三角形さんかくけい と 円えん・球たま

この 章しょうで学まなぶこと

この 章しょうでは、三角形さんかくけいを 辺あたりの長ながさでなかま分わけし、円えんと 球きゅうのしくみをまなびます。新あたらしい 道どう具ぐ コンパスこんぱすも登場とうじょうします。

この 章しょうがおわるころには、つぎのことができるようになっています。

• 二に等とう辺へん三角形さんかくけいと 正三角形せいさんかっけいの意味いみがわかる
• 三角形さんかくけいを辺あたりの長ながさで 3つのなかまに分わけられる
• コンパスをつかって同おなじ長ながさをうつしたり、円えんをかいたりできる
• コンパスで 二等辺三角形にとうへんさんかっけい・正三角形せいさんかっけいを作図さくずできる
• 円えんの 中心ちゅうしん・半はん径けい・直ちょっ径けいが言いえる
• 円えんの中なかにかくれた 二等辺三角形にとうへんさんかっけいが見みつけられる
• 球たまの中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいがわかる

ポイント:小2では三角形さんかくけい・四角形しかくけいを「辺あたりの数かず」で見分みわけました。小しょう3からは 辺の長ながさにも目めを向むけて、もっとくわしくなかま分わけします。

1. 三角形さんかくけいを辺あたりの長ながさで見直みなおそう

三角形さんかくけいは、3本ほんの直線ちょくせんでかこまれた形でした。小しょう3では、3本ほんの辺あたりの長ながさに注目ちゅうもくして、つぎの 3つのなかまに分わけます。

なかま	意味いみ	とくちょう
正三角形せいさんかっけい	3つの辺あたりがぜんぶ同おなじ長ながさ	かどの大おおきさもぜんぶ同おなじ
二等辺三角形にとうへんさんかっけい	2つの辺あたりが同おなじ長ながさ	同おなじ長ながさの辺あたりのあいだの 2つのかども同おなじ
ふつうの三角形さんかくけい	3つとも長ながさがちがう	かどもぜんぶちがう

ポイント: 「正三角形せいさんかっけい」は 二等辺三角形にとうへんさんかっけいのとくべつななかまとも言いえます。「2つ同おなじ」はとうぜん「3つとも同おなじ」をふくむからです。

二等辺三角形にとうへんさんかっけい

2つの辺あたりの長ながさが等ひとしい三角形さんかくけいを、二等辺三角形にとうへんさんかっけいといいます。

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左ひだりと 右みぎの辺あたりが同おなじ長ながさ、下したの辺あたり（底てい辺へん）だけちがう長ながさ、というのがよくある形かたちです。

ポイント:二等辺三角形にとうへんさんかっけいを 紙かみで作つくって半分はんぶんに折おると、ぴったり重かさなります。2つのかど（底てい角かく）の大おおきさが等ひとしいことがわかります。

正三角形せいさんかっけい

3つの辺あたりの長ながさがぜんぶ等ひとしい三角形さんかくけいを、正三角形せいさんかっけいといいます。

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3つの辺あたりがぜんぶ同おなじ長ながさなので、3つのかどもぜんぶ同おなじ大おおきさです。じつはどのかども 60度どになっています（度どは 4年生ねんせいでくわしくならいます）。

やってみよう: 正せい三角形さんかくけいを 折おり紙がみで作つくってみよう。

1. 折おり紙がみを半分はんぶんに折おって折おり目めをつける
2. 右みぎ下かの 頂ちょう点てんを折おり目めの上うえに重かさねる
3. 重かさなったところに 印しるしをつける
4. 折おり紙がみの 頂点ちょうてんと印しるしを直線ちょくせんで結むすぶ

