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5 年生算数 の 最後 の 章 です。ここ では、2 つ の 数量 が 同時に 変わる ときの 関係を、表・式・グラフ で 表す 学習 を します。また、たくさん の データ を 1 つ の 数に まとめる 平均の 使い方 も 学びます。
この 章 が おわる ころ には、つぎの こと が できる ように なって います。
ポイント: 5 年生 の 算数 で 学んだ「割合」や「比べる」の 考え方 が、グラフ や 表 や 式と つながって いきます。ここ で 身に つけた 力 は、6 年生 の 比例・反比例、中学校 の 関数、さらに 理科 や 社会 の グラフ 読みとり にも 生きて きます。
ノート を 1 さつ 80 円 で 買う とき、買う さっ 数 と 代金 は どう 変わる でしょう?
| さっ 数(さつ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金(円) | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
さっ 数 が 1 さつ ふえる と、代金 は 80 円 ずつふえて います。また、さっ 数 が 2 倍、3 倍、4 倍… に なる と、代金 も 2 倍、3 倍、4 倍…
この ように、一方 が 変わる と もう 一方 も 変わる 2 つ の 量を、伴って 変わる 2 つ の 数量と 言います。
伴って 変わる からと いって、いつも「2 倍 → 2 倍」とは 限りません。
例 1:長さ 20 cm の ろうそく を 火 を つけて 燃やす。1 分 ごとに 2 cm ずつ 短く なる。
| 時間(分) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 長さ(cm) | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 |
時間 が ふえる と 長さ は 減っていきます。2 倍 → 2 倍 では ありません。
例 2: 1 辺 が x cm の 正方形 の 面積 y cm²。
| x(cm) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y(cm²) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
x が 2 倍 に なると、y は 4 倍。x が 3 倍 なら y は 9 倍。これも 伴って 変わります が、単純 な 2 倍 → 2 倍 では ありません。
5 年生 では、この 中 の いちばん かんたん な 変わり方を 取り出して 学びます。それ が つぎ の 比例です。
さきほど の ノート の 例 を もう 一度見ましょう。
| さっ 数 x(さつ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金 y(円) | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
この ように、x が 2 倍・3 倍・4 倍… に なる につれ、y も 2 倍・3 倍・4 倍… に なるとき、「y は x に 比例する」と 言います。
比例 の 表 を よく 見る と、どの 列 でも y ÷ x が 同じ 数 に なって います。
さっ 数 x: 1 2 3 4 5 6
代金 y:80 160 240 320 400 480
y ÷ x : 80 80 80 80 80 80 ← ぜんぶ 80!
この「いつも 同じ 数 80」が、ノート 1 さつ の ねだんです。比例 の 関係 では、この y ÷ x の 値 が 一定 に きまって いるのが 特ちょう。
この 一定 の 数 を 決まった 数と 呼び、比例 の 式 は つぎ の ように 書けます。
ノート の 例 では、決まった 数 = 80 なので、
x = 10 を 入れれば y = 800。x = 7 を 入れれば y = 560。表 に 書いて いない 値 も、式 から すぐ に 求められます。
つぎ の 表 は、どれ が 比例 で どれ が 比例 で ないか、考えて みましょう。
表 A:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 10 | 15 | 20 |
y ÷ x = 5・5・5・5(ぜんぶ 5)。比例 する。式 は y = 5 × x。
表 B:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 6 | 9 | 12 |
y ÷ x = 3・3・3・3。比例 する。式 は y = 3 × x。
表 C:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 5 | 8 | 11 |
y ÷ x = 2・2.5・2.67…・2.75…(バラバラ)。比例 しない。
(これは「3 ずつ ふえる」変わり方 ですが、比例 では ありません。y = 3 × x − 1 と いう 別 の 関係 です。6 年生以降 で 学びます。)
表 D(例 1 の ろうそく):
| 時間 x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 長さ y | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 |
