比例ひれい・グラフ・平均へいきん

この章しょうで学まなぶこと

5 年生ねんせい算数さんすうの最後さいごの章しょうです。ここでは、2 つの数量すうりょうが同時どうじに変かわるときの関係かんけいを、表ひょう・式しき・グラフで表あらわす学習がくしゅうをします。また、たくさんのデータを 1 つの数かずにまとめる 平均へいきんの使つかい方かたも学まなびます。

この章しょうがおわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 伴ともなって変かわる 2 つの数量すうりょうを表ひょうにまとめて、変化へんかのきまりを見みつけられる
• 比例ひれいの意味いみ（一方いっぽうが 2 倍ばい・3 倍ばいになると、もう一方いっぽうも 2 倍ばい・3 倍ばい）を説明せつめいできる
• 比例ひれいの関係かんけいを y ＝ 決きまった数かず × x の式しきで書かける
• 比例ひれいをグラフでかける（原点げんてんを通とおる直線ちょくせんになる）
• 円グラフえんぐらふ・帯グラフおびぐらふの読よみ方かたとかき方かたが分わかる
• 棒ささげグラフ・折おれ線せんグラフ・円グラフえんぐらふ・帯おびグラフの 使つかい分わけができる
• 平均へいきん＝ 合計ごうけい ÷ 個数こすうを使つかって、身長しんちょうやテスト点数てんすうなどをまとめられる

ポイント: 5 年生ねんせいの算数さんすうで学まなんだ「割合わりあい」や「比くらべる」の考かんがえ方かたが、グラフや表ひょうや式とつながっていきます。ここで身みにつけた力ちからは、6 年生ねんせいの比例ひれい・反比例はんぴれい、中学校ちゅうがっこうの関数かんすう、さらに理科りかや社会しゃかいのグラフ読よみとりにも生いきてきます。

1. 伴ともなって変かわる二ふたつの数量すうりょう

表ひょうをかいてみる

ノートを 1 さつ 80 円えんで買かうとき、買かうさっ数かずと代金だいきんはどう変かわるでしょう？

さっ数すう（さつ）	1	2	3	4	5	6
代金だいきん（円えん）	80	160	240	320	400	480

さっ数かずが 1 さつふえると、代金だいきんは 80 円えんずつふえています。また、さっ数かずが 2 倍、3 倍、4 倍… になると、代金だいきんも 2 倍、3 倍、4 倍…

このように、一方いっぽうが変かわるともう一方いっぽうも変かわる 2 つの量を、伴ともなって変かわる 2 つの数量すうりょうと言いいます。

変かわり方かたのいろいろ

伴ともなって変かわるからといって、いつも「2 倍ばい → 2 倍ばい」とは限かぎりません。

例 1:長さ 20 cm のろうそくを火ひをつけて燃もやす。1 分ぶんごとに 2 cm ずつ短みじかくなる。

時間じかん（分ぶん）	0	1	2	3	4	5
長ながさ（cm）	20	18	16	14	12	10

時間じかんがふえると長ながさは 減へっていきます。2 倍ばい → 2 倍ばいではありません。

例 2: 1 辺へんが x cm の正方形せいほうけいの面積めんせき y cm²。

x（cm）	1	2	3	4	5
y（cm²）	1	4	9	16	25

x が 2 倍ばいになると、y は 4 倍。x が 3 倍ばいなら y は 9 倍。これも伴ともなって変かわりますが、単純たんじゅんな 2 倍ばい → 2 倍ばいではありません。

5 年ねん生せいでは、この中なかの いちばんかんたんな変かわり方を取とり出だして学まなびます。それがつぎの 比例ひれいです。

2. 比例ひれい

比例ひれいの意味いみ

さきほどのノートの例れいをもう一度いちど見みましょう。

さっ数かず x（さつ）	1	2	3	4	5	6
代金だいきん y（円えん）	80	160	240	320	400	480

• x が 2 倍（1 → 2）になると、y も 2 倍（80 → 160）
• x が 3 倍（1 → 3）になると、y も 3 倍（80 → 240）
• x が 4 倍（1 → 4）になると、y も 4 倍（80 → 320）

