高校こうこう数学すうがく II 実力じつりょく判定はんてい 60 問もん

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1. 二項定理にこうていり により $(a+b)^4$ を展開てんかいした時とき、 $a^2 b^2$ の係数けいすうはいくつですか？
   • ・$4$
   • ・$8$
   • ・$6$
   • ・$12$
2. $(2x+3)^5$ を展開てんかいした時ときの $x^3$ の係数けいすうを求もとめなさい。
3. 整式せいしき$f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ を $x-2$ で割わった余あまりを 剰余の定理じょうよのていり で求もとめなさい。
4. 恒等式こうとうしき $a(x-1)^2 + b(x-1) + c = x^2 + 1$ が成なり立たつよう $a, b, c$ を定さだめた時とき、 $(a, b, c)$ はどれですか？
   • ・$(1, 2, -2)$
   • ・$(2, 1, 2)$
   • ・$(1, -2, 2)$
   • ・$(1, 2, 2)$
5. $x > 0$ のとき、 相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん の関係かんけいを使つかって $x + \dfrac{4}{x}$ の最小値さいしょうちを求もとめよ。
   • ・$2$
   • ・$8$
   • ・$4$
   • ・最小値 は な い
6. 等式の証明とうしきのしょうめい・不等式の証明ふとうしきのしょうめい について 正ただしい 記述きじゅつをすべて選えらびなさい。
   • ・等式 $A = B$ の 証明 は、 $A - B = 0$ を 示 し て も よ い
   • ・不等式 $A \ge B$ の 証明 は、 $A - B \ge 0$ を 示 せ ば よ い
   • ・相加平均と相乗平均そうかへいきんとそうじょうへいきん の 関係 は 正 の 数 で な く て も 成 り 立 つ
   • ・恒等式こうとうしき は 文字 に 何 を 代入 し て も 等 し く 成 り 立 つ 等式 で あ る
7. 虚数単位きょすうたんい $i$ の 定義ていぎとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$i^2 = -1$
   • ・$i = \sqrt{1}$
   • ・$i^2 = 1$
   • ・$i = -1$
8. $(2 + 3i)(2 - 3i)$ を 計算けいさんしなさい。 ($i$ は 虚数きょすう単位たんい)
9. 二に次じ方程式ほうていしき$x^2 - 4x + 13 = 0$ の解かいはどれですか？
   • ・$x = -2 \pm 3i$
   • ・$x = 2 \pm 3i$
   • ・$x = 2 \pm \sqrt{17}$
   • ・$x = 4 \pm 3i$
10. 三さん次じ方程式ほうていしき$x^3 - 7x + 6 = 0$ の整数せいすう解かいのうち最小さいしょうのものを答えこたえなさい。
11. 三さん次じ方程式ほうていしき$x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0$ の解かいのうち、 実数じっすう解かいはどれですか？
    • ・$x = 2$
    • ・$x = 1$
    • ・$x = 3$
    • ・$x = -2$
12. 二に次じ方程式ほうていしき$x^2 + px + q = 0$ ($p, q$ は実数じっすう) の解かいの性質せいしつについて 正ただしい ものをすべて選えらびなさい。
    • ・判別式はんべつしき $D = p^2 - 4q > 0$ な ら 異 な る 二 つ の 実数 解 を も つ
    • ・判別式はんべつしき $D = 0$ な ら 重解じゅうかい を も つ
    • ・判別式はんべつしき $D < 0$ な ら 異 な る 二 つ の 共役複素数きょうやくふくそすう 解 を も つ
    • ・実数 係数 で も 虚数 解 は 単独 で 現 れ る こ と が あ る
13. 2 点$\mathrm{A}(1, 2)$、 $\mathrm{B}(4, 6)$間 の 距離きょりを求もとめなさい。
    • ・$5$
    • ・$4$
    • ・$7$
    • ・$3$
