比例・グラフ・平均
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この 章で 学ぶこと
5 年生算数 の 最後 の 章 です。ここ では、2 つ の 数量 が 同時に 変わる ときの 関係を、表・式・グラフ で 表す 学習 を します。また、たくさん の データ を 1 つ の 数に まとめる 平均の 使い方 も 学びます。
この 章 が おわる ころ には、つぎの こと が できる ように なって います。
- 伴って 変わる 2 つ の 数量を 表 に まとめて、変化 の きまり を 見つけられる
- 比例の 意味（一方 が 2 倍・3 倍 に なると、もう 一方 も 2 倍・3 倍）を 説明 できる
- 比例 の 関係 を y ＝ 決まった 数 × x の 式 で 書ける
- 比例 を グラフ で かける（原点 を 通る 直線に なる）
- 円グラフ・帯グラフの 読み方 と かき方 が 分かる
- 棒グラフ・折れ線グラフ・円グラフ・帯グラフ の 使い分けが できる
- 平均＝ 合計 ÷ 個数 を 使って、身長 や テスト 点数 など を まとめられる
ポイント: 5 年生 の 算数 で 学んだ「割合」や「比べる」の 考え方 が、グラフ や 表 や 式と つながって いきます。ここ で 身に つけた 力 は、6 年生 の 比例・反比例、中学校 の 関数、さらに 理科 や 社会 の グラフ 読みとり にも 生きて きます。
1. 伴って 変わる 二つの 数量
表 を かいて みる
ノート を 1 さつ 80 円 で 買う とき、買う さっ 数 と 代金 は どう 変わる でしょう？
| さっ 数（さつ） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金（円） | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
さっ 数 が 1 さつ ふえる と、代金 は 80 円 ずつふえて います。また、さっ 数 が 2 倍、3 倍、4 倍… に なる と、代金 も 2 倍、3 倍、4 倍…
この ように、一方 が 変わる と もう 一方 も 変わる 2 つ の 量を、伴って 変わる 2 つ の 数量と 言います。
変わり方 の いろいろ
伴って 変わる からと いって、いつも「2 倍 → 2 倍」とは 限りません。
例 1:長さ 20 cm の ろうそく を 火 を つけて 燃やす。1 分 ごとに 2 cm ずつ 短く なる。
| 時間（分） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 長さ（cm） | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 | 10 |
時間 が ふえる と 長さ は 減っていきます。2 倍 → 2 倍 では ありません。
例 2: 1 辺 が x cm の 正方形 の 面積 y cm²。
| x（cm） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| y（cm²） | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
x が 2 倍 に なると、y は 4 倍。x が 3 倍 なら y は 9 倍。これも 伴って 変わります が、単純 な 2 倍 → 2 倍 では ありません。
5 年生 では、この 中 の いちばん かんたん な 変わり方を 取り出して 学びます。それ が つぎ の 比例です。
2. 比例
比例 の 意味
さきほど の ノート の 例 を もう 一度見ましょう。
| さっ 数 x（さつ） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 代金 y（円） | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 | 480 |
- x が 2 倍（1 → 2）に なると、y も 2 倍（80 → 160）
- x が 3 倍（1 → 3）に なると、y も 3 倍（80 → 240）
- x が 4 倍（1 → 4）に なると、y も 4 倍（80 → 320）
この ように、x が 2 倍・3 倍・4 倍… に なる につれ、y も 2 倍・3 倍・4 倍… に なるとき、「y は x に 比例する」と 言います。
決まった 数 を 見つける
比例 の 表 を よく 見る と、どの 列 でも y ÷ x が 同じ 数 に なって います。
さっ 数 x： 1 2 3 4 5 6
代金 y：80 160 240 320 400 480
y ÷ x ： 80 80 80 80 80 80 ← ぜんぶ 80！
この「いつも 同じ 数 80」が、ノート 1 さつ の ねだんです。比例 の 関係 では、この y ÷ x の 値 が 一定 に きまって いるのが 特ちょう。