このように、x が 2 倍ばい・3 倍ばい・4 倍ばい… になるにつれ、y も 2 倍ばい・3 倍ばい・4 倍ばい… になるとき、「y は x に 比例ひれいする」と言いいます。

決きまった数かずを見みつける

比例ひれいの表ひょうをよく見みると、どの列れつでも y ÷ x が同おなじ数かずになっています。

   さっ数 x： 1   2   3   4   5   6
   代金   y：80 160 240 320 400 480

   y ÷ x ： 80  80  80  80  80  80   ← ぜんぶ 80！

この「いつも同おなじ数かず 80」が、ノート 1 さつのねだんです。比例ひれいの関係かんけいでは、この y ÷ x の 値あたい が 一定いっていにきまっているのが特とくちょう。

この一定いっていの数かずを 決きまった数と呼よび、比例ひれいの式しきはつぎのように書かけます。

$y=決まった数\times x$

ノートの例れいでは、決きまった数かず ＝ 80 なので、

$y=80\times x$

x ＝ 10 を入いれれば y ＝ 800。x ＝ 7 を入いれれば y ＝ 560。表ひょうに書かいていない 値あたい も、式しきからすぐに求もとめられます。

比例ひれいかどうかを見分みわける

つぎの表ひょうは、どれが比例ひれいでどれが比例ひれいでないか、考えかんがえてみましょう。

表 A:

x	1	2	3	4
y	5	10	15	20

y ÷ x ＝ 5・5・5・5（ぜんぶ 5）。比例ひれいする。式しきは y ＝ 5 × x。

表 B:

x	1	2	3	4
y	3	6	9	12

y ÷ x ＝ 3・3・3・3。比例ひれいする。式しきは y ＝ 3 × x。

表 C:

x	1	2	3	4
y	2	5	8	11

y ÷ x ＝ 2・2.5・2.67…・2.75…（バラバラ）。比例ひれいしない。

（これは「3 ずつふえる」変かわり方かたですが、比例ひれいではありません。y ＝ 3 × x − 1 という別べつの関係かんけいです。6 年生ねんせい以降いこうで学まなびます。）

表 D（例れい 1 のろうそく）:

時間じかん x	0	1	2	3	4
長ながさ y	20	18	16	14	12

x ＝ 0 のとき y ＝ 20。x がふえても y は減へっていく。比例ひれいしない。

ポイント:比例ひれいかどうかは、y ÷ x がいつも同おなじ数かずになるかで見分みわけます。ちがうならば「比例ひれいしない」。なお、比例ひれいのときは x ＝ 0 なら y ＝ 0 になる、というのも大切たいせつな特とくちょう。

まわりの比例ひれいの例れい

生活せいかつの中なかには比例ひれいの関係かんけいがたくさんあります。

• 水道すいどうのじゃ口くちを一定いっていの強つよさで開あける：時間じかんとたまった水みずの量りょう
• 歩あるく速はやさが一定いってい：時間じかんと歩あるいた道のりみちのり
• 同おなじねだんの品物しなものを買かう：買かった数かずと代金だいきん
• 長ながさが一定いっていの鉄てつのぼう：本数ほんすうと全体ぜんたいの長ながさ

どれも、「1 あたりの量りょうがきまっているときに出でてくる関係かんけいです。さっき学まなんだ 単位量あたりの大きさたんいりょうあたりのおおきさ や 速さはやさ の背景はいけいには、じつは比例ひれいがかくれていたのです。

