比例ひれい・グラフ・平均へいきん

この 章しょうで 学まなぶこと

5 年生ねんせい算数さんすう の 最後さいご の 章しょう です。ここ では、2 つ の 数量すうりょう が 同時どうじに 変かわる ときの 関係かんけいを、表ひょう・式しき・グラフ で 表あらわす 学習がくしゅう を します。また、たくさん の データ を 1 つ の 数かずに まとめる 平均へいきんの 使つかい方かた も 学まなびます。

この 章しょう が おわる ころ には、つぎの こと が できる ように なって います。

• 伴ともなって 変かわる 2 つ の 数量すうりょうを 表ひょう に まとめて、変化へんか の きまり を 見みつけられる
• 比例ひれいの 意味いみ（一方いっぽう が 2 倍ばい・3 倍ばい に なると、もう 一方いっぽう も 2 倍ばい・3 倍ばい）を 説明せつめい できる
• 比例ひれい の 関係かんけい を y ＝ 決きまった 数かず × x の 式しき で 書かける
• 比例ひれい を グラフ で かける（原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせんに なる）
• 円グラフえんぐらふ・帯グラフおびグラフの 読よみ方かた と かき方かた が 分わかる
• 棒ささげグラフ・折おれ線せんグラフ・円えんぐらふグラフ・帯おびグラフ の 使つかい分わけが できる
• 平均へいきん＝ 合計ごうけい ÷ 個数こすう を 使つかって、身長しんちょう や テスト 点数てんすう など を まとめられる

ポイント: 5 年生ねんせい の 算数さんすう で 学まなんだ「割合わりあい」や「比くらべる」の 考かんがえ方かた が、グラフ や 表ひょう や 式と つながって いきます。ここ で 身みに つけた 力ちから は、6 年生ねんせい の 比例ひれい・反比例はんぴれい、中学校ちゅうがっこう の 関数かんすう、さらに 理科りか や 社会しゃかい の グラフ 読よみとり にも 生いきて きます。

1. 伴ともなって 変かわる 二ふたつの 数量すうりょう

表ひょう を かいて みる

ノート を 1 さつ 80 円えん で 買かう とき、買かう さっ 数かず と 代金だいきん は どう 変かわる でしょう？

さっ 数かず（さつ）	1	2	3	4	5	6
代金だいきん（円えん）	80	160	240	320	400	480

さっ 数かず が 1 さつ ふえる と、代金だいきん は 80 円えん ずつふえて います。また、さっ 数かず が 2 倍、3 倍、4 倍… に なる と、代金だいきん も 2 倍、3 倍、4 倍…

この ように、一方いっぽう が 変かわる と もう 一方いっぽう も 変かわる 2 つ の 量を、伴ともなって 変かわる 2 つ の 数量すうりょうと 言いいます。

変かわり方かた の いろいろ

伴ともなって 変かわる からと いって、いつも「2 倍ばい → 2 倍ばい」とは 限かぎりません。

例 1:長さ 20 cm の ろうそく を 火ひ を つけて 燃もやす。1 分ぶん ごとに 2 cm ずつ 短みじかく なる。

時間じかん（分ぶん）	0	1	2	3	4	5
長ながさ（cm）	20	18	16	14	12	10

時間じかん が ふえる と 長ながさ は 減へっていきます。2 倍ばい → 2 倍ばい では ありません。

例 2: 1 辺あたり が x cm の 正方形せいほうけい の 面積めんせき y cm²。

x（cm）	1	2	3	4	5
y（cm²）	1	4	9	16	25

x が 2 倍ばい に なると、y は 4 倍。x が 3 倍ばい なら y は 9 倍。これも 伴ともなって 変かわります が、単純たんじゅん な 2 倍ばい → 2 倍ばい では ありません。

5 年生ねんせい では、この 中なか の いちばん かんたん な 変かわり方を 取とり出だして 学まなびます。それ が つぎ の 比例ひれいです。

2. 比例ひれい

比例ひれい の 意味いみ

さきほど の ノート の 例れい を もう 一度いちど見みましょう。

さっ 数かず x（さつ）	1	2	3	4	5	6
代金だいきん y（円えん）	80	160	240	320	400	480

• x が 2 倍（1 → 2）に なると、y も 2 倍（80 → 160）
• x が 3 倍（1 → 3）に なると、y も 3 倍（80 → 240）
• x が 4 倍（1 → 4）に なると、y も 4 倍（80 → 320）

