高校こうこう数学すうがくB 実力じつりょく判定はんてい 48 問もん

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1. 初はつ項こう 3、 公差こうさ 4 の 等差数列とうさすうれつ $\{a_n\}$ の 第だい 10 項$a_{10}$ はいくつですか？
   • ・$36$
   • ・$39$
   • ・$40$
   • ・$43$
2. 初はつ項こう$2$、 公おおやけ比ひ$3$ の 等比数列とうひすうれつ $\{a_n\}$ の 第だい 5 項$a_5$ の値あたいはいくつですか？ (整数せいすう)
3. 等差数列とうさすうれつ $\{a_n\}$ が $a_3 = 7$, $a_7 = 19$ をみたすとき、 公差こうさ $d$ はいくつですか？ (整数せいすう)
4. 等比数列とうひすうれつ $\{a_n\}$ で $a_2 = 6$, $a_5 = 162$ の と き、 公比こうひ $r$ (正せい) はいくつですか？
   • ・$2$
   • ・$3$
   • ・$6$
   • ・$4$
5. 等差数列とうさすうれつ $3, 7, 11, 15, \dots$ で、 第$n$項$a_n$ を $n$ の式しきで表あらわしなさい (例れい: 4n-1)。
6. 次つぎの数列すうれつのうち、 等差数列とうさすうれつ であるものを 全すべて 選えらびなさい。
   • ・$5, 8, 11, 14, 17, \dots$
   • ・$1, 2, 4, 8, 16, \dots$
   • ・$10, 7, 4, 1, -2, \dots$
   • ・$1, 4, 9, 16, 25, \dots$
7. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k$ を $n$ の式しきで表あらわすとどれですか？
   • ・$n$
   • ・$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
   • ・$n^2$
   • ・$\dfrac{n(n+1)}{2}$
8. $\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k$ の値あたいはいくつですか？ (整数せいすう)
9. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$ を表あらわす公式こうしきはどれですか？
   • ・$\dfrac{n(n+1)}{2}$
   • ・$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
   • ・$\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$
   • ・$n^2(n+1)$
10. 初はつ項こう$2$、 公おおやけ比ひ$3$ の 等比数列とうひすうれつ の初はつ項こうから第$n$項までの和$S_n$ を $n$ の式しきで表あらわしなさい (例れい: 3^n - 1)。
11. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$ を部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいで計算けいさんすると、 結果けっかはどれですか？
    • ・$\dfrac{1}{n+1}$
    • ・$\dfrac{n}{n+1}$
    • ・$\dfrac{n+1}{n}$
    • ・$\dfrac{n}{2(n+1)}$
12. 次つぎの等式とうしきのうち 正ただしい ものを全すべて選えらびなさい。
    • ・$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = cn$ (c は 定数)
    • ・$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_k + b_k) = \sum_{k=1}^{n} a_k + \sum_{k=1}^{n} b_k$
    • ・$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = n(n+2)$
    • ・$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
13. 漸化式ぜんかしき $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3$ で定さだまる数列すうれつの一般いっぱん項こう$a_n$ はどれですか？
    • ・$3n$
    • ・$3n + 1$
    • ・$n + 3$
    • ・$3n - 2$
14. 漸化式ぜんかしき $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n$ で定さだまる数列すうれつの一般いっぱん項こう$a_n$ はどれですか？
    • ・$3 \cdot 2^{n-1}$
    • ・$2 \cdot 3^n$
    • ・$2 \cdot 3^{n-1}$
    • ・$3n + 2$
15. 漸化式ぜんかしき $a_1 = 3$, $a_{n+1} = a_n + 2n$ の と き、 $a_5$ の値あたいはいくつですか？ (整数せいすう)
16. 漸化式ぜんかしき $a_1 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n + 1$ の 一般いっぱん項こう$a_n$ はどれですか？ (特性方程式とくせいほうていしき利用りよう)
    • ・$2^n - 1$
    • ・$2^{n-1}$
    • ・$2^n + 1$
    • ・$2n - 1$
17. フィボナッチ数列ふぃぼなっちすうれつ $a_1 = a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ の 第だい 7 項$a_7$ はいくつですか？
    • ・$8$
    • ・$21$
    • ・$13$
    • ・$34$
18. 漸化式ぜんかしき $a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n - 2$ で定さだまる数列すうれつの $a_n$ を $n$ の式しきで表あらわしなさい (例れい: -2n+7)。