3. 比例ひれいのグラフ

グラフにしてみる

比例ひれいの関係かんけいを グラフにかくと、見みた目めでもその特とくちょうがはっきりします。

ノートの例れい（y ＝ 80 × x）をグラフにしてみましょう。

   代金 y (円)
    ↑
 480│                            ●
 400│                       ●
 320│                  ●
 240│             ●
 160│        ●
  80│   ●
    │                                → さっ数 x (さつ)
    └────────────────────────
    0   1   2   3   4   5   6

点が まっすぐな線の上うえにならびます。そして、その線せんは 左下ひだりしたの角かく（原点げんてん）、つまり x ＝ 0、y ＝ 0 の点てんを通とおります。

この 2 つは、比例ひれいのグラフのとても大切たいせつな特とくちょうです。

ポイント: 比例ひれいのグラフは原点げんてんを通とおる直線ちょくせん。これが比例ひれいのいちばんの見みた目めの特とくちょうです。原点げんてんを通とおらない直線ちょくせんや、曲まがった線せんは比例ひれいではありません。

グラフのかき方かた（手てじゅん）

1. 表で x・y の 値あたい の組くみをいくつか調しらべる
2. 方ほうがん紙しの横よこじくに x、たてじくに y をとる
3. x ・y の最大さいだい値あたい がおさまるように、1 ますの大おおきさを決きめる（例れい：x は 1 ます ＝ 1、y は 1 ます ＝ 40 円えん）
4. (1, 80) (2, 160) (3, 240)… の点てんを打うつ
5. 点てんをまっすぐな線せんでつなぐ（比例ひれいなら必かならず原点げんてんも通とおる）

4. 円グラフえんぐらふと 帯グラフおびぐらふ

割合わりあいを 「見みえる」形かたちにする

前まえの章しょうで学まなんだ 割合わりあい や 百分率ひゃくぶんりつ を、図で表あらわすと、一目いちもくで大小だいしょうのくらべができるようになります。代表だいひょう的てきなのが 円グラフえんぐらふと 帯グラフおびぐらふです。

円グラフえんぐらふ

円グラフえんぐらふは、円の全体ぜんたい（360°）をもと（100%）とし、それぞれの割合わりあいを扇形おうぎがた（おうぎ形がた）の大おおきさで表あらわしたグラフです。

例: ある 5 年生ねんせい 100 人ひとの好すきな食べ物たべものを調しらべた。

食べ物たべもの	人数にんずう	割合わりあい
カレー	40 人ひと	40%
ラーメン	25 人ひと	25%
すし	20 人ひと	20%
ハンバーグ	10 人ひと	10%
その他た	5 人ひと	5%
合計ごうけい	100 人ひと	100%

   円グラフ（イメージ）:

             ・・・・・・
          ・・ラーメン・・
        ・・ 25%       ・・
       ・      ・・・     ・
      ・  カレー  ・・す ・
      ・  40%     ・し20% ・
      ・        ・・・    ・
       ・ハンバーグ ・・・・
        ・・10%  その他 ・・
          ・・・ 5% ・・・
             ・・・・・

読よみとりのコツ：

• 全体ぜんたい ＝ 360° ＝ 100%
• 1% ＝ 3.6°（360 ÷ 100）
• ふつう、大おおきい割合わりあいから順じゅんに時計とけい回まわりでかく。「その他た」はいちばん後ご（小ちいさい割合わりあいでも「その他た」は最後さいご）

40% を角度かくどに直なおすと 360 × 0.4 ＝ 144°。25% なら 360 × 0.25 ＝ 90°（ちょうど 4 分ぶんの 1）。

帯グラフおびぐらふ

帯グラフおびぐらふは、長ながい長方形ちょうほうけい（帯おび）全体ぜんたいを 100% とし、それぞれの割合わりあいを区切くぎって表あらわしたグラフです。

   帯グラフ（イメージ）:

   ┌─────────┬──────┬─────┬──┬┐
   │ カレー  │ラーメン│ すし │ ハ │その他│
   │   40%   │  25%  │ 20% │ン10│5%│
   │         │       │     │バ  │   │
   │         │       │     │ーグ│   │
   └─────────┴──────┴─────┴──┴┘
   0%              50%               100%