この ように、x が 2 倍ばい・3 倍ばい・4 倍ばい… に なる につれ、y も 2 倍ばい・3 倍ばい・4 倍ばい… に なるとき、「y は x に 比例ひれいする」と 言いいます。

決きまった 数かず を 見みつける

比例ひれい の 表ひょう を よく 見みる と、どの 列れつ でも y ÷ x が 同おなじ 数かず に なって います。

   さっ 数 x： 1   2   3   4   5   6
   代金   y：80 160 240 320 400 480

   y ÷ x ： 80  80  80  80  80  80   ← ぜんぶ 80！

この「いつも 同おなじ 数かず 80」が、ノート 1 さつ の ねだんです。比例ひれい の 関係かんけい では、この y ÷ x の 値あたい が 一定いってい に きまって いるのが 特とくちょう。

この 一定いってい の 数かず を 決きまった 数と 呼よび、比例ひれい の 式しき は つぎ の ように 書かけます。

$y=決まった 数\times x$

ノート の 例れい では、決きまった 数かず ＝ 80 なので、

$y=80\times x$

x ＝ 10 を 入いれれば y ＝ 800。x ＝ 7 を 入いれれば y ＝ 560。表ひょう に 書かいて いない 値あたい も、式しき から すぐ に 求もとめられます。

比例ひれい か どうか を 見分みわける

つぎ の 表ひょう は、どれ が 比例ひれい で どれ が 比例ひれい で ないか、考かんがえて みましょう。

表 A:

x	1	2	3	4
y	5	10	15	20

y ÷ x ＝ 5・5・5・5（ぜんぶ 5）。比例ひれい する。式しき は y ＝ 5 × x。

表 B:

x	1	2	3	4
y	3	6	9	12

y ÷ x ＝ 3・3・3・3。比例ひれい する。式しき は y ＝ 3 × x。

表 C:

x	1	2	3	4
y	2	5	8	11

y ÷ x ＝ 2・2.5・2.67…・2.75…（バラバラ）。比例ひれい しない。

（これは「3 ずつ ふえる」変かわり方かた ですが、比例ひれい では ありません。y ＝ 3 × x − 1 と いう 別べつ の 関係かんけい です。6 年生ねんせい以降いこう で 学まなびます。）

表 D（例れい 1 の ろうそく）:

時間じかん x	0	1	2	3	4
長ながさ y	20	18	16	14	12

x ＝ 0 の とき y ＝ 20。x が ふえても y は 減へって いく。比例ひれい し ない。

ポイント:比例ひれい か どうか は、y ÷ x が いつも 同おなじ 数かず に なるかで 見分みわけます。ちがう ならば「比例ひれい しない」。なお、比例ひれい の とき は x ＝ 0 なら y ＝ 0 に なる、というの も 大切たいせつ な 特とくちょう。

まわり の 比例ひれい の 例れい

生活せいかつ の 中なか には 比例ひれい の 関係かんけい が たくさん あります。

• 水道すいどう の じゃ口くち を 一定いってい の 強つよさ で 開あける：時間じかん と たまった 水みず の 量りょう
• 歩あるく 速はやさ が 一定いってい：時間じかん と 歩あるいた 道みちのり
• 同おなじ ねだん の 品物しなもの を 買かう：買かった 数かず と 代金だいきん
• 長ながさ が 一定いってい の 鉄てつの ぼう：本数ほんすう と 全体ぜんたい の 長ながさ

どれも、「1 あたり の 量りょう が きまって いるとき に 出でてくる 関係かんけい です。さっき 学まなんだ 単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさ や 速さはやさ の 背景はいけい には、じつは 比例ひれい が かくれて いた ので す。

