさも、ぜんぶ等しいのがきまりです。
ポイント:合同かどうかを調べるには、対応する辺と角を見くらべるのが基本。ただし、三角形なら全部を調べなくても、あるポイントさえそろえば合同と分かります（次の節）。
2. 三角形が 1 つに決まる条件
三角形の 合同条件
三角形は、3 つの辺と 3 つの角、合わせて 6 つの要素があります。でも、そのうちの 3 つが決まれば、三角形の形と大きさが 1 つに決まることが分かっています。
つぎの 3 つのどれかが同じなら、2 つの三角形は 合同です。
① 3 つの辺の長さがそれぞれ等しい
5 cm 5 cm
/\ /\
4 / \ 6 4 / \ 6
/ \ / \
/______\ /______\
7 cm 7 cm
辺の長さがすべて等しい三角形は、必ずぴったり重なります。
② 2 つの辺とその間の角が等しい
/ /
5 / 60° 5 / 60°
/ /
/────── /──────
6 6
2 本の辺と、その 2 辺ではさんだ角が同じなら合同。
③ 1 つの辺と、その両はしの角が等しい
40° 70° 40° 70°
/\ /\
/ \ / \
/ \ / \
/______\ /______\
8 cm 8 cm
1 つの辺の長さと、その辺の 両はしの角（両はじ）の大きさが同じなら合同。
ポイント:合同な三角形は、この 3 つの条件のどれか 1 つをチェックすれば見分けられます。全部の辺・角を調べなくてよいのがコツです。
合同な三角形をかいてみよう
「3 つの辺の長さが 4 cm、5 cm、6 cm の三角形をかきなさい」と言われたら、コンパスと ものさしで 1 通りの形にしかかけません。
① 6 cm の 直線を ひく
●───────────────────●
② 左はしから半径 4 cm の円、右はしから半径 5 cm の円をかく
③ 2 つの円が交わった点が、3 つめの頂点
どこかで必ずぴったり決まる——これが「三角形が 1 つに決まる」ということです。
3. 三角形の内角の和 = 180°
内角とは
多角形の 内がわにある角を 内角といいます。
A
/\
/ \
/ \
/ \
B────────C
三角形 ABC なら、角 A、角 B、角 C の 3 つが内角です。
三角形の 3 つの角の和
どんな三角形でも、3 つの内角の大きさを足すと 180°になります。これを三角形の 内角の和といいます。
たしかめる方法はいくつかあります。
方法 1：分度器ではかる
紙に三角形をかき、それぞれの角を分度器で はかって足してみると、およそ 180°になります。
方法 2：3 つの角を切り取って集める
もとの三角形 角を切り取る 集める
/\ ● ● ● ●──●──●
/ \ （ちょうど半回転 = 180°）
/ \
────────
3 つの角を切り取って 1 つの点に集めると、ちょうど 半回転（180°）に ならびます。
例：角を計算する
三角形の 2 つの角が 60° と 70° のとき、のこる角は？
答え：50°。
4. 四角形の内角の和 = 360°
どんな四角形でも、4 つの内角の和は 360°になります。
なぜ 360° なのか
四角形を、1 本の 対角線で 2 つの三角形に分けてみます。
A────────B A────────B
│ │ │ ／│
│ │ → │ ／ │
│ │ │ ／ │
D────────C D────────C
2 つの三角形の内角の和は、180° × 2 = 360°。分けたときに出てきた角を全部足すと、もとの四角形の 4 つの内角を足したのと同じことになります。
だから、四角形の内角の和 = 180° × 2 = 360°。
例：角を計算する
四角形の 3 つの角が 90°、100°、80° のとき、のこる角は？
答え：90°。
5. 多角形の内角の和
五角形・六角形も同じように
五角形や六角形も、対角線で三角形に分けて、180° を何倍するかで求められます。
五角形
A
/ \
/ \
E B
│ │
│ │
D─────C
頂点 A から対角線を引くと、五角形は 3 つの三角形に分けられます。
五角形の内角の和 = 540°。
六角形
頂点から対角線を引くと、4 つの三角形に分けられます。
六角形の内角の和 = 720°。
まとめると n 角形の内角の和
n 角形を 1 つの頂点から対角線で分けると、(n − 2) 個の三角形にできます。
| 多角形 | n | (n − 2) | 内角の和 |
|---|---|---|---|
| 三角形 | 3 | 1 | 180° |
| 四角形 | 4 | 2 | 360° |
| 五角形 | 5 | 3 | 540° |
| 六角形 | 6 | 4 | 720° |
| 七角形 | 7 | 5 | 900° |
| 八角形 | 8 | 6 | 1080° |
ポイント: 「頂点の数から 2 を引いた数 × 180°」でいつでも計算できます。三角形に分けると考えるのがコツです。
6. 正多角形
正多角形とは
すべての辺の長さが等しく、すべての内角の大きさも等しい多角形を 正多角形といいます。
正三角形
●
/ \
/ \
●─────●
- 3 つの辺がすべて同じ長さ
- 3 つの角がすべて 60°
正方形
●─────●
│ │
│ │
●─────●
- 4 つの辺がすべて同じ長さ
- 4 つの角がすべて 90°
正五角形
●
/ \
● ●
│ │
●───●
