比例・グラフ・平均
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この章で学ぶこと
5 年生算数の最後の章です。ここでは、2 つの数量が同時に変わるときの関係を、表・式・グラフで表す学習をします。また、たくさんのデータを 1 つの数にまとめる 平均の使い方も学びます。
この章がおわるころには、つぎのことができるようになっています。
- 伴って変わる 2 つの数量を表にまとめて、変化のきまりを見つけられる
- 比例の意味（一方が 2 倍・3 倍になると、もう一方も 2 倍・3 倍）を説明できる
- 比例の関係を y ＝ 決まった数 × x の式で書ける
- 比例をグラフでかける（原点を通る直線になる）
- 円グラフ・帯グラフの読み方とかき方が分かる
- 棒グラフ・折れ線グラフ・円グラフ・帯グラフの 使い分けができる
- 平均＝ 合計 ÷ 個数を使って、身長やテスト点数などをまとめられる
ポイント: 5 年生の算数で学んだ「割合」や「比べる」の考え方が、グラフや表や式とつながっていきます。ここで身につけた力は、6 年生の比例・反比例、中学校の関数、さらに理科や社会のグラフ読みとりにも生きてきます。
1. 伴って変わる二つの数量
表をかいてみる
ノートを 1 さつ 80 円で買うとき、買うさっ数と代金はどう変わるでしょう？
| さっ数（さつ） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金（円） | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
さっ数が 1 さつふえると、代金は 80 円ずつふえています。また、さっ数が 2 倍、3 倍、4 倍… になると、代金も 2 倍、3 倍、4 倍…
このように、一方が変わるともう一方も変わる 2 つの量を、伴って変わる 2 つの数量と言います。
変わり方のいろいろ
伴って変わるからといって、いつも「2 倍 → 2 倍」とは限りません。
例 1:長さ 20 cm のろうそくを火をつけて燃やす。1 分ごとに 2 cm ずつ短くなる。
| 時間（分） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 長さ（cm） | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 |
時間がふえると長さは 減っていきます。2 倍 → 2 倍ではありません。
例 2: 1 辺が x cm の正方形の面積 y cm²。
| x（cm） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y（cm²） | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
x が 2 倍になると、y は 4 倍。x が 3 倍なら y は 9 倍。これも伴って変わりますが、単純な 2 倍 → 2 倍ではありません。
5 年生では、この中の いちばんかんたんな変わり方を取り出して学びます。それがつぎの 比例です。
2. 比例
比例の意味
さきほどのノートの例をもう一度見ましょう。
| さっ数 x（さつ） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金 y（円） | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
- x が 2 倍（1 → 2）になると、y も 2 倍（80 → 160）
- x が 3 倍（1 → 3）になると、y も 3 倍（80 → 240）
- x が 4 倍（1 → 4）になると、y も 4 倍（80 → 320）
このように、x が 2 倍・3 倍・4 倍… になるにつれ、y も 2 倍・3 倍・4 倍… になるとき、「y は x に 比例する」と言います。
決まった数を見つける
比例の表をよく見ると、どの列でも y ÷ x が同じ数になっています。
さっ数 x： 1 2 3 4 5 6
代金 y：80 160 240 320 400 480
y ÷ x ： 80 80 80 80 80 80 ← ぜんぶ 80！
この「いつも同じ数 80」が、ノート 1 さつのねだんです。比例の関係では、この y ÷ x の 値 が 一定にきまっているのが特ちょう。