19. 数学的帰納法すうがくてききのうほう で自然しぜん数すう$n$ について命題めいだい$P(n)$ を証明しょうめいするとき、 通常つうじょう示しめすのは何なにですか？
    • ・$P(n) \Rightarrow P(n-1)$
    • ・$P(1)$ の み
    • ・$P(k+1)$ の み
    • ・$P(1)$ と 「$P(k) \Rightarrow P(k+1)$」 の 2 つ
20. $1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ を 数学的帰納法すうがくてききのうほう で証明しょうめいするとき、 $n = k$ を仮定かていして示しめすべき $n = k+1$ の等式とうしきはどれですか？
    • ・$1 + 2 + \dots + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$
    • ・$1 + 2 + \dots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$
    • ・$\dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = (k+1)^2$
    • ・$k + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$
21. 数学的帰納法すうがくてききのうほう の第だい一いち段階だんかいで、 まず $n =$ □ のとき命題めいだいが成なり立たつことを示しめします (整数せいすう)。
22. $2^n > n$ (n は自然しぜん数すう) を 数学的帰納法すうがくてききのうほう で示しめすとき、 $2^k > k$ を仮定かていして $2^{k+1}$ をどのように評価ひょうかすればよいですか？
    • ・$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k \geq k+1$
    • ・$2^{k+1} = 2^k + 2 > k + 2$
    • ・$2^{k+1} = (2^k)^2 > k^2$
    • ・$2^{k+1} = 2^k - 1 > k - 1$
23. 数学的帰納法すうがくてききのうほう について 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・自然数 全体 に つ い て の 命題 証明 に 使 え る
    • ・実数 全体 に つ い て の 命題 証明 に 使 え る
    • ・出 発点 を $n = 1$ 以外 (例 $n = 0$ や $n = 3$) に し て も よ い
    • ・$n = k$ の 仮定 を 使 わ ず $n = k+1$ を 示 し て も よ い
24. $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を帰納きのう法ほうで示しめすとき、 $n = 1$ での両辺りょうへんの値あたいはいくつですか？ (整数せいすう)
25. 確率変数かくりつへんすう $X$ の値あたいが $1, 2, 3$ で確率かくりつがそれぞれ $\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}$ のとき、 期待値きたいち $E(X)$ はいくつですか？
    • ・$2$
    • ・$\dfrac{7}{3}$
    • ・$\dfrac{5}{2}$
    • ・$3$
26. 確率変数かくりつへんすう $X$ の 期待値きたいち が $E(X) = 5$, 分散ぶんさん が $V(X) = 2$ の と き、 $E(2X + 3)$ の値あたいはいくつですか？ (整数せいすう)
27. 確率変数かくりつへんすう $X$ で $V(X) = 4$ の と き、 $V(3X - 1)$ の値あたいはいくつですか？
    • ・$12$
    • ・$11$
    • ・$36$
    • ・$37$
28. 二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$ の 期待きたい値ち$E(X)$ を表あらわす式しきはどれですか？
    • ・$np$
    • ・$np(1-p)$
    • ・$\sqrt{np}$
    • ・$n/p$
29. 1 回かいの試行しこうで成功せいこう確率かくりつ$p = 0.2$ の試行しこうを 100 回かい独立どくりつに行おこなうとき、 成功せいこう回数かいすう$X$ の期待きたい値ち$E(X)$ はいくつですか？ (整数せいすう)
30. 二項分布にこうぶんぷ $B(100, 0.2)$ の 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ はいくつですか？
    • ・$4$
    • ・$2$
    • ・$16$
    • ・$20$
31. 正規分布せいきぶんぷ $N(\mu, \sigma^2)$ のパラメータについて 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・$\mu$ は 平均へいきん (期待値) を 表 す
    • ・$\sigma$ は 標準偏差ひょうじゅんへんさ を 表 す
    • ・$\sigma^2$ は 分散ぶんさん を 表 す
    • ・$\mu$ は 最頻値 を 表 す が 平均 で は な い
32. 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ $N(0, 1)$ に従したがう確率かくりつ変数へんすう$Z$ について、 $P(-1 \leq Z \leq 1)$ は約やく何なに % ですか？ (整数せいすう %、 約やく)
33. 正規分布せいきぶんぷ $N(50, 10^2)$ に 従 う $X$ を 標準化ひょうじゅんか する式しきはどれですか？
    • ・$Z = X - 50$
    • ・$Z = \dfrac{X - 50}{10}$
    • ・$Z = \dfrac{X}{10} - 50$
    • ・$Z = \dfrac{X - 10}{50}$
34. 試験しけんの点数てんすうが $N(60, 10^2)$ に従したがうとき、 点数てんすうが 80 点てん以上いじょうとなる確率かくりつは約やく何なに % ですか？ (約やく値あたい)
    • ・約 $2.5$ %
    • ・約 $16$ %
