四角形しかくけいと立体りったい — 平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形ひしがた・台形だいけいと直方体ちょくほうたい

この章しょうで学まなぶこと

この章しょうでは、いろいろな四角形しかくけいと、立体りったい(箱ばこの形かたち)を学まなびます。 辺へんや角かくに注目ちゅうもくして、四角形しかくけいの仲間なかま分わけをし、立体りったいの面めん・辺へん・頂点ちょうてんの数かずをかぞえます。

• 平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形ひしがた・台形だいけいのちがいがわかる
• それぞれの四角形しかくけいの性質せいしつ(辺へん・角かく)がわかる
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいの面めん・辺へん・頂点ちょうてんの数かずがわかる

ポイント:四角形しかくけいは、どの辺へんが平行へいこうかで仲間なかま分わけします。 「向むかい合あう辺へんが2組くみとも平行へいこう」「1組くみだけ平行へいこう」などのちがいに注目ちゅうもくしましょう。

1. いろいろな四角形しかくけい

四角形しかくけい	性質せいしつ
台形だいけい	向むかい合あう1組くみの辺へんが平行へいこう
平行四辺形へいこうしへんけい	向むかい合あう2組くみの辺へんがどちらも平行へいこう。向むかい合あう辺へんの長ながさ・角かくが等ひとしい
ひし形ひしがた	4つの辺へんの長ながさがすべて等ひとしい平行四辺形へいこうしへんけい

大事だいじ: 平行四辺形へいこうしへんけいでは、向むかい合あう辺へんの長ながさが等ひとしく、向むかい合あう角かくの大おおきさも等ひとしいです。 ひし形ひしがたは、それにくわえて4つの辺へんがすべて同おなじ長ながさです。

例題れいだい1

平行四辺形へいこうしへんけいがあり、1つの角かくが 70° です。 この角かくの向むかい合あう角かくの大おおきさは何なん度どですか。

平行四辺形へいこうしへんけいでは、向むかい合あう角かくの大おおきさは等ひとしいので、

$70\hspace{0.25em} \left(°\right)$

答えこたえは 70° です。

例題れいだい2

平行四辺形へいこうしへんけいがあり、となり合あう2つの角かくのうち、一方いっぽうが 70° です。 もう一方いっぽうの角かくは何なん度どですか。

平行四辺形へいこうしへんけいでは、となり合あう2つの角かくの大おおきさをたすと 180° になります。 だから、

$180-70=110\hspace{0.25em} \left(°\right)$

答えこたえは 110° です。

2. 直方体ちょくほうたいと立方体りっぽうたい

箱はこの形かたちのような立体りったいを考えかんがえます。

立体りったい	面めん	辺へん	頂点ちょうてん
直方体ちょくほうたい	6	12	8
立方体りっぽうたい	6	12	8

• 直方体ちょくほうたい… 長方形ちょうほうけい(や正方形せいほうけい)で囲かこまれた箱はこの形かたち
• 立方体りっぽうたい… すべての面めんが同おなじ大おおきさの正方形せいほうけいでできた箱はこの形

直方体ちょくほうたいも立方体りっぽうたいも、面が6つ・辺へんが12本ほん・頂点ちょうてんが8つです。 立方体りっぽうたいは、辺へんの長ながさがすべて同おなじところがちがいます。

例題れいだい3

直方体ちょくほうたいには、面めん・辺へん・頂点ちょうてんがそれぞれいくつありますか。

直方体ちょくほうたいは、面めんが 6つ、辺へんが 12本、頂点ちょうてんが 8つ です。

注意ちゅうい: 「面めん」「辺へん」「頂点ちょうてん」の数かずをかぞえまちがえないように。 向むかい合あう面めん・辺へんは同おなじ大おおきさ・長ながさです。

3. どう問とわれるか

• 四角形しかくけいを、辺へんの平行へいこうで仲間なかま分わけする
• 平行四辺形へいこうしへんけいの向むかい合あう角かく・となり合あう角かくの大おおきさ
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいの面めん・辺へん・頂点ちょうてんの数かず
• 立体りったいの展開図てんかいずや、辺へん・面めんの平行へいこう・垂直すいちょく