3. 比例ひれい の グラフ

グラフ に して みる

比例ひれい の 関係かんけい を グラフに かく と、見みた 目め でも その 特とくちょう が はっきり します。

ノート の 例れい（y ＝ 80 × x）を グラフ に して みましょう。

   代金 y (円)
    ↑
 480│                            ●
 400│                       ●
 320│                  ●
 240│             ●
 160│        ●
  80│   ●
    │                                → さっ数 x (さつ)
    └────────────────────────
    0   1   2   3   4   5   6

点 が まっすぐ な 線の 上うえ に ならびます。そして、その 線せん は 左下ひだりした の 角すみ（原点げんてん）、つまり x ＝ 0、y ＝ 0 の 点てん を 通とおります。

この 2 つ は、比例ひれい の グラフ の とても 大切たいせつ な 特とくちょう です。

ポイント:比例ひれい の グラフ は 原点げんてん を 通とおる 直線ちょくせん。これ が 比例ひれい の いちばん の 見みた目め の 特とくちょう です。原点げんてん を 通とおらない 直線ちょくせん や、曲まがった 線せん は 比例ひれい では ありません。

グラフ の かき方かた（手てじゅん）

1. 表で x・y の 値あたい の 組くみを いくつか 調しらべる
2. 方ほうがん紙し の 横よこじく に x、たてじく に y を とる
3. x ・y の 最大さいだい値あたい が おさまる ように、1 ますの 大おおきさ を 決きめる（例れい：x は 1 ます ＝ 1、y は 1 ます ＝ 40 円えん）
4. (1, 80) (2, 160) (3, 240)… の 点てん を 打うつ
5. 点てん を まっすぐ な 線せん で つなぐ（比例ひれい なら 必かならず 原点げんてん も 通とおる）

4. 円グラフえんぐらふと 帯グラフおびグラフ

割合わりあい を 「見みえる」形かたち に する

前まえの 章しょう で 学まなんだ 割合わりあい や 百分率ひゃくぶんりつ を、図 で 表あらわすと、一目いちもくで 大小だいしょう の くらべ が できる ように なります。代表だいひょう的てき なのが 円グラフえんぐらふと 帯グラフおびグラフです。

円グラフえんぐらふ

円グラフえんぐらふは、円 の 全体ぜんたい（360°）を もと（100%）と し、それぞれ の 割合わりあい を 扇形せんけい（おうぎ形がた）の 大おおきさ で 表あらわしたグラフ です。

例: ある 5 年生ねんせい 100 人ひと の 好すき な 食たべ物もの を 調しらべた。

食たべ物もの	人数にんずう	割合わりあい
カレー	40 人ひと	40%
ラーメン	25 人ひと	25%
すし	20 人ひと	20%
ハンバーグ	10 人ひと	10%
その他た	5 人ひと	5%
合計ごうけい	100 人ひと	100%

   円グラフ（イメージ）:

             ・・・・・・
          ・・ラーメン・・
        ・・ 25%       ・・
       ・      ・・・     ・
      ・  カレー  ・・す ・
      ・  40%     ・し20% ・
      ・        ・・・    ・
       ・ハンバーグ ・・・・
        ・・10%  その他 ・・
          ・・・ 5% ・・・
             ・・・・・

読よみとり の コツ：

• 全体ぜんたい ＝ 360° ＝ 100%
• 1% ＝ 3.6°（360 ÷ 100）
• ふつう、大おおきい 割合わりあい から 順じゅん に 時計とけい回まわりで かく。「その他た」は いちばん 後ご（小ちいさい 割合わりあい でも「その他た」は 最後さいご）

40% を 角度かくど に 直なおすと 360 × 0.4 ＝ 144°。25% なら 360 × 0.25 ＝ 90°（ちょうど 4 分ぶん の 1）。

帯グラフおびグラフ

帯グラフおびグラフは、長ながい 長方形ちょうほうけい（帯おび）全体ぜんたい を 100% と し、それぞれ の 割合わりあい を 区切くぎって 表あらわしたグラフ です。

   帯グラフ（イメージ）:

   ┌─────────┬──────┬─────┬──┬┐
   │ カレー  │ラーメン│ すし │ ハ │その他│
   │   40%   │  25%  │ 20% │ン10│5%│
   │         │       │     │バ  │   │
   │         │       │     │ーグ│   │
   └─────────┴──────┴─────┴──┴┘
   0%              50%               100%