帯グラフは、時間じかんの変化へんかを並ならべて比くらべるのにとくに便利べんりです。たとえば 10 年ねんごとに同おなじ帯おびグラフを並ならべると、割合わりあいがどう移うつり変かわったかが一目いちもくで分わかります。

   10 年前 ┌────────┬─────┬──┬─┐
          │ カレー │ラーメン│すし│他│
          └────────┴─────┴──┴─┘

   5 年前 ┌──────────┬────┬──┬─┐
          │ カレー   │ラーメン│すし│他│
          └──────────┴────┴──┴─┘

   今年   ┌───────┬──────┬────┬─┐
          │カレー │ラーメン  │ すし │他│
          └───────┴──────┴────┴─┘

「カレーがだんだん減へって、ラーメンがふえている」など、変化へんかのようすがはっきり見みえます。

円グラフえんぐらふと帯おびグラフの使つかい分わけ

グラフ	得意とくいな場面ばめん
円グラフえんぐらふ	1 つの全体ぜんたいの中なかの割合わりあいを見みせる（1 年生ねんせいの好すきな食べ物たべもの）
帯おびグラフ	複数ふくすうの全体ぜんたいの割合わりあいをならべて比くらべる（10 年ねんごとの変化へんか）

どちらも、表あらわすのは「全体ぜんたいの中なかの割合わりあい」。合計ごうけいはいつでも 100%になります。

かき方かたの手てじゅん（円グラフえんぐらふ）

1. それぞれの 割合わりあい（%）を計算けいさんする
2. 1% ＝ 3.6° なので、各かく項目こうもくの 中心ちゅうしん角かくを求もとめる（例れい：40% → 144°）
3. 円えんをかき、中心ちゅうしんから真上まうえに線せんを引ひいて出発しゅっぱつ点てんとする
4. 大おおきい割合わりあいから時計とけい回まわりに角度かくどを分わけていく
5. 区切くぎった部分ぶぶんに色いろを塗ぬり、名前なまえと割合わりあいを書かく（「その他た」は最後さいご）

かき方かたの手てじゅん（帯おびグラフ）

1. それぞれの 割合わりあい（%）を計算けいさんする
2. 帯おびの全長ぜんちょうを 10 cm（＝ 100 ます）などに決きめる
3. 左ひだりから順じゅんに、割合わりあいに対応たいおうする長ながさで区切くぎる（40% なら 4 cm、25% なら 2.5 cm…）
4. 区切くぎった部分ぶぶんに色いろを塗ぬり、名前なまえと割合わりあいを書かく

5. いろいろなグラフの使つかい分わけ

4 年生ねんせいまでに、つぎのグラフを学まなんできました。それぞれ得意とくいな使つかい方かたがちがいます。

グラフ	特とくちょう・得意とくいな場面ばめん
棒グラフぼうグラフ	それぞれの量りょうを棒ぼうの長ながさでくらべる（クラス別べつの人数にんずう）
折おれ線せんグラフ	時間じかんにつれた量りょうの変化へんか（1 年ねんの気温きおん）
円グラフえんぐらふ	全体ぜんたいに対たいする割合わりあいを扇形おうぎがたで見みせる（好すきな食べ物たべもの）
帯グラフおびぐらふ	割合わりあいを並ならべて比くらべる（10 年ねんごとのアンケート）

「量そのものを見みせたい」なら棒ささげグラフ・折おれ線せんグラフ。「全体ぜんたいの中なかの割合わりあいを見みせたい」なら円グラフえんぐらふ・帯おびグラフ。使つかい分わけを意識いしきしましょう。