この 一定 の 数 を 決まった 数と 呼び、比例 の 式 は つぎ の ように 書けます。
ノート の 例 では、決まった 数 ＝ 80 なので、
x ＝ 10 を 入れれば y ＝ 800。x ＝ 7 を 入れれば y ＝ 560。表 に 書いて いない 値 も、式 から すぐ に 求められます。
比例 か どうか を 見分ける
つぎ の 表 は、どれ が 比例 で どれ が 比例 で ないか、考えて みましょう。
表 A:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 10 | 15 | 20 |
y ÷ x ＝ 5・5・5・5（ぜんぶ 5）。比例 する。式 は y ＝ 5 × x。
表 B:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 3 | 6 | 9 | 12 |
y ÷ x ＝ 3・3・3・3。比例 する。式 は y ＝ 3 × x。
表 C:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| y | 2 | 5 | 8 | 11 |
y ÷ x ＝ 2・2.5・2.67…・2.75…（バラバラ）。比例 しない。
（これは「3 ずつ ふえる」変わり方 ですが、比例 では ありません。y ＝ 3 × x − 1 と いう 別 の 関係 です。6 年生以降 で 学びます。）
表 D（例 1 の ろうそく）:
| 時間 x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| 長さ y | 20 | 18 | 16 | 14 | 12 |
x ＝ 0 の とき y ＝ 20。x が ふえても y は 減って いく。比例 し ない。
ポイント:比例 か どうか は、y ÷ x が いつも 同じ 数 に なるかで 見分けます。ちがう ならば「比例 しない」。なお、比例 の とき は x ＝ 0 なら y ＝ 0 に なる、というの も 大切 な 特ちょう。
まわり の 比例 の 例
生活 の 中 には 比例 の 関係 が たくさん あります。
- 水道 の じゃ口 を 一定 の 強さ で 開ける：時間 と たまった 水 の 量
- 歩く 速さ が 一定：時間 と 歩いた 道のり
- 同じ ねだん の 品物 を 買う：買った 数 と 代金
- 長さ が 一定 の 鉄の ぼう：本数 と 全体 の 長さ
どれも、「1 あたり の 量 が きまって いるとき に 出てくる 関係 です。さっき 学んだ 単位量あたりの大きさ や 速さ の 背景 には、じつは 比例 が かくれて いた ので す。
3. 比例 の グラフ
グラフ に して みる
比例 の 関係 を グラフに かく と、見た 目 でも その 特ちょう が はっきり します。
ノート の 例（y ＝ 80 × x）を グラフ に して みましょう。
代金 y (円)
↑
480│ ●
400│ ●
320│ ●
240│ ●
160│ ●
80│ ●
│ → さっ数 x (さつ)
└────────────────────────
0 1 2 3 4 5 6
点 が まっすぐ な 線の 上 に ならびます。そして、その 線 は 左下 の 角（原点）、つまり x ＝ 0、y ＝ 0 の 点 を 通ります。
この 2 つ は、比例 の グラフ の とても 大切 な 特ちょう です。
ポイント: 比例 の グラフ は 原点 を 通る 直線。これ が 比例 の いちばん の 見た目 の 特ちょう です。原点 を 通らない 直線 や、曲がった 線 は 比例 では ありません。
グラフ の かき方（手じゅん）
- 表で x・y の 値 の 組を いくつか 調べる
- 方がん紙 の 横じく に x、たてじく に y を とる
- x ・y の 最大値 が おさまる ように、1 ますの 大きさ を 決める（例：x は 1 ます ＝ 1、y は 1 ます ＝ 40 円）
- (1, 80) (2, 160) (3, 240)… の 点 を 打つ
- 点 を まっすぐ な 線 で つなぐ（比例 なら 必ず 原点 も 通る）
4. 円グラフと 帯グラフ
割合 を 「見える」形 に する
前の 章 で 学んだ 割合 や 百分率 を、図 で 表すと、一目で 大小 の くらべ が できる ように なります。代表的 なのが 円グラフと 帯グラフです。
円グラフ
円グラフは、円 の 全体（360°）を もと（100%）と し、それぞれ の 割合 を 扇形（おうぎ形）の 大きさ で 表したグラフ です。
例: ある 5 年生 100 人 の 好き な 食べ物 を 調べた。
| 食べ物 | 人数 | 割合 |
|---|---|---|
| カレー | 40 人 | 40% |
| ラーメン | 25 人 | 25% |
| すし | 20 人 | 20% |
| ハンバーグ | 10 人 | 10% |
| その他 | 5 人 | 5% |
| 合計 | 100 人 | 100% |
円グラフ（イメージ）:
・・・・・・