帯グラフ は、時間じかん の 変化へんか を 並ならべて 比くらべるの に とくに 便利べんり です。たとえば 10 年ねんごと に 同おなじ 帯おびグラフ を 並ならべる と、割合わりあい が どう 移うつり変かわった かが 一目いちもくで 分わかります。

   10 年前 ┌────────┬─────┬──┬─┐
          │ カレー │ラーメン│すし│他│
          └────────┴─────┴──┴─┘

   5 年前 ┌──────────┬────┬──┬─┐
          │ カレー   │ラーメン│すし│他│
          └──────────┴────┴──┴─┘

   今年   ┌───────┬──────┬────┬─┐
          │カレー │ラーメン  │ すし │他│
          └───────┴──────┴────┴─┘

「カレー が だんだん 減へって、ラーメン が ふえて いる」など、変化へんか の ようすが はっきり 見みえます。

円えんぐらふグラフ と 帯おびグラフ の 使つかい分わけ

グラフ	得意とくい な 場面ばめん
円えんぐらふグラフ	1 つ の 全体ぜんたい の 中なかの 割合わりあい を 見みせる（1 年生ねんせい の 好すきな 食たべ物もの）
帯おびグラフ	複数ふくすう の 全体ぜんたい の 割合わりあい を ならべて 比くらべる（10 年ねんごと の 変化へんか）

どちら も、表ひょう す の は「全体ぜんたい の 中なか の 割合わりあい」。合計ごうけい は いつでも 100%に なります。

かき方かた の 手てじゅん（円えんぐらふグラフ）

1. それぞれ の 割合わりあい（%）を 計算けいさん する
2. 1% ＝ 3.6° なので、各かく項目こうもく の 中心ちゅうしん角かくを 求もとめる（例れい：40% → 144°）
3. 円えん を かき、中心ちゅうしん から 真上まうえに 線せん を 引ひいて 出発しゅっぱつ点てん と する
4. 大おおきい 割合わりあい から 時計とけい回まわりに 角度かくど を 分わけて いく
5. 区切くぎった 部分ぶぶん に 色いろ を 塗ぬり、名前なまえ と 割合わりあい を 書かく（「その他た」は 最後さいご）

かき方かた の 手てじゅん（帯おびグラフ）

1. それぞれ の 割合わりあい（%）を 計算けいさん する
2. 帯おび の 全長ぜんちょう を 10 cm（＝ 100 ます）など に 決きめる
3. 左ひだり から 順じゅん に、割合わりあい に 対応たいおう する 長ながさで 区切くぎる（40% なら 4 cm、25% なら 2.5 cm…）
4. 区切くぎった 部分ぶぶん に 色いろ を 塗ぬり、名前なまえ と 割合わりあい を 書かく

5. いろいろな グラフ の 使つかい分わけ

4 年生ねんせい まで に、つぎ の グラフ を 学まなんで きました。それぞれ 得意とくい な 使つかい方かた が ちがいます。

グラフ	特とくちょう・得意とくい な 場面ばめん
棒ぼうぐらふグラフ	それぞれ の 量りょう を 棒ぼう の 長ながさ で くらべる（クラス 別べつ の 人数にんずう）
折おれ線せんグラフ	時間じかん に つれた 量りょう の 変化へんか（1 年ねん の 気温きおん）
[[円グラフ	えんぐらふ]]
[[帯グラフ	おびグラフ]]

「量 そのものを 見みせ たい」なら 棒ささげグラフ・折おれ線せんグラフ。「全体ぜんたい の 中なか の 割合わりあいを 見みせ たい」なら 円えんぐらふグラフ・帯おびグラフ。使つかい分わけを 意識いしき しましょう。

6. 平均へいきん

ならし て 1 つ に する

5 人ひと の 身長しんちょう を はかった ら、

• 136 cm、138 cm、140 cm、142 cm、144 cm

でした。「5 人ひと全体ぜんたい の 身長しんちょう は？」と 1 つ の 数かず で 言いいたい とき、どう すれば よいでしょう？

この とき 使つかう の が 平均へいきんです。平均へいきん は 合計ごうけい を 人数にんずう で わった 数で、「でこぼこ を ならし て、みんな を 同おなじ 値あたい に そろえた とき の 数かず」と 考かんがえられます。