6. 平均へいきん

ならして 1 つにする

5 人ひとの身長しんちょうをはかったら、

• 136 cm、138 cm、140 cm、142 cm、144 cm

でした。「5 人ひと全体ぜんたいの身長しんちょうは？」と 1 つの数かずで言いいたいとき、どうすればよいでしょう？

このとき使つかうのが 平均へいきんです。平均へいきんは 合計ごうけいを人数にんずうでわった数で、「でこぼこをならして、みんなを同おなじ 値あたい にそろえたときの数かず」と考えかんがえられます。

$平均=合計÷個数$

計算けいさんしてみましょう。

• 合計ごうけい ＝ 136 + 138 + 140 + 142 + 144 ＝ 700 cm
• 平均へいきん ＝ 700 ÷ 5 ＝ 140 cm

5 人ひとの身長しんちょうを ならしてみんな 140 cm にそろえたと考えかんがえてよい、というわけです。

ならす図ずで見みる

   もとの身長（でこぼこ）:

   144│           ███
   142│       ███ ███
   140│   ███ ███ ███
   138│ ███ ███ ███ ███
   136│███ ███ ███ ███ ███
       A   B   C   D   E

   平均（140 cm でそろえる）:

   140│███ ███ ███ ███ ███   ← みんな同じ 140
       A   B   C   D   E

高たかい子この分ぶんを、低ひくい子こに分わけてあげると、ちょうど全員ぜんいんが 140 cmになる、というイメージです。

平均へいきんの使つかい道みち

• 身長しんちょう・体重たいじゅう：クラスの代表だいひょう値あたい
• テストの点数てんすう：「クラスの平均へいきんは 72 点てん」
• 気温きおん：「3 月つきの平均へいきん気温きおん」（1 か月げつを 1 つの数かずでまとめる）
• ジュースの量：1 本ほんずつにはばらつきがあっても、たくさんの本ほんを平均へいきんするとほぼ表示ひょうじ通どおり

例題れいだい 1: テストの点数てんすうが 72・85・68・90・80 点てん。平均へいきんは？

$(72+85+68+90+80)÷5=395÷5=79 点$

平均へいきん79 点。

0 のデータも入いれる

例題れいだい 2: ある週しゅうに読よんだ本ほんのページ数すう。月つき 10、火ひ 0、水みず 8、木き 12、金きむ 0、土ど 15、日にち 5。1 日にち平均へいきんは？

$(10+0+8+12+0+15+5)÷7=50÷7=7.14\dots$

約7.1 ページ。0 の日ひも 個数こすうに入いれるのをわすれずに。合計ごうけい ÷ 個数こすうです。

合計ごうけいを逆算ぎゃくさんする

平均へいきんの公式こうしきを変形へんけいすると、

$合計=平均\times 個数$

例題れいだい 3: 6 人ひとのクラスのテストの平均へいきん点てんは 75 点てん。6 人ひとの合計ごうけい点てんは？

$75\times 6=450 点$

平均へいきんから合計ごうけいを出だせると、1 人ひと抜ぬけたときの点数てんすうや、新あたらしい人ひとを入いれたときの平均へいきんなど、いろいろな問題もんだいが解とけるようになります。

例題れいだい 4: 5 人ひとのテストの平均へいきんが 78 点てん。1 人ひとが追加ついかで 90 点てんを取とった。6 人ひとの平均へいきんは？

• 5 人ひとの合計ごうけい ＝ 78 × 5 ＝ 390 点
• 6 人ひとの合計ごうけい ＝ 390 + 90 ＝ 480 点
• 6 人ひとの平均へいきん ＝ 480 ÷ 6 ＝ 80 点

小数しょうすうになってもよい

平均へいきんは わり算ざんだから、小数しょうすうになることがあります。

例: 3 人ひとの兄弟きょうだいの年ねんれい 12・10・7 才さい。平均へいきんは？

$(12+10+7)÷3=29÷3=9.666\dots 才$

「平均へいきん 9.6 才さい」「約やく 9.7 才さい」と書かきます。人ひとの年ねんれいなのに小数しょうすうが出でるのは変へんな気きがしますが、ならしたときの数なので、これで正ただしいのです。