・・ラーメン・・
・・ 25% ・・
・ ・・・ ・
・ カレー ・・す ・
・ 40% ・し20% ・
・ ・・・ ・
・ハンバーグ ・・・・
・・10% その他 ・・
・・・ 5% ・・・
・・・・・
読みとり の コツ：
- 全体 ＝ 360° ＝ 100%
- 1% ＝ 3.6°（360 ÷ 100）
- ふつう、大きい 割合 から 順 に 時計回りで かく。「その他」は いちばん 後（小さい 割合 でも「その他」は 最後）
40% を 角度 に 直すと 360 × 0.4 ＝ 144°。25% なら 360 × 0.25 ＝ 90°（ちょうど 4 分 の 1）。
帯グラフ
帯グラフは、長い 長方形（帯）全体 を 100% と し、それぞれ の 割合 を 区切って 表したグラフ です。
帯グラフ（イメージ）:
┌─────────┬──────┬─────┬──┬┐
│ カレー │ラーメン│ すし │ ハ │その他│
│ 40% │ 25% │ 20% │ン10│5%│
│ │ │ │バ │ │
│ │ │ │ーグ│ │
└─────────┴──────┴─────┴──┴┘
0% 50% 100%
帯グラフ は、時間 の 変化 を 並べて 比べるの に とくに 便利 です。たとえば 10 年ごと に 同じ 帯グラフ を 並べる と、割合 が どう 移り変わった かが 一目で 分かります。
10 年前 ┌────────┬─────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└────────┴─────┴──┴─┘
5 年前 ┌──────────┬────┬──┬─┐
│ カレー │ラーメン│すし│他│
└──────────┴────┴──┴─┘
今年 ┌───────┬──────┬────┬─┐
│カレー │ラーメン │ すし │他│
└───────┴──────┴────┴─┘
「カレー が だんだん 減って、ラーメン が ふえて いる」など、変化 の ようすが はっきり 見えます。
円グラフ と 帯グラフ の 使い分け
| グラフ | 得意 な 場面 |
|---|---|
| 円グラフ | 1 つ の 全体 の 中の 割合 を 見せる（1 年生 の 好きな 食べ物） |
| 帯グラフ | 複数 の 全体 の 割合 を ならべて 比べる（10 年ごと の 変化） |
どちら も、表 す の は「全体 の 中 の 割合」。合計 は いつでも 100%に なります。
かき方 の 手じゅん（円グラフ）
- それぞれ の 割合（%）を 計算 する
- 1% ＝ 3.6° なので、各項目 の 中心角を 求める（例：40% → 144°）
- 円 を かき、中心 から 真上に 線 を 引いて 出発点 と する
- 大きい 割合 から 時計回りに 角度 を 分けて いく
- 区切った 部分 に 色 を 塗り、名前 と 割合 を 書く（「その他」は 最後）
かき方 の 手じゅん（帯グラフ）
- それぞれ の 割合（%）を 計算 する
- 帯 の 全長 を 10 cm（＝ 100 ます）など に 決める
- 左 から 順 に、割合 に 対応 する 長さで 区切る（40% なら 4 cm、25% なら 2.5 cm…）
- 区切った 部分 に 色 を 塗り、名前 と 割合 を 書く
5. いろいろな グラフ の 使い分け
4 年生 まで に、つぎ の グラフ を 学んで きました。それぞれ 得意 な 使い方 が ちがいます。
| グラフ | 特ちょう・得意 な 場面 |
|---|---|
| 棒グラフ | それぞれ の 量 を 棒 の 長さ で くらべる（クラス 別 の 人数） |
| 折れ線グラフ | 時間 に つれた 量 の 変化（1 年 の 気温） |
| 円グラフ | 全体 に 対する 割合 を 扇形 で 見せる（好き な 食べ物） |
| 帯グラフ | 割合 を 並べて 比べる（10 年ごと の アンケート） |
「量 そのものを 見せ たい」なら 棒グラフ・折れ線グラフ。「全体 の 中 の 割合を 見せ たい」なら 円グラフ・帯グラフ。使い分けを 意識 しましょう。
6. 平均
ならし て 1 つ に する
5 人 の 身長 を はかった ら、
- 136 cm、138 cm、140 cm、142 cm、144 cm
でした。「5 人全体 の 身長 は？」と 1 つ の 数 で 言いたい とき、どう すれば よいでしょう？
この とき 使う の が 平均です。平均 は 合計 を 人数 で わった 数で、「でこぼこ を ならし て、みんな を 同じ 値 に そろえた とき の 数」と 考えられます。
計算 して みましょう。
- 合計 ＝ 136 + 138 + 140 + 142 + 144 ＝ 700 cm
- 平均 ＝ 700 ÷ 5 ＝ 140 cm
5 人 の 身長 を ならし て みんな 140 cm に そろえたと 考えて よい、という わけ です。
ならす 図 で 見る
もと の 身長（でこぼこ）:
144│ ███
142│ ███ ███
