隣接三項間漸化式りんせつさんこうかんぜんかしき

隣接りんせつ三さん項こう間はざま漸すすむ化か式しきとは、連続れんぞくする 3 つの項こうの関係かんけい$a_{n+2}=p{a}_{n+1}+q{a}_n$ で数列すうれつを定義ていぎする漸化式うたてかしきのことです。解とくには 2 次つぎの特性とくせい方程式ほうていしきを使つかいます。

ステップ	内容ないよう
特性とくせい方程式ほうていしき	$x^2=px+q$ を解とく
2 解かい	$\alpha , \beta$
分解ぶんかい	$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$

このように 2 つの等比数列とうひすうれつに分解ぶんかいして解ときます（$\alpha , \beta$ は特性とくせい方程式ほうていしきの 2 解かい）。代表だいひょう例れいはフィボナッチ数列すうれつ$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$（$1,1,2,3,5,8,\dots$）で、特性とくせい方程式ほうていしき$x^2=x+1$ の解かいから一般いっぱん項こうが導みちびけます。

試験しけんでは 特性とくせい方程式ほうていしき$x^2=px+q$ を立たてるとき、$a_{n+2}\to x^2$、$a_{n+1}\to x$、$a_n\to 1$ と置おき換かえる。2 解かいが重じゅう解かいになる場合ばあいは別べつの解法かいほうが必要ひつようになる点てんも押おさえておこう。