x = 0 の とき y = 20。x が ふえても y は 減って いく。比例 し ない。
ポイント:比例 か どうか は、y ÷ x が いつも 同じ 数 に なるかで 見分けます。ちがう ならば「比例 しない」。なお、比例 の とき は x = 0 なら y = 0 に なる、というの も 大切 な 特ちょう。
生活 の 中 には 比例 の 関係 が たくさん あります。
どれも、「1 あたり の 量 が きまって いるとき に 出てくる 関係 です。さっき 学んだ 単位量あたりの大きさ や 速さ の 背景 には、じつは 比例 が かくれて いた ので す。
比例 の 関係 を グラフに かく と、見た 目 でも その 特ちょう が はっきり します。
ノート の 例(y = 80 × x)を グラフ に して みましょう。
代金 y (円)
↑
480│ ●
400│ ●
320│ ●
240│ ●
160│ ●
80│ ●
│ → さっ数 x (さつ)
└────────────────────────
0 1 2 3 4 5 6
点 が まっすぐ な 線の 上 に ならびます。そして、その 線 は 左下 の 角(原点)、つまり x = 0、y = 0 の 点 を 通ります。
この 2 つ は、比例 の グラフ の とても 大切 な 特ちょう です。
ポイント:比例 の グラフ は 原点 を 通る 直線。これ が 比例 の いちばん の 見た目 の 特ちょう です。原点 を 通らない 直線 や、曲がった 線 は 比例 では ありません。
前の 章 で 学んだ 割合 や 百分率 を、図 で 表すと、一目で 大小 の くらべ が できる ように なります。代表的 なのが 円グラフと 帯グラフです。
円グラフは、円 の 全体(360°)を もと(100%)と し、それぞれ の 割合 を 扇形(おうぎ形)の 大きさ で 表したグラフ です。
例: ある 5 年生 100 人 の 好き な 食べ物 を 調べた。
| 食べ物 | 人数 | 割合 |
|---|---|---|
| カレー | 40 人 | 40% |
| ラーメン | 25 人 | 25% |
| すし | 20 人 | 20% |
| ハンバーグ | 10 人 | 10% |
| その他 | 5 人 | 5% |
| 合計 | 100 人 | 100% |
円グラフ(イメージ):
・・・・・・
・・ラーメン・・
・・ 25% ・・
・ ・・・ ・
・ カレー ・・す ・
・ 40% ・し20% ・
・ ・・・ ・
・ハンバーグ ・・・・
・・10% その他 ・・
・・・ 5% ・・・
・・・・・
読みとり の コツ:
40% を 角度 に 直すと 360 × 0.4 = 144°。25% なら 360 × 0.25 = 90°(ちょうど 4 分 の 1)。
帯グラフは、長い 長方形(帯)全体 を 100% と し、それぞれ の 割合 を 区切って 表したグラフ です。
帯グラフ(イメージ):
┌─────────┬──────┬─────┬──┬┐
│ カレー │ラーメン│ すし │ ハ │その他│
│ 40% │ 25% │ 20% │ン10│5%│
│ │ │ │バ │ │
│ │ │ │ーグ│ │
└─────────┴──────┴─────┴──┴┘
0% 50% 100%
帯グラフ は、時間 の 変化 を 並べて 比べるの に とくに 便利 です。たとえば 10 年ごと に 同じ 帯グラフ を 並べる と、割合 が どう 移り変わった かが 一目で 分かります。
10 年前 ┌────────┬─────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└────────┴─────┴──┴─┘
5 年前 ┌──────────┬────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└──────────┴────┴──┴─┘
今年 ┌───────┬──────┬────┬─┐
│カレー │ラーメン │ すし │他│
└───────┴──────┴────┴─┘
「カレー が だんだん 減って、ラーメン が ふえて いる」など、変化 の ようすが はっきり 見えます。
| グラフ | 得意 な 場面 |
|---|---|
| 円グラフ | 1 つ の 全体 の 中の 割合 を 見せる(1 年生 の 好きな 食べ物) |
| 帯グラフ | 複数 の 全体 の 割合 を ならべて 比べる(10 年ごと の 変化) |
どちら も、表 す の は「全体 の 中 の 割合」。合計 は いつでも 100%に なります。
4 年生 まで に、つぎ の グラフ を 学んで きました。それぞれ 得意 な 使い方 が ちがいます。
| グラフ | 特ちょう・得意 な 場面 |
|---|---|
| 棒グラフ | それぞれ の 量 を 棒 の 長さ で くらべる(クラス 別 の 人数) |
| 折れ線グラフ | 時間 に つれた 量 の 変化(1 年 の 気温) |
| [[円グラフ | えんぐらふ]] |
| [[帯グラフ | おびグラフ]] |
「量 そのものを 見せ たい」なら 棒グラフ・折れ線グラフ。「全体 の 中 の 割合を 見せ たい」なら 円グラフ・帯グラフ。使い分けを 意識 しましょう。
5 人 の 身長 を はかった ら、
でした。「5 人全体 の 身長 は?」と 1 つ の 数 で 言いたい とき、どう すれば よいでしょう?