- 5 つの辺がすべて同じ長さ
- 5 つの角がすべて 108°（540° ÷ 5 = 108°）
正六角形
●───●
/ \
● ●
\ /
●───●
- 6 つの辺がすべて同じ長さ
- 6 つの角がすべて 120°（720° ÷ 6 = 120°）
正多角形の 1 つの角の大きさ
正多角形の 1 つの内角は、内角の和 ÷ 頂点の数で求められます。
| 正多角形 | 内角の和 | 頂点数 | 1 つの内角 |
|---|---|---|---|
| 正三角形 | 180° | 3 | 60° |
| 正方形 | 360° | 4 | 90° |
| 正五角形 | 540° | 5 | 108° |
| 正六角形 | 720° | 6 | 120° |
| 正八角形 | 1080° | 8 | 135° |
正多角形と円の関係
正多角形の頂点をすべて 1 つの 円のまわりに置くと、ぴったり入ります。
正六角形と円
●───●
/ \
● ●─● ●
\ /
●───●
正六角形は、中心から 6 つの頂点までの長さがすべて同じなので、円の中にきれいに入る形です。また、中心と頂点を線で結ぶと、6 つの正三角形ができます。
ポイント:正多角形は、頂点の数を増やしていくと、だんだん 円に近づいていきます。正 12 角形、正 24 角形、正 100 角形……と増やせば、まるで円のようになります。
7. 円周率と 円周の長さ
円の用語の復習
円について 3年生で学んだ用語をおさらいします。
中心
●
/│\
/ │ \ 半径
/ │ \
●───●───● 直径 = 半径 × 2
直径
- 中心：円の真ん中の点
- 半径：中心から円のふちまでの長さ
- 直径：円のふちからふちまで、中心を通る長さ（半径の 2 倍）
- 円周：円のまわりの長さ（←これが 5年生の新しいテーマ）
円周は直径の何倍？
「円のまわりの長さ」と「直径の長さ」には、いつも同じ関係があるのでしょうか？
じっけん：いろいろな大きさの円で、円周と直径をはかってみる
| 物体 | 直径 | 円周（ひもではかる） | 円周 ÷ 直径 |
|---|---|---|---|
| 小さな コイン | 2 cm | 6.28 cm | 3.14 |
| 時計の ふち | 10 cm | 31.4 cm | 3.14 |
| 自転車の タイヤ | 60 cm | 188.4 cm | 3.14 |
どんな大きさの円でも、円周 ÷ 直径 ≒ 3.14になります。この値を 円周率といいます。
円周率の意味
円周率とは、円周の長さが 直径の長さの 何倍になっているかを表す数です。
円周率の正しい値は 3.14159265358979...とどこまでも続く数ですが、小学校では 3.14を使います。
ポイント:円周率は、円の大きさに関係なく いつも同じ。どんなに大きな円でも、小さな円でも、円周は直径の約 3.14 倍になります。
円周 = 直径 × 3.14
円周率の式をひっくり返すと、円周の長さが求められます。
例 1：直径 10 cm の円の円周
答え：31.4 cm。
例 2：半径 5 cm の円の円周
半径 5 cm なら直径は 10 cm。
答え：31.4 cm。
例 3：直径 4 cm の円の円周
答え：12.56 cm。
円周から直径を求める
ぎゃくに、円周が分かれば 直径も求められます。
例：円周が 18.84 cm の円の直径
答え：6 cm。
| 直径 | 円周 = 直径 × 3.14 |
|---|---|
| 1 cm | 3.14 cm |
| 2 cm | 6.28 cm |
| 5 cm | 15.7 cm |
| 8 cm | 25.12 cm |
| 10 cm | 31.4 cm |
| 100 cm | 314 cm |
やってみよう:半径 3 cm の円の円周は何 cm でしょう？
答え:直径は 3 × 2 = 6 cm。円周 = 6 × 3.14 = 18.84 cm。
つまずきやすいポイント
- 「対応する」の意味：合同な 2 つの図形を、重ねたときに同じ場所に来る辺や角のこと。見た目の順番ではありません。
- 多角形の内角の和：n 角形は (n − 2) 個の三角形に分けられる、と覚えておけば (n − 2) × 180° の式が作れます。
- 半径と直径をまちがえる：円周の公式は 直径 × 3.14。半径しか分かっていないときは、まず直径 = 半径 × 2 にしてから。
- 円周率は小数：3.14 は切り捨てではなく、計算の都合で使う およその値。本当はどこまでも続く数です。
まとめ
- 合同：形と大きさが同じで、ぴったり重なるふたつの図形
- 合同な図形では、対応する辺の長さも 対応する角の大きさもすべて等しい
- 三角形の合同条件：3 辺／2 辺+間の角／1 辺+両はしの角のどれかが等しい
- 内角の和：
- 三角形 = 180°
- 四角形 = 360°
- n 角形 = 180° × (n − 2)
- 正多角形：すべての辺が等しく、すべての内角も等しい多角形
- 正三角形（60°）・正方形（90°）・正五角形（108°）・正六角形（120°）
- 円周率：円周 ÷ 直径の値。どんな大きさの円でも 約 3.14
- 円周 = 直径 × 3.14
- 直径 = 円周 ÷ 3.14
次の章:図形を「見る」段階から「大きさを計算する」段階へ進みます。つぎは 三角形・平行四辺形・ひし形・台形の面積を求める方法を学びましょう。