三角形さんかくけい と 円えん・球きゅう

この 章しょうで 学まなぶこと

この 章しょうでは、三角形さんかくけいを 辺へんの長ながさで なかま分わけし、円えんと 球きゅうの しくみを まなびます。新あたらしい 道どう具ぐ コンパスこんぱすも 登場とうじょうします。

この 章しょうが おわるころには、つぎのことが できるように なっています。

• 二に等とう辺へん三角形さんかくけいと 正三角形せいさんかくけいの 意味いみが わかる
• 三角形さんかくけいを 辺へんの長ながさで 3つの なかまに 分わけられる
• コンパスを つかって 同おなじ長ながさを うつしたり、円えんを かいたり できる
• コンパスで 二等辺三角形にとうへんさんかくけい・正三角形せいさんかくけいを 作図さくずできる
• 円えんの 中心ちゅうしん・半はん径けい・直ちょっ径けいが 言いえる
• 円えんの中なかに かくれた 二等辺三角形にとうへんさんかくけいが 見みつけられる
• 球きゅうの 中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいが わかる

ポイント:小2では 三角形さんかくけい・四角形しかくけいを「辺へんの数かず」で 見分みわけました。小しょう3からは 辺へんの長ながさにも 目めを向むけて、もっと くわしく なかま分わけします。

1. 三角形さんかくけいを 辺へんの長ながさで 見直みなおそう

三角形さんかくけいは、3本ほんの 直線ちょくせんで かこまれた 形でした。小しょう3では、3本ほんの 辺へんの長ながさに 注目ちゅうもくして、つぎの 3つの なかまに 分わけます。

なかま	意味いみ	とくちょう
正三角形せいさんかくけい	3つの 辺へんが ぜんぶ 同おなじ長ながさ	かどの 大おおきさも ぜんぶ 同おなじ
二等辺三角形にとうへんさんかくけい	2つの 辺へんが 同おなじ長ながさ	同おなじ長ながさの 辺へんの あいだの 2つの かども 同おなじ
ふつうの 三角形さんかくけい	3つとも 長ながさが ちがう	かども ぜんぶ ちがう

ポイント: 「正三角形せいさんかくけい」は 二等辺三角形にとうへんさんかくけいの とくべつな なかまとも 言いえます。「2つ 同おなじ」は とうぜん「3つとも 同おなじ」を ふくむからです。

二等辺三角形にとうへんさんかくけい

2つの 辺へんの長ながさが 等ひとしい 三角形さんかくけいを、二等辺三角形にとうへんさんかくけいと いいます。

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左ひだりと 右みぎの 辺へんが 同おなじ長ながさ、下したの 辺へん（底てい辺へん）だけ ちがう長ながさ、というのが よくある 形かたちです。

ポイント:二等辺三角形にとうへんさんかくけいを 紙かみで 作つくって 半分はんぶんに 折おると、ぴったり 重かさなります。2つの かど（底角ていかく）の 大おおきさが 等ひとしいことが わかります。

正三角形せいさんかくけい

3つの 辺へんの長ながさが ぜんぶ 等ひとしい 三角形さんかくけいを、正三角形せいさんかくけいと いいます。

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3つの 辺へんが ぜんぶ 同おなじ長ながさなので、3つの かども ぜんぶ 同おなじ大おおきさです。じつは どのかども 60度どに なっています（度どは 4年生ねんせいで くわしく ならいます）。

やってみよう: 正せい三角形さんかくけいを 折おり紙がみで 作つくってみよう。

1. 折おり紙がみを 半分はんぶんに 折おって 折おり目めを つける
2. 右みぎ下かの 頂ちょう点てんを 折おり目めの 上うえに 重かさねる
3. 重かさなった ところに 印しるしを つける
4. 折おり紙がみの 頂点ちょうてんと 印しるしを 直線ちょくせんで 結むすぶ

できた 三角形さんかくけいの 3つの 辺へんを 定じょう規ぎではかると、ぜんぶ 同おなじ長ながさに なります。

2. コンパスの つかい方

コンパスは、円えんを かいたり、同おなじ長ながさを うつしとったりできる、とても 便べん利りな 道具どうぐです。

コンパスの ぶぶん

• はり … 中心ちゅうしんに さす とがった ぶぶん
• えんぴつ（しん） … 線せんを かく ぶぶん
• つまみ … 上うえの つかむ ところ
• ねじ … はりと しんの あいだの 大おおきさを 決きめる