この とき 使う の が 平均です。平均 は 合計 を 人数 で わった 数で、「でこぼこ を ならし て、みんな を 同じ 値 に そろえた とき の 数」と 考えられます。
計算 して みましょう。
5 人 の 身長 を ならし て みんな 140 cm に そろえたと 考えて よい、という わけ です。
もと の 身長(でこぼこ):
144│ ███
142│ ███ ███
140│ ███ ███ ███
138│ ███ ███ ███ ███
136│███ ███ ███ ███ ███
A B C D E
平均(140 cm で そろえる):
140│███ ███ ███ ███ ███ ← みんな 同じ 140
A B C D E
高い 子 の 分 を、低い 子 に 分けて あげる と、ちょうど 全員 が 140 cmに なる、という イメージ です。
例題 1: テスト の 点数 が 72・85・68・90・80 点。平均 は?
平均79 点。
例題 2: ある 週 に 読んだ 本 の ページ数。月 10、火 0、水 8、木 12、金 0、土 15、日 5。1 日平均 は?
約7.1 ページ。0 の 日 も 個数 に 入れるの を わすれず に。合計 ÷ 個数です。
平均 の 公式 を 変形 する と、
例題 3: 6 人 の クラス の テスト の 平均点 は 75 点。6 人 の 合計点 は?
平均 から 合計 を 出せる と、1 人抜けた とき の 点数 や、新しい 人 を 入れた とき の 平均 など、いろいろ な 問題 が 解ける ように なります。
例題 4: 5 人 の テスト の 平均 が 78 点。1 人 が 追加 で 90 点 を 取った。6 人 の 平均 は?
平均 は わり算だから、小数 に なる こと が あります。
例: 3 人 の 兄弟 の 年れい 12・10・7 才。平均 は?
「平均 9.6 才」「約 9.7 才」と 書きます。人 の 年れい なのに 小数 が 出る の は 変 な 気 が しますが、ならした とき の 数なので、これ で 正しい の です。
「x が ふえると y も ふえる」= 比例、では ありません。2 倍 ・3 倍 に 同じ ように ふえるの が 比例。たとえば「3 ずつ ふえる(2→5→8→11)」は 比例 では ありません。
比例 の グラフ は 必ず 原点(0, 0)を 通る 直線。もし グラフ が 原点以外 から 出発 して いる なら、それ は 比例 では ありません。
割合 を 計算 する とき、四捨五入 で 99% や 101% に なる こと が あります。「その他」で 調整 する か、表 に 「合計 100%」と 書いて おきましょう。
「0 の データ を 数 に 入れ わすれる」「休んだ 日 を のぞいて しまう」など の ミス が 多い です。合計 ÷ 個数の 個数 は、全部 の データ の 数(0 も ふくめる)です。
「平均 70 点 の クラス」= 合計 70 点 では ありません。平均 は 1 人 あたり の 点数で、合計 は 平均 × 人数。
5 年生算数 の しめくくり:整数 の 性質 から 始まり、小数 や 分数 の かけ算・わり算、図形 と 面積・体積、割合 と 速さ、そして 比例 と 平均 まで。5 年生 の 1 年 で、算数 の 世界 は ぐっと 広がりました。6 年生では、この 章 で 学んだ 比例の 考え方 を さらに おし広げて、反比例・比・拡大 と しゅく小・角柱や 円柱の 体積など、より 本格的 な 算数 に 進みます。この 章 で 学んだ「表・式・グラフ を 行き来 する 力」が、これから の 大きな 武器 に なります。