7. つまずきやすいポイント

① 比例ひれいと 「ただふえる」を混まぜる

「x がふえると y もふえる」＝ 比例ひれい、ではありません。2 倍ばい ・3 倍ばいに同おなじようにふえるのが比例ひれい。たとえば「3 ずつふえる（2→5→8→11）」は比例ひれいではありません。

② 比例ひれいのグラフが原点げんてんを通とおらない

比例ひれいのグラフは 必かならず原点げんてん（0, 0）を通とおる直線ちょくせん。もしグラフが原点げんてん以外いがいから出発しゅっぱつしているなら、それは比例ひれいではありません。

③ 円グラフえんぐらふ・帯おびグラフの合計ごうけいが 100% にならない

割合わりあいを計算けいさんするとき、四捨五入ししゃごにゅうで 99% や 101% になることがあります。「その他た」で調整ちょうせいするか、表ひょうに 「合計ごうけい 100%」と書かいておきましょう。

④ 平均へいきんで個数こすうを間違まちがえる

「0 のデータを数かずに入いれわすれる」「休やすんだ日ひをのぞいてしまう」などのミスが多おおいです。合計ごうけい ÷ 個数こすうの個数こすうは、全部ぜんぶのデータの数（0 もふくめる）です。

⑤ 平均へいきんと合計ごうけいを混同こんどうする

「平均へいきん 70 点てんのクラス」＝ 合計ごうけい 70 点てんではありません。平均へいきんは 1 人ひとあたりの点数てんすうで、合計ごうけいは 平均へいきん × 人数にんずう。

まとめ

• 伴ともなって変かわる 2 つの数量すうりょう：一方いっぽうが変かわるともう一方いっぽうも変かわる 2 つの量りょう
• 比例ひれい：x が 2 倍ばい・3 倍ばい… になると、y も 2 倍ばい・3 倍ばい… になる関係かんけい
• 比例ひれいの式しき：y ＝ 決きまった数かず × x。決きまった数かず ＝ y ÷ x（いつも同おなじ）
• 比例ひれいのグラフ：原点げんてん（0, 0）を通とおる直線ちょくせん
• 円グラフえんぐらふ：円えん全体ぜんたい（360° ＝ 100%）を割合わりあいの扇形おうぎがたで表あらわす
• 帯グラフおびぐらふ：帯おび全体ぜんたい（100%）を割合わりあいの区切くぎりで表あらわす。並なべて比くらべるのに便利べんり
• グラフの使つかい分わけ：量りょう ＝ 棒ささげグラフ・折おれ線せん、割合わりあい ＝ 円グラフえんぐらふ・帯おびグラフ
• 平均へいきん＝ 合計ごうけい ÷ 個数こすう。でこぼこをならしたときの数
• 合計ごうけい ＝ 平均へいきん × 個数こすう（逆算ぎゃくさんの公式こうしき）
• 0 のデータも個数こすうに入いれる。平均へいきんが小数しょうすうになることもある

5 年生ねんせい算数さんすうのしめくくり:整数せいすうの性質せいしつから始はじまり、小数しょうすうや分数ぶんすうのかけ算ざん・わり算ざん、図形ずけいと面積めんせき・体積たいせき、割合わりあいと速はやさ、そして比例ひれいと平均へいきんまで。5 年生ねんせいの 1 年ねんで、算数さんすうの世界せかいはぐっと広ひろがりました。6 年生ねんせいでは、この章しょうで学まなんだ 比例ひれいの考かんがえ方かたをさらにおし広ひろげて、反比例はんぴれい・比ひ・拡大かくだいとしゅく小しょう・角柱かくちゅうや 円柱えんちゅうの体積たいせきなど、より本格ほんかく的てきな算数さんすうに進すすみます。この章しょうで学まなんだ「表ひょう・式しき・グラフを行いき来きする力ちから」が、これからの大おおきな武器ぶきになります。