$平均=合計÷個数$

計算けいさん して みましょう。

• 合計ごうけい ＝ 136 + 138 + 140 + 142 + 144 ＝ 700 cm
• 平均へいきん ＝ 700 ÷ 5 ＝ 140 cm

5 人ひと の 身長しんちょう を ならし て みんな 140 cm に そろえたと 考かんがえて よい、という わけ です。

ならす 図ず で 見みる

   もと の 身長（でこぼこ）:

   144│           ███
   142│       ███ ███
   140│   ███ ███ ███
   138│ ███ ███ ███ ███
   136│███ ███ ███ ███ ███
       A   B   C   D   E

   平均（140 cm で そろえる）:

   140│███ ███ ███ ███ ███   ← みんな 同じ 140
       A   B   C   D   E

高たかい 子こ の 分ぶん を、低ひくい 子こ に 分わけて あげる と、ちょうど 全員ぜんいん が 140 cmに なる、という イメージ です。

平均へいきん の 使つかい道みち

• 身長しんちょう・体重たいじゅう：クラス の 代表だいひょう値あたい
• テスト の 点数てんすう：「クラス の 平均へいきん は 72 点てん」
• 気温きおん：「3 月つき の 平均へいきん気温きおん」（1 か月げつ を 1 つ の 数かず で まとめる）
• ジュース の 量：1 本ほん ずつ には ばらつき が あっても、たくさん の 本ほん を 平均へいきん する と ほぼ 表示ひょうじ通どおり

例題れいだい 1: テスト の 点数てんすう が 72・85・68・90・80 点てん。平均へいきん は？

$(72+85+68+90+80)÷5=395÷5=79 点$

平均へいきん79 点。

0 の データ も 入いれる

例題れいだい 2: ある 週しゅう に 読よんだ 本ほん の ページ数すう。月つき 10、火ひ 0、水みず 8、木き 12、金きむ 0、土ど 15、日にち 5。1 日にち平均へいきん は？

$(10+0+8+12+0+15+5)÷7=50÷7=7.14\dots$

約7.1 ページ。0 の 日にち も 個数こすう に 入いれるの を わすれず に。合計ごうけい ÷ 個数こすうです。

合計ごうけい を 逆算ぎゃくさん する

平均へいきん の 公式こうしき を 変形へんけい する と、

$合計=平均\times 個数$

例題れいだい 3: 6 人ひと の クラス の テスト の 平均へいきん点てん は 75 点てん。6 人ひと の 合計ごうけい点てん は？

$75\times 6=450 点$

平均へいきん から 合計ごうけい を 出だせる と、1 人ひと抜ぬけた とき の 点数てんすう や、新あたらしい 人ひと を 入いれた とき の 平均へいきん など、いろいろ な 問題もんだい が 解とける ように なります。

例題れいだい 4: 5 人ひと の テスト の 平均へいきん が 78 点てん。1 人ひと が 追加ついか で 90 点てん を 取とった。6 人ひと の 平均へいきん は？

• 5 人ひと の 合計ごうけい ＝ 78 × 5 ＝ 390 点
• 6 人ひと の 合計ごうけい ＝ 390 + 90 ＝ 480 点
• 6 人ひと の 平均へいきん ＝ 480 ÷ 6 ＝ 80 点

小数しょうすう に なっても よい

平均へいきん は わり算ざんだから、小数しょうすう に なる こと が あります。

例: 3 人ひと の 兄弟きょうだい の 年ねんれい 12・10・7 才さい。平均へいきん は？

$(12+10+7)÷3=29÷3=9.666\dots 才$

「平均へいきん 9.6 才さい」「約やく 9.7 才さい」と 書かきます。人ひと の 年ねんれい なのに 小数しょうすう が 出でる の は 変へん な 気き が しますが、ならした とき の 数なので、これ で 正ただしい の です。