つかい方かたの コツ

1. はりと しんの 先さきを そろえる（高たかさを 同おなじに）
2. かきたい 長ながさに あわせて 大おおきさを 決きめる
3. はりを 紙かみに しっかり さす
4. つまみだけを まわす（紙かみは 動うごかさない）
5. ひといきに ぐるっと まわす

注意ちゅうい: はりは 指ゆびを さすと あぶないので、コンパスの 先さきは 自分じぶんや 友ともだちに 向むけない ように しよう。

コンパスで 同おなじ長ながさを うつそう

コンパスは、長さの ものさしとしても つかえます。

1. 元もとの 線せんの はしに はりを さす
2. もう一方いっぽうの はしに しんを 合あわせる
3. その大おおきさを 変かえずに、別べつの 場所ばしょに はりを さす
4. しんを 紙かみの上うえで うごかして 線せんを つける

これで、元もとの 線せんと ぴったり 同おなじ長ながさの しるしが つけられます。

3. コンパスで 三角形さんかくけいを かこう

二等辺三角形にとうへんさんかくけいの 作図さくず

底辺ていへん（下したの 辺へん）の 長ながさと、もう 2本ほんの 辺へんの 長ながさを 決きめて かきます。

たとえば、底辺ていへん 4 cm、ほかの 2辺へんが それぞれ 5 cm の 二等辺三角形にとうへんさんかくけいを かいてみましょう。

1. 底辺ていへん 4 cm の 直線ちょくせん（イ━━ウ）を ものさしで かく
2. コンパスを 5 cm に 開ひらく
3. 点てんイに はりを さして、上うえの方ほうに 弧こ（カーブ）を かく
4. はりを そのまま 点てんウに さして、同おなじく 上うえに 弧こを かく
5. 2つの 弧こが 交まじわった 点てんを アとする
6. ア-イ、ア-ウ を 直線ちょくせんで 結むすぶ

これで、ア-イ も ア-ウ も 5 cmの 二等辺三角形にとうへんさんかくけいが できました。

正三角形せいさんかくけいの 作図さくず

3つの 辺へんを ぜんぶ 同おなじ長ながさに します。たとえば 全部ぜんぶ 4 cm にする ばあい：

1. 4 cm の 直線ちょくせん（イ━━ウ）を かく
2. コンパスを 底辺ていへんと 同おなじ 4 cmに 開ひらく
3. 点てんイから 弧こを かく
4. 点てんウから 同おなじ大おおきさの 弧こを かく
5. 2つの 弧こが 交まじわった 点てんアと、イ・ウを 結むすぶ

3つの 辺へんが ぜんぶ 4 cm の 正三角形せいさんかくけいの できあがりです。

ポイント: コンパスの 開ひらき方かたを 底辺ていへんと 同おなじに すれば 正三角形せいさんかくけい、底辺ていへんと ちがう長ながさに すれば 二等辺三角形にとうへんさんかくけいに なります。

4. 円

丸まるい 形かたちの 中なかでも、とくに 1つの 点てんから 同おなじ長ながさで かいた 形が 円です。コンパスで かける、あの 形かたちです。

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円えんの 3つの ことば

ことば	意味いみ
中心ちゅうしん	円えんの まん中なかの 点てん（コンパスの はりを さした ところ）
半はん径けい	中心ちゅうしんから 円えんの上うえまでの 直線ちょくせん
直ちょっ径けい	中心ちゅうしんを 通とおって、円えんの上うえから 円えんの上うえまで 引ひいた 直線ちょくせん

