put down は「(手に持った物を)下に置く」「(メモを)書き留める」という意味です。例: He put down his bag.(彼はかばんを下に置いた)。
物を置く意味のほかに、書き留める、反乱を鎮圧する、人をけなす、といった意味があります。目的語が代名詞のときは put it down の語順になります。イギリス英語では受話器を置く場面でも使われます。反対に持ち上げる動作は pick up で、対にして覚えておくと使い分けやすくなります。たとえば、Put down your pens when the time is up.(時間になったらペンを置きなさい)のように、試験の指示でも登場します。
試験では put down の複数の意味を文脈から選ぶ問題が出ます。