この一定の数を 決まった数と呼び、比例の式はつぎのように書けます。
ノートの例では、決まった数 ＝ 80 なので、
x ＝ 10 を入れれば y ＝ 800。x ＝ 7 を入れれば y ＝ 560。表に書いていない 値 も、式からすぐに求められます。
比例かどうかを見分ける
つぎの表は、どれが比例でどれが比例でないか、考えてみましょう。
表 A:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 10 | 15 | 20 |
y ÷ x ＝ 5・5・5・5（ぜんぶ 5）。比例する。式は y ＝ 5 × x。
表 B:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 6 | 9 | 12 |
y ÷ x ＝ 3・3・3・3。比例する。式は y ＝ 3 × x。
表 C:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 5 | 8 | 11 |
y ÷ x ＝ 2・2.5・2.67…・2.75…（バラバラ）。比例しない。
（これは「3 ずつふえる」変わり方ですが、比例ではありません。y ＝ 3 × x − 1 という別の関係です。6 年生以降で学びます。）
表 D（例 1 のろうそく）:
| 時間 x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 長さ y | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 |
x ＝ 0 のとき y ＝ 20。x がふえても y は減っていく。比例しない。
ポイント:比例かどうかは、y ÷ x がいつも同じ数になるかで見分けます。ちがうならば「比例しない」。なお、比例のときは x ＝ 0 なら y ＝ 0 になる、というのも大切な特ちょう。
まわりの比例の例
生活の中には比例の関係がたくさんあります。
- 水道のじゃ口を一定の強さで開ける：時間とたまった水の量
- 歩く速さが一定：時間と歩いた道のり
- 同じねだんの品物を買う：買った数と代金
- 長さが一定の鉄のぼう：本数と全体の長さ
どれも、「1 あたりの量がきまっているときに出てくる関係です。さっき学んだ 単位量あたりの大きさ や 速さ の背景には、じつは比例がかくれていたのです。
3. 比例のグラフ
グラフにしてみる
比例の関係を グラフにかくと、見た目でもその特ちょうがはっきりします。
ノートの例（y ＝ 80 × x）をグラフにしてみましょう。
代金 y (円)
↑
480│ ●
400│ ●
320│ ●
240│ ●
160│ ●
80│ ●
│ → さっ数 x (さつ)
└────────────────────────
0 1 2 3 4 5 6
点が まっすぐな線の上にならびます。そして、その線は 左下の角（原点）、つまり x ＝ 0、y ＝ 0 の点を通ります。
この 2 つは、比例のグラフのとても大切な特ちょうです。
ポイント: 比例のグラフは原点を通る直線。これが比例のいちばんの見た目の特ちょうです。原点を通らない直線や、曲がった線は比例ではありません。
グラフのかき方（手じゅん）
- 表で x・y の 値 の組をいくつか調べる
- 方がん紙の横じくに x、たてじくに y をとる
- x ・y の最大値 がおさまるように、1 ますの大きさを決める（例：x は 1 ます ＝ 1、y は 1 ます ＝ 40 円）
- (1, 80) (2, 160) (3, 240)… の点を打つ
- 点をまっすぐな線でつなぐ（比例なら必ず原点も通る）
4. 円グラフと 帯グラフ
割合を 「見える」形にする
前の章で学んだ 割合 や 百分率 を、図で表すと、一目で大小のくらべができるようになります。代表的なのが 円グラフと 帯グラフです。
円グラフ
円グラフは、円の全体（360°）をもと（100%）とし、それぞれの割合を扇形（おうぎ形）の大きさで表したグラフです。
例: ある 5 年生 100 人の好きな食べ物を調べた。
| 食べ物 | 人数 | 割合 |
|---|---|---|
| カレー | 40 人 | 40% |
| ラーメン | 25 人 | 25% |
| すし | 20 人 | 20% |
| ハンバーグ | 10 人 | 10% |
| その他 | 5 人 | 5% |