できた三角形さんかくけいの 3つの辺あたりを 定じょう規ぎではかると、ぜんぶ同おなじ長ながさになります。

2. コンパスのつかい方

コンパスは、円えんをかいたり、同おなじ長ながさをうつしとったりできる、とても 便べん利りな道具どうぐです。

コンパスのぶぶん

• はり … 中なか心しんにさすとがったぶぶん
• えんぴつ（しん） … 線せんをかくぶぶん
• つまみ … 上うえのつかむところ
• ねじ … はりとしんのあいだの大おおきさを決きめる

つかい方かたのコツ

1. はりとしんの 先さきをそろえる（高たかさを同おなじに）
2. かきたい長ながさにあわせて大おおきさを決きめる
3. はりを紙かみにしっかりさす
4. つまみだけをまわす（紙かみは動うごかさない）
5. ひといきにぐるっとまわす

注意ちゅうい: はりは 指ゆびをさすとあぶないので、コンパスの先さきは自分じぶんや 友ともだちに 向むけないようにしよう。

コンパスで同おなじ長ながさをうつそう

コンパスは、長さのものさしとしてもつかえます。

1. 元もとの線せんのはしにはりをさす
2. もう一方いっぽうのはしにしんを合あわせる
3. その大おおきさを 変かえずに、別べつの場所ばしょにはりをさす
4. しんを紙かみの上うえでうごかして線せんをつける

これで、元もとの線せんと ぴったり同おなじ長ながさのしるしがつけられます。

3. コンパスで三角形さんかくけいをかこう

二等辺三角形にとうへんさんかっけいの作図さくず

底辺ていへん（下したの辺あたり）の長ながさと、もう 2本ほんの辺あたりの長ながさを決きめてかきます。

たとえば、底辺ていへん 4 cm、ほかの 2辺へんがそれぞれ 5 cm の二等辺三角形にとうへんさんかっけいをかいてみましょう。

1. 底辺ていへん 4 cm の直線ちょくせん（イ━━ウ）をものさしでかく
2. コンパスを 5 cm に開ひらく
3. 点てんイにはりをさして、上うえの方ほうに 弧こ（カーブ）をかく
4. はりをそのまま点てんウにさして、同おなじく上うえに 弧こをかく
5. 2つの弧こが交まじわった点てんをアとする
6. ア-イ、ア-ウを直線ちょくせんで結むすぶ

これで、ア-イもア-ウも 5 cmの 二等辺三角形にとうへんさんかっけいができました。

正三角形せいさんかっけいの作図さくず

3つの辺あたりをぜんぶ同おなじ長ながさにします。たとえば全部ぜんぶ 4 cm にするばあい：

1. 4 cm の直線ちょくせん（イ━━ウ）をかく
2. コンパスを 底辺ていへんと同おなじ 4 cmに開ひらく
3. 点てんイから弧こをかく
4. 点てんウから同おなじ大おおきさの弧こをかく
5. 2つの弧こが交まじわった点てんアと、イ・ウを結むすぶ

3つの辺あたりがぜんぶ 4 cm の 正三角形せいさんかっけいのできあがりです。

ポイント: コンパスの開ひらき方かたを 底辺ていへんと同おなじにすれば正三角形せいさんかっけい、底辺ていへんとちがう長ながさにすれば二等辺三角形にとうへんさんかっけいになります。

4. 円

丸まるい形がたの中なかでも、とくに 1つの点てんから同おなじ長ながさでかいた形が 円です。コンパスでかける、あの形かたちです。

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円えんの 3つのことば

ことば	意味いみ
中心ちゅうしん	円えんのまん中なかの点てん（コンパスのはりをさしたところ）
半はん径けい	中心ちゅうしんから円えんの上うえまでの直線ちょくせん
直ちょっ径けい	中心ちゅうしんを 通とおって、円えんの上うえから円えんの上うえまで 引ひいた直線ちょくせん

　　　　　　・━━━━●　← 半径はんけい 　　　　　 中心ちゅうしん 　　●━━━━・━━━━●　← 直径ちょっけい

半径はんけいと直径ちょっけいのかんけい

直径ちょっけいは 半径はんけいの 2つ分です。

• 半径はんけいが 3 cm なら、直径ちょっけいは 6 cm
• 直径ちょっけいが 10 cm なら、半径はんけいは 5 cm

重要じゅうよう: 直径ちょっけい ＝ 半径はんけい × 2　／　半径はんけい ＝ 直径ちょっけい ÷ 2

半径はんけいや直径ちょっけいは、円えんの中なかに 何なん本ほんでも引ひけることもおぼえておきましょう。中心ちゅうしんを通とおる直線ちょくせんならぜんぶ直径ちょっけい、中心ちゅうしんから円えんのふちまでならぜんぶ半径はんけいです。

円えんの中なかの二等辺三角形にとうへんさんかっけい

円えんの上うえに 2つの点てんをとり、その 2点てんと中心ちゅうしんを結むすぶと、二等辺三角形にとうへんさんかっけいができます。

なぜなら、中心ちゅうしんから円えんのふちまでの長ながさは どこも同おなじ（半径はんけい）だからです。中心ちゅうしんから出でた 2本ほんの辺あたりは、いつでも同おなじ長ながさになります。

やってみよう: コンパスで円えんをかいて、円えんの上うえに 2つの点てんを自由じゆうにとって、中心ちゅうしんと結むすんでみよう。できた三角形さんかくけいの 2辺へんは、ものさしではかると同おなじ長ながさになるはずです。

5. 球たま

ボールや 地ち球きゅう、ビー玉だまのような形かたちを 球といいます。

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球たまのとくちょうは、どの方向ほうこうから見みても円えんに見みえること。コップや紙かみの円えんは横よこから見みると線せんになりますが、球たまはどこから見みてもまん丸まるです。

球たまを切きると円えんになる

球たまを 包ほう丁ちょうですぱっと切きると、切きり口くちは かならず円になります。

• まん中なかで切きる → いちばん大おおきな円（直径ちょっけい ＝ 球たまの直径ちょっけい）
• はじっこで切きる → 小ちいさな円

球たまの中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけい

円えんと同おなじように、球たまにも中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいがあります。

• 中心ちゅうしん … 球たまのまん中なかの点てん
• 半径はんけい … 中心ちゅうしんから球たまの 表ひょう面めんまでの直線ちょくせん
• 直径ちょっけい … 中心ちゅうしんを通とおって、表面ひょうめんから表面ひょうめんまで引ひいた直線ちょくせん

ボールの直径ちょっけいは、2まいの板いたでボールをはさんで、板いたと板いたのあいだの長ながさをはかるとわかります。

ポイント:球の半径はんけいも直径ちょっけいも、どこからはかっても同おなじ長ながさです。これが円えんや球たまのいちばん大切たいせつな性質せいしつです。

まとめ

• 三角形さんかくけいは 辺の長ながさで 3つのなかまに分わけられる
• 二等辺三角形にとうへんさんかっけい … 2つの辺あたりが同おなじ長ながさ、2つの 底角ていかくも同おなじ
• 正三角形せいさんかっけい … 3つの辺あたりがぜんぶ同おなじ長ながさ、3つのかども同おなじ（60度ど）
• コンパスは円えんをかくだけでなく、同おなじ長ながさをうつす道具どうぐ
• コンパスで 底辺ていへんと弧この交点こうてんを結むすべば、二等辺三角形にとうへんさんかっけい・正三角形せいさんかっけいがかける
• 円えん … 中心ちゅうしんから同おなじ長ながさの点てんをつないだ形かたち
• 半径はんけい × 2 ＝ 直径ちょっけい　／　直径ちょっけい ÷ 2 ＝ 半径はんけい
• 円えんの上うえの 2点てんと中心ちゅうしんを結むすぶと、半径はんけいが等ひとしいので 二等辺三角形にとうへんさんかっけいができる
• 球 … どこから見みても円えんに見みえる形かたち。切きり口くちはかならず円えん
• 球たまにも中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいがあり、どこからはかっても同おなじ長ながさ

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