go on は「続く・続ける」「(事が)起こる」という意味です。例: The meeting went on for hours.(会議は何時間も続いた)。例: What's going on here?(ここで何が起きているの?)。go on -ing で「〜し続ける」。
後ろに動名詞を続けると同じことを続ける意味、不定詞を続けると別のことへ移る意味になり、go on talking と go on to talk では内容が変わります。人に先を促す Go on.(続けて)という短い言い方もよく使われます。何が起きているのかをたずねる決まり文句としても定着しています。たとえば、She went on to explain the reason for her decision.(彼女は続いてその決断の理由を説明した)のように、話題を次へ進めるときに使います。
試験では go on -ing と go on to do の意味の違いが定番の出題です。