14. 2 点$\mathrm{A}(2, 1)$、 $\mathrm{B}(6, 5)$ を結むすぶ線分せんぶんの 中点ちゅうてん の座標ざひょうを $(x, y)$ の形かたちで答えこたえなさい。 (例れい: $(3, 4)$)
15. 点$(1, 2)$ を 通つう り、 傾きかたむき $3$ の 直線ちょくせん の 方程式ほうていしきはどれですか？
    • ・$y = 3x + 1$
    • ・$y = 3x - 1$
    • ・$y = 3x - 5$
    • ・$y = 3x + 5$
16. 中心ちゅうしん$(2, -3)$、 半径はんけい$4$ の円えんの方程式ほうていしきを答えこたえなさい。 ($x, y$ の二に乗じょうの形かたちで。 例れい: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$)
17. 点$(3, 4)$ から直線ちょくせん$3x + 4y - 5 = 0$ までの距離きょりを求もとめなさい。
    • ・$2$
    • ・$\dfrac{14}{5}$
    • ・$4$
    • ・$5$
18. 2 直線ちょくせんの位置いち関係かんけいについて 正ただしい 記述きじゅつをすべて選えらびなさい。 (2 直線ちょくせんはいずれも $y$軸に平行へいこうでないとする)
    • ・傾 き が 等 し く 切片 が 異 な れ ば 平行
    • ・傾 き の 積 が $-1$ な ら 垂直
    • ・傾 き が 等 し く 切片 も 等 し け れ ば 一致
    • ・傾 き が 異 な れ ば 平面 上 で 交 わ ら な い
19. 不等式ふとうしき$y > 2x + 1$ が 表ひょう す 領域りょういき はどれですか？
    • ・直線 $y = 2x+1$ の 上側 (境界 を 含 む)
    • ・直線 $y = 2x+1$ の 上側 (境界 を 含 ま な い)
    • ・直線 $y = 2x+1$ の 下側 (境界 を 含 ま な い)
    • ・直線 $y = 2x+1$ の 下側 (境界 を 含 む)
20. 不等式ふとうしき$x^2 + y^2 < 9$ が表あらわす 領域りょういき は、 中心ちゅうしん$(0,0)$、 半径はんけい$3$ の円えんの内部ないぶですか外部がいぶですか？ (「内部ないぶ」 または 「外部がいぶ」 で答こたえる)
21. 点$\mathrm{A}(0, 0)$、 $\mathrm{B}(4, 0)$ について、 $\mathrm{PA} = \mathrm{PB}$ をみたす点$\mathrm{P}(x, y)$ の 軌跡きせき はどれですか？
    • ・$y = 2$
    • ・$x = 2$
    • ・$x = 4$
    • ・$y = 0$
22. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ が 表ひょう す 領域りょういき の 面積めんせきを求もとめなさい。
    • ・$8$
    • ・$4$
    • ・$12$
    • ・$16$
23. 領域りょういき$\begin{cases} x + y \le 4 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$ において、 $z = 2x + 3y$ の 最大値さいだいち を求もとめなさい。
    • ・$12$
    • ・$10$
    • ・$14$
    • ・$8$
24. 不等式ふとうしきの表あらわす 領域りょういき について 正ただしい 記述きじゅつをすべて選えらびなさい。
    • ・$y < f(x)$ は 曲線 $y = f(x)$ の 下側 を 表 す
    • ・$\le$ や $\ge$ で は 境界 線 を 含 む (実線 で 描 く)
    • ・$<$ や $>$ で は 境界 線 を 含 ま な い (破線 で 描 く)
    • ・連立 不等式 の 領域 は 各 不等式 の 領域 の 和集合わしゅうごう で あ る
25. $180^\circ$ を 弧度法こどほう で表あらわすといくつですか？
    • ・$\pi$
    • ・$\dfrac{3\pi}{2}$
    • ・$2\pi$
    • ・$\dfrac{\pi}{2}$
26. $\sin 30^\circ$ の値あたいを分数ぶんすうで答えこたえなさい。
27. $\sin(\alpha + \beta)$ の