140│ ███ ███ ███
138│ ███ ███ ███ ███
136│███ ███ ███ ███ ███
A B C D E
平均（140 cm で そろえる）:
140│███ ███ ███ ███ ███ ← みんな 同じ 140
A B C D E
高い 子 の 分 を、低い 子 に 分けて あげる と、ちょうど 全員 が 140 cmに なる、という イメージ です。
平均 の 使い道
- 身長・体重：クラス の 代表値
- テスト の 点数：「クラス の 平均 は 72 点」
- 気温：「3 月 の 平均気温」（1 か月 を 1 つ の 数 で まとめる）
- ジュース の 量：1 本 ずつ には ばらつき が あっても、たくさん の 本 を 平均 する と ほぼ 表示通り
例題 1: テスト の 点数 が 72・85・68・90・80 点。平均 は？
平均79 点。
0 の データ も 入れる
例題 2: ある 週 に 読んだ 本 の ページ数。月 10、火 0、水 8、木 12、金 0、土 15、日 5。1 日平均 は？
約7.1 ページ。0 の 日 も 個数 に 入れるの を わすれず に。合計 ÷ 個数です。
合計 を 逆算 する
平均 の 公式 を 変形 する と、
例題 3: 6 人 の クラス の テスト の 平均点 は 75 点。6 人 の 合計点 は？
平均 から 合計 を 出せる と、1 人抜けた とき の 点数 や、新しい 人 を 入れた とき の 平均 など、いろいろ な 問題 が 解ける ように なります。
例題 4: 5 人 の テスト の 平均 が 78 点。1 人 が 追加 で 90 点 を 取った。6 人 の 平均 は？
- 5 人 の 合計 ＝ 78 × 5 ＝ 390 点
- 6 人 の 合計 ＝ 390 + 90 ＝ 480 点
- 6 人 の 平均 ＝ 480 ÷ 6 ＝ 80 点
小数 に なっても よい
平均 は わり算だから、小数 に なる こと が あります。
例: 3 人 の 兄弟 の 年れい 12・10・7 才。平均 は？
「平均 9.6 才」「約 9.7 才」と 書きます。人 の 年れい なのに 小数 が 出る の は 変 な 気 が しますが、ならした とき の 数なので、これ で 正しい の です。
7. つまずきやすい ポイント
① 比例 と 「ただ ふえる」を 混ぜる
「x が ふえると y も ふえる」＝ 比例、では ありません。2 倍 ・3 倍 に 同じ ように ふえるの が 比例。たとえば「3 ずつ ふえる（2→5→8→11）」は 比例 では ありません。
② 比例 の グラフ が 原点 を 通らない
比例 の グラフ は 必ず 原点（0, 0）を 通る 直線。もし グラフ が 原点以外 から 出発 して いる なら、それ は 比例 では ありません。
③ 円グラフ・帯グラフ の 合計 が 100% に ならない
割合 を 計算 する とき、四捨五入 で 99% や 101% に なる こと が あります。「その他」で 調整 する か、表 に 「合計 100%」と 書いて おきましょう。
④ 平均 で 個数 を 間違える
「0 の データ を 数 に 入れ わすれる」「休んだ 日 を のぞいて しまう」など の ミス が 多い です。合計 ÷ 個数の 個数 は、全部 の データ の 数（0 も ふくめる）です。
⑤ 平均 と 合計 を 混同 する
「平均 70 点 の クラス」＝ 合計 70 点 では ありません。平均 は 1 人 あたり の 点数で、合計 は 平均 × 人数。
まとめ
- 伴って 変わる 2 つ の 数量：一方 が 変わる と もう 一方 も 変わる 2 つ の 量
- 比例：x が 2 倍・3 倍… に なると、y も 2 倍・3 倍… に なる 関係
- 比例 の 式：y ＝ 決まった 数 × x。決まった 数 ＝ y ÷ x（いつも 同じ）
- 比例 の グラフ：原点（0, 0）を 通る 直線
- 円グラフ：円全体（360° ＝ 100%）を 割合 の 扇形 で 表す
- 帯グラフ：帯全体（100%）を 割合 の 区切り で 表す。並べて 比べる のに 便利
- グラフ の 使い分け：量 ＝ 棒グラフ・折れ線、割合 ＝ 円グラフ・帯グラフ
- 平均＝ 合計 ÷ 個数。でこぼこ を ならし た とき の 数
- 合計 ＝ 平均 × 個数（逆算 の 公式）
- 0 の データ も 個数 に 入れる。平均 が 小数 に なる こと も ある
5 年生算数 の しめくくり:整数 の 性質 から 始まり、小数 や 分数 の かけ算・わり算、図形 と 面積・体積、割合 と 速さ、そして 比例 と 平均 まで。5 年生 の 1 年 で、算数 の 世界 は ぐっと 広がりました。6 年生では、この 章 で 学んだ 比例の 考え方 を さらに おし広げて、反比例・比・拡大 と しゅく小・角柱や 円柱の 体積など、より 本格的 な 算数 に 進みます。この 章 で 学んだ「表・式・グラフ を 行き来 する 力」が、これから の 大きな 武器 に なります。