| 合計 | 100 人 | 100% |
円グラフ（イメージ）:
・・・・・・
・・ラーメン・・
・・ 25% ・・
・ ・・・ ・
・ カレー ・・す ・
・ 40% ・し20% ・
・ ・・・ ・
・ハンバーグ ・・・・
・・10% その他 ・・
・・・ 5% ・・・
・・・・・
読みとりのコツ：
- 全体 ＝ 360° ＝ 100%
- 1% ＝ 3.6°（360 ÷ 100）
- ふつう、大きい割合から順に時計回りでかく。「その他」はいちばん後（小さい割合でも「その他」は最後）
40% を角度に直すと 360 × 0.4 ＝ 144°。25% なら 360 × 0.25 ＝ 90°（ちょうど 4 分の 1）。
帯グラフ
帯グラフは、長い長方形（帯）全体を 100% とし、それぞれの割合を区切って表したグラフです。
帯グラフ（イメージ）:
┌─────────┬──────┬─────┬──┬┐
│ カレー │ラーメン│ すし │ ハ │その他│
│ 40% │ 25% │ 20% │ン10│5%│
│ │ │ │バ │ │
│ │ │ │ーグ│ │
└─────────┴──────┴─────┴──┴┘
0% 50% 100%
帯グラフは、時間の変化を並べて比べるのにとくに便利です。たとえば 10 年ごとに同じ帯グラフを並べると、割合がどう移り変わったかが一目で分かります。
10 年前 ┌────────┬─────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└────────┴─────┴──┴─┘
5 年前 ┌──────────┬────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└──────────┴────┴──┴─┘
今年 ┌───────┬──────┬────┬─┐
│カレー │ラーメン │ すし │他│
└───────┴──────┴────┴─┘
「カレーがだんだん減って、ラーメンがふえている」など、変化のようすがはっきり見えます。
円グラフと帯グラフの使い分け
| グラフ | 得意な場面 |
|---|---|
| 円グラフ | 1 つの全体の中の割合を見せる（1 年生の好きな食べ物） |
| 帯グラフ | 複数の全体の割合をならべて比べる（10 年ごとの変化） |
どちらも、表すのは「全体の中の割合」。合計はいつでも 100%になります。
かき方の手じゅん（円グラフ）
- それぞれの 割合（%）を計算する
- 1% ＝ 3.6° なので、各項目の 中心角を求める（例：40% → 144°）
- 円をかき、中心から真上に線を引いて出発点とする
- 大きい割合から時計回りに角度を分けていく
- 区切った部分に色を塗り、名前と割合を書く（「その他」は最後）
かき方の手じゅん（帯グラフ）
- それぞれの 割合（%）を計算する
- 帯の全長を 10 cm（＝ 100 ます）などに決める
- 左から順に、割合に対応する長さで区切る（40% なら 4 cm、25% なら 2.5 cm…）
- 区切った部分に色を塗り、名前と割合を書く
5. いろいろなグラフの使い分け
4 年生までに、つぎのグラフを学んできました。それぞれ得意な使い方がちがいます。
| グラフ | 特ちょう・得意な場面 |
|---|---|
| 棒グラフ | それぞれの量を棒の長さでくらべる（クラス別の人数） |
| 折れ線グラフ | 時間につれた量の変化（1 年の気温） |
| 円グラフ | 全体に対する割合を扇形で見せる（好きな食べ物） |
| 帯グラフ | 割合を並べて比べる（10 年ごとのアンケート） |
「量そのものを見せたい」なら棒グラフ・折れ線グラフ。「全体の中の割合を見せたい」なら円グラフ・帯グラフ。使い分けを意識しましょう。
6. 平均
ならして 1 つにする
5 人の身長をはかったら、
- 136 cm、138 cm、140 cm、142 cm、144 cm
でした。「5 人全体の身長は？」と 1 つの数で言いたいとき、どうすればよいでしょう？
このとき使うのが 平均です。平均は 合計を人数でわった数で、「でこぼこをならして、みんなを同じ 値 にそろえたときの数」と考えられます。
計算してみましょう。
- 合計 ＝ 136 + 138 + 140 + 142 + 144 ＝ 700 cm
- 平均 ＝ 700 ÷ 5 ＝ 140 cm