よくまちがえるところ

四角形しかくけいと立体りったいでは、名前なまえと性質せいしつの組み合わせくみあわせを取とりちがえやすいです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
となり合あう角かくも等ひとしいとする	平行四辺形へいこうしへんけいの1つの角かくが70°なら、となりも70°とする	等ひとしいのは向むかい合あう角かく。となり合あう角かくの和わは180°
台形だいけいを2組平行へいこうと思おもう	台形だいけいの向むかい合あう辺へんが2組くみとも平行へいこうだとする	台形だいけいは1組くみだけ平行へいこう
ひし形ひしがたを角かくで見分みわける	「4つの角かくが直角ちょっかくならひし形ひしがた」とする	ひし形ひしがたは4つの辺へんの長ながさが等ひとしい四角形しかくけい
立体りったいの辺へんの数かずをかぞえまちがえる	直方体ちょくほうたいの辺へんを8本ほんとする	面めん6・辺へん12・頂点ちょうてん8

いちばん多おおいのはとなり合あう角かくと向むかい合あう角かくの取とりちがえです。平行四辺形へいこうしへんけいでは、向むかい合あう角かくどうしが等ひとしく、となり合あう角かくの和わが180°になります。1つの角かくが70°なら、向むかい合あう角かくは70°、となり合あう角かくは 180 - 70 = 110° です。図ずをかいて、どちらの角かくを聞きかれているかを指ゆびでたどってから計算けいさんしましょう。

四角形しかくけいを見分みわける手順てじゅん

順番じゅんばん	見みること	分わかれ方かた
1	平行へいこうな辺へんは何なん組くみあるか	1組くみなら台形だいけい、2組くみなら平行四辺形へいこうしへんけいの仲間なかま
2	4つの辺へんの長ながさは等ひとしいか	等ひとしければひし形ひしがたの仲間なかま
3	4つの角かくは直角ちょっかくか	直角ちょっかくなら長方形ちょうほうけいの仲間なかま
4	辺へんも角かくもすべて等ひとしいか	正方形せいほうけい

四角形しかくけいの性質せいしつを、表ひょうでくらべると見分みわけやすくなります。

四角形しかくけい	平行へいこうな辺へん	辺へんの長ながさ	角かく
台形だいけい	1組くみ	決きまっていない	決きまっていない
平行四辺形へいこうしへんけい	2組くみ	向むかい合あう辺へんが等ひとしい	向むかい合あう角かくが等ひとしい
ひし形ひしがた	2組くみ	4つとも等ひとしい	向むかい合あう角かくが等ひとしい
長方形ちょうほうけい	2組くみ	向むかい合あう辺へんが等ひとしい	4つとも直角ちょっかく
正方形せいほうけい	2組くみ	4つとも等ひとしい	4つとも直角ちょっかく

大事だいじ:正方形せいほうけいは、ひし形ひしがたでもあり長方形ちょうほうけいでもあります。「あてはまるものをすべて選えらびなさい」と聞きかれたときは、上うえの表ひょうでたしかめましょう。

自分じぶんでチェック

• 台形だいけい・平行四辺形へいこうしへんけい・ひし形ひしがたを、平行へいこうな辺へんの組くみで見分みわけられる
• 平行四辺形へいこうしへんけいの向むかい合あう角かくが等ひとしいと言いえる
• となり合あう角かくの和わが180°だと言いえる
• 正方形せいほうけいがひし形ひしがたでも長方形ちょうほうけいでもあると言いえる
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいが面めん6・辺へん12・頂点ちょうてん8だと言いえる

まとめ

• 台形だいけい=1組平行へいこう、平行四辺形へいこうしへんけい=2組平行へいこう、ひし形ひしがた=4辺へん等ひとしい平行四辺形へいこうしへんけい
• 平行四辺形へいこうしへんけいは向むかい合あう辺へん・角かくが等ひとしく、となり合あう角かくの和わは180°
• 直方体ちょくほうたい・立方体りっぽうたいは面6・辺へん12・頂点ちょうてん8

次の章しょうでは、折おれ線せんグラフとともなって変かわる2つの数量すうりょうを学まなびます。