7. つまずきやすい ポイント

① 比例ひれい と 「ただ ふえる」を 混まぜる

「x が ふえると y も ふえる」＝ 比例ひれい、では ありません。2 倍ばい ・3 倍ばい に 同おなじ ように ふえるの が 比例ひれい。たとえば「3 ずつ ふえる（2→5→8→11）」は 比例ひれい では ありません。

② 比例ひれい の グラフ が 原点げんてん を 通とおらない

比例ひれい の グラフ は 必かならず 原点げんてん（0, 0）を 通とおる 直線ちょくせん。もし グラフ が 原点げんてん以外いがい から 出発しゅっぱつ して いる なら、それ は 比例ひれい では ありません。

③ 円えんぐらふグラフ・帯おびグラフ の 合計ごうけい が 100% に ならない

割合わりあい を 計算けいさん する とき、四捨五入ししゃごにゅう で 99% や 101% に なる こと が あります。「その他た」で 調整ちょうせい する か、表ひょう に 「合計ごうけい 100%」と 書かいて おきましょう。

④ 平均へいきん で 個数こすう を 間違まちがえる

「0 の データ を 数かず に 入いれ わすれる」「休やすんだ 日にち を のぞいて しまう」など の ミス が 多おおい です。合計ごうけい ÷ 個数こすうの 個数こすう は、全部ぜんぶ の データ の 数（0 も ふくめる）です。

⑤ 平均へいきん と 合計ごうけい を 混同こんどう する

「平均へいきん 70 点てん の クラス」＝ 合計ごうけい 70 点てん では ありません。平均へいきん は 1 人ひと あたり の 点数てんすうで、合計ごうけい は 平均へいきん × 人数にんずう。

まとめ

• 伴ともなって 変かわる 2 つ の 数量すうりょう：一方いっぽう が 変かわる と もう 一方いっぽう も 変かわる 2 つ の 量りょう
• 比例ひれい：x が 2 倍ばい・3 倍ばい… に なると、y も 2 倍ばい・3 倍ばい… に なる 関係かんけい
• 比例ひれい の 式しき：y ＝ 決きまった 数かず × x。決きまった 数かず ＝ y ÷ x（いつも 同おなじ）
• 比例ひれい の グラフ：原点げんてん（0, 0）を 通とおる 直線ちょくせん
• 円グラフえんぐらふ：円えん全体ぜんたい（360° ＝ 100%）を 割合わりあい の 扇形せんけい で 表あらわす
• 帯グラフおびグラフ：帯おび全体ぜんたい（100%）を 割合わりあい の 区切くぎり で 表あらわす。並ならべて 比くらべる のに 便利べんり
• グラフ の 使つかい分わけ：量りょう ＝ 棒ささげグラフ・折おれ線せん、割合わりあい ＝ 円えんぐらふグラフ・帯おびグラフ
• 平均へいきん＝ 合計ごうけい ÷ 個数こすう。でこぼこ を ならし た とき の 数
• 合計ごうけい ＝ 平均へいきん × 個数こすう（逆算ぎゃくさん の 公式こうしき）
• 0 の データ も 個数こすう に 入いれる。平均へいきん が 小数しょうすう に なる こと も ある

5 年生ねんせい算数さんすう の しめくくり:整数せいすう の 性質せいしつ から 始はじまり、小数しょうすう や 分数ぶんすう の かけ算ざん・わり算ざん、図形づけい と 面積めんせき・体積たいせき、割合わりあい と 速はやさ、そして 比例ひれい と 平均へいきん まで。5 年生ねんせい の 1 年ねん で、算数さんすう の 世界せかい は ぐっと 広ひろがりました。6 年生ねんせいでは、この 章しょう で 学まなんだ 比例ひれいの 考かんがえ方かた を さらに おし広ひろげて、反比例はんぴれい・比ひ・拡大かくだい と しゅく小しょう・角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうの 体積たいせきなど、より 本格ほんかく的てき な 算数さんすう に 進すすみます。この 章しょう で 学まなんだ「表ひょう・式しき・グラフ を 行いき来き する 力ちから」が、これから の 大おおきな 武器ぶき に なります。