    • ・約 $32$ %
    • ・約 $5$ %
35. 二項分布にこうぶんぷ $B(n, p)$ は、 $n$ が十分じゅうぶん大おおきいとき近似きんじ的てきにどの分布ぶんぷに従したがいますか？ (ラプラスの定理ラプラスのていり)
    • ・幾何分布きかぶんぷ
    • ・一様分布いちようぶんぷ
    • ・ポアソン分布ポアソンぶんぷ
    • ・正規分布せいきぶんぷ $N(np, np(1-p))$
36. 正規分布せいきぶんぷ について 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・確率密度関数 の グラフ は 平均 $\mu$ に 関 し て 左右 対称
    • ・標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ が 大 き い ほ ど グラフ は 鋭 く な る
    • ・$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ の と き $Z = (X - \mu)/\sigma$ は $N(0, 1)$ に 従 う
    • ・$P(X \leq \mu) = 0.5$ で あ る
37. 統計的推測とうけいてきすいそく で、 「調しらべたい集団しゅうだん全体ぜんたい」 を何なにといいますか？
    • ・母集団ぼしゅうだん
    • ・標本平均ひょうほんへいきん
    • ・推定量すいていりょう
    • ・標本ひょうほん
38. 標本平均ひょうほんへいきん $\bar{X}$ の 期待値きたいち $E(\bar{X})$ と 母平均ぼへいきん $\mu$ の 関係かんけいはどれですか？
    • ・$E(\bar{X}) = \mu / n$
    • ・$E(\bar{X}) = n \mu$
    • ・$E(\bar{X}) = \mu^2$
    • ・$E(\bar{X}) = \mu$
39. 母集団ぼしゅうだん の分散ぶんさん$\sigma^2$、 標本ひょうほんの大おおきさ $n$ のとき、 標本平均ひょうほんへいきん $\bar{X}$ の 分散ぶんさん はどれですか？
    • ・$\sigma^2$
    • ・$n \sigma^2$
    • ・$\sigma^2 / n$
    • ・$\sigma / \sqrt{n}$
40. 母平均ぼへいきん $\mu$ の 95% 信頼区間しんらいくかん を求もとめる際さい、 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ から用もちいる係数けいすうは約やくいくつですか？
    • ・$1.00$
    • ・$1.65$
    • ・$1.96$
    • ・$2.58$
41. 標本平均ひょうほんへいきん $\bar{X} = 50$、 母標準偏差ぼひょうじゅんへんさ $\sigma = 10$、 標本ひょうほん数すう$n = 100$ のとき、 母平均ぼへいきん $\mu$ の 95% 信頼区間しんらいくかん の半幅はんはば (中心ちゅうしんからの距離きょり) はいくつですか？ (小数しょうすう)
42. 信頼度しんらいど を 95% から 99% に上あげると、 信頼区間しんらいくかん の幅はばはどうなりますか？
    • ・狭 く な る
    • ・変 わ ら な い
    • ・0 に な る
    • ・広 く な る
43. 仮説検定かせつけんてい の用語ようごについて 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・帰無仮説きむかせつ $H_0$ は 最 初 に 否定 さ れ る 候補 と し て 立 て る 仮説
    • ・対立仮説たいりつかせつ $H_1$ は $H_0$ が 棄却 さ れ た と き に 採用 す る 仮説
    • ・棄却域ききゃくいき は 検定 統計 量 が こ の 範囲 に 入 れ ば $H_0$ を 棄却 す る 区間
    • ・有意水準ゆういすいじゅん $\alpha$ は $H_0$ が 正 し い 確率 を 表 す
44. 有意水準ゆういすいじゅん $\alpha = 0.05$ とはどういう意味いみですか？
    • ・帰無仮説きむかせつ が 正 し い 確率 が 5%
    • ・帰無仮説きむかせつ を 誤 っ て 棄却 す る 確率 (第1種の過誤だい1しゅのかご) を 5% 以下 に 抑 え る
    • ・対立仮説たいりつかせつ が 正 し い 確率 が 95%
    • ・標本 数 が 全体 の 5%
45. 両側検定りょうがわけんてい と 片側検定かたがわけんてい の違ちがいについて、 正ただしい記述きじゅつはどれですか？
    • ・両側 の 方 が 必 ず 棄却 さ れ や す い
    • ・両側 は 標本ひょうほん を 2 つ 使 う 検定
    • ・片側 は 対立仮説たいりつかせつ に 「大 き い」 「小 さ い」 の 一 方 だ け を 含 む
    • ・片側 と 両側 で 結果 は 一致 す る
46. 有意水準ゆういすいじゅん 5% の 両側検定りょうがわけんてい で、 標準正規分布ひょうじゅんせいきぶんぷ の 棄却域ききゃくいき の 境界きょうかい (絶対ぜったい値ち) は約やくいくつですか？ (小数しょうすう)
47. ある製品せいひんの平均へいきん重量じゅうりょうを $\mu_0 = 100$ g とし、 100 個この標本ひょうほん平均へいきんが $\bar{X} = 102$ g、 母標準偏差ぼひょうじゅんへんさ $\sigma = 10$ g とする。 有意水準ゆういすいじゅん 5% の 両側検定りょうがわけんてい で検定けんてい統計とうけい量りょう$z$ はいくつですか？
    • ・$1$
    • ・$10$
    • ・$2$
    • ・$20$
48. 仮説検定かせつけんてい について 正ただしい 記述きじゅつを全すべて選えらびなさい。
    • ・帰無仮説きむかせつ が 棄却 さ れ な か っ た こ と は、 帰無仮説 が 正 し い こ と を 証明 し た わ け で は な い
    • ・有意水準ゆういすいじゅん を 下 げ る ほ ど 第1種の過誤だい1しゅのかご の 確率 は 下 が る
    • ・標本 数 を 増 や す と 検定 の 精度 (検出 力) は 上 が る
    • ・$p$ 値 が 小 さ い ほ ど 帰無仮説きむかせつ が 正 し い 可能 性 が 高 い