5 人の身長を ならしてみんな 140 cm にそろえたと考えてよい、というわけです。
ならす図で見る
もとの身長（でこぼこ）:
144│ ███
142│ ███ ███
140│ ███ ███ ███
138│ ███ ███ ███ ███
136│███ ███ ███ ███ ███
A B C D E
平均（140 cm でそろえる）:
140│███ ███ ███ ███ ███ ← みんな同じ 140
A B C D E
高い子の分を、低い子に分けてあげると、ちょうど全員が 140 cmになる、というイメージです。
平均の使い道
- 身長・体重：クラスの代表値
- テストの点数：「クラスの平均は 72 点」
- 気温：「3 月の平均気温」（1 か月を 1 つの数でまとめる）
- ジュースの量：1 本ずつにはばらつきがあっても、たくさんの本を平均するとほぼ表示通り
例題 1: テストの点数が 72・85・68・90・80 点。平均は？
平均79 点。
0 のデータも入れる
例題 2: ある週に読んだ本のページ数。月 10、火 0、水 8、木 12、金 0、土 15、日 5。1 日平均は？
約7.1 ページ。0 の日も 個数に入れるのをわすれずに。合計 ÷ 個数です。
合計を逆算する
平均の公式を変形すると、
例題 3: 6 人のクラスのテストの平均点は 75 点。6 人の合計点は？
平均から合計を出せると、1 人抜けたときの点数や、新しい人を入れたときの平均など、いろいろな問題が解けるようになります。
例題 4: 5 人のテストの平均が 78 点。1 人が追加で 90 点を取った。6 人の平均は？
- 5 人の合計 ＝ 78 × 5 ＝ 390 点
- 6 人の合計 ＝ 390 + 90 ＝ 480 点
- 6 人の平均 ＝ 480 ÷ 6 ＝ 80 点
小数になってもよい
平均は わり算だから、小数になることがあります。
例: 3 人の兄弟の年れい 12・10・7 才。平均は？
「平均 9.6 才」「約 9.7 才」と書きます。人の年れいなのに小数が出るのは変な気がしますが、ならしたときの数なので、これで正しいのです。
7. つまずきやすいポイント
① 比例と 「ただふえる」を混ぜる
「x がふえると y もふえる」＝ 比例、ではありません。2 倍 ・3 倍に同じようにふえるのが比例。たとえば「3 ずつふえる（2→5→8→11）」は比例ではありません。
② 比例のグラフが原点を通らない
比例のグラフは 必ず原点（0, 0）を通る直線。もしグラフが原点以外から出発しているなら、それは比例ではありません。
③ 円グラフ・帯グラフの合計が 100% にならない
割合を計算するとき、四捨五入で 99% や 101% になることがあります。「その他」で調整するか、表に 「合計 100%」と書いておきましょう。
④ 平均で個数を間違える
「0 のデータを数に入れわすれる」「休んだ日をのぞいてしまう」などのミスが多いです。合計 ÷ 個数の個数は、全部のデータの数（0 もふくめる）です。
⑤ 平均と合計を混同する
「平均 70 点のクラス」＝ 合計 70 点ではありません。平均は 1 人あたりの点数で、合計は 平均 × 人数。
まとめ
- 伴って変わる 2 つの数量：一方が変わるともう一方も変わる 2 つの量
- 比例：x が 2 倍・3 倍… になると、y も 2 倍・3 倍… になる関係
- 比例の式：y ＝ 決まった数 × x。決まった数 ＝ y ÷ x（いつも同じ）
- 比例のグラフ：原点（0, 0）を通る直線
- 円グラフ：円全体（360° ＝ 100%）を割合の扇形で表す
- 帯グラフ：帯全体（100%）を割合の区切りで表す。並べて比べるのに便利
- グラフの使い分け：量 ＝ 棒グラフ・折れ線、割合 ＝ 円グラフ・帯グラフ
- 平均＝ 合計 ÷ 個数。でこぼこをならしたときの数
- 合計 ＝ 平均 × 個数（逆算の公式）
- 0 のデータも個数に入れる。平均が小数になることもある
5 年生算数のしめくくり:整数の性質から始まり、小数や分数のかけ算・わり算、図形と面積・体積、割合と速さ、そして比例と平均まで。5 年生の 1 年で、算数の世界はぐっと広がりました。6 年生では、この章で学んだ 比例の考え方をさらにおし広げて、反比例・比・拡大としゅく小・角柱や 円柱の体積など、より本格的な算数に進みます。この章で学んだ「表・式・グラフを行き来する力」が、これからの大きな武器になります。