　　　　　　・━━━━●　← 半径はんけい 　　　　　 中心ちゅうしん 　　●━━━━・━━━━●　← 直径ちょっけい

半径はんけいと 直径ちょっけいの かんけい

直径ちょっけいは 半径はんけいの 2つ分です。

• 半径はんけいが 3 cm なら、直径ちょっけいは 6 cm
• 直径ちょっけいが 10 cm なら、半径はんけいは 5 cm

重要じゅうよう: 直径ちょっけい ＝ 半径はんけい × 2　／　半径はんけい ＝ 直径ちょっけい ÷ 2

半径はんけいや 直径ちょっけいは、円えんの中なかに 何なん本ほんでも 引ひけることも おぼえておきましょう。中心ちゅうしんを 通とおる 直線ちょくせんなら ぜんぶ 直径ちょっけい、中心ちゅうしんから 円えんのふちまでなら ぜんぶ 半径はんけいです。

円えんの中なかの 二等辺三角形にとうへんさんかくけい

円えんの上うえに 2つの 点てんを とり、その 2点てんと 中心ちゅうしんを 結むすぶと、二等辺三角形にとうへんさんかくけいが できます。

なぜなら、中心ちゅうしんから 円えんのふちまでの 長ながさは どこも 同おなじ（半径はんけい）だからです。中心ちゅうしんから 出でた 2本ほんの 辺へんは、いつでも 同おなじ長ながさに なります。

やってみよう: コンパスで 円えんを かいて、円えんの上うえに 2つの 点てんを 自由じゆうに とって、中心ちゅうしんと 結むすんでみよう。できた 三角形さんかくけいの 2辺へんは、ものさしで はかると 同おなじ長ながさに なるはずです。

5. 球きゅう

ボールや 地ち球きゅう、ビー玉だまのような 形かたちを 球きゅうと いいます。

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球きゅうの とくちょうは、どの方向ほうこうから 見みても 円えんに 見みえること。コップや 紙かみの 円えんは 横よこから 見みると 線せんに なりますが、球きゅうは どこから 見みても まん丸まる です。

球きゅうを 切きると 円えんになる

球きゅうを 包ほう丁ちょうで すぱっと 切きると、切きり口くちは かならず 円に なります。

• まん中なかで 切きる → いちばん 大おおきな 円（直径ちょっけい ＝ 球きゅうの直径ちょっけい）
• はじっこで 切きる → 小ちいさな 円

球きゅうの 中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけい

円えんと 同おなじように、球きゅうにも 中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいが あります。

• 中心ちゅうしん … 球きゅうの まん中なかの 点てん
• 半径はんけい … 中心ちゅうしんから 球きゅうの 表ひょう面めんまでの 直線ちょくせん
• 直径ちょっけい … 中心ちゅうしんを 通かよって、表面ひょうめんから 表面ひょうめんまで 引ひいた 直線ちょくせん

ボールの 直径ちょっけいは、2まいの 板いたで ボールを はさんで、板いたと板いたの あいだの 長ながさを はかると わかります。

ポイント:球きゅうの 半径はんけいも 直径ちょっけいも、どこから はかっても 同おなじ長ながさです。これが 円えんや 球きゅうの いちばん 大切たいせつな 性質せいしつです。

まとめ

• 三角形さんかくけいは 辺へんの長ながさで 3つの なかまに 分わけられる
• 二等辺三角形にとうへんさんかくけい … 2つの 辺へんが 同おなじ長ながさ、2つの 底角ていかくも 同おなじ
• 正三角形せいさんかくけい … 3つの 辺へんが ぜんぶ 同おなじ長ながさ、3つの かども 同おなじ（60度ど）
• コンパスは 円えんを かく だけでなく、同おなじ長ながさを うつす道具どうぐ
• コンパスで 底辺ていへんと 弧この交点こうてんを 結むすべば、二等辺三角形にとうへんさんかくけい・正三角形せいさんかくけいが かける
• 円えん … 中心ちゅうしんから 同おなじ長ながさの 点てんを つないだ 形かたち
• 半径はんけい × 2 ＝ 直径ちょっけい　／　直径ちょっけい ÷ 2 ＝ 半径はんけい
• 円えんの上うえの 2点てんと 中心ちゅうしんを 結むすぶと、半径はんけいが 等ひとしいので 二等辺三角形にとうへんさんかくけいが できる
• 球きゅう … どこから 見みても 円えんに 見みえる 形かたち。切きり口くちは かならず 円えん
• 球きゅうにも 中心ちゅうしん・半径はんけい・直径ちょっけいが あり、どこから はかっても 同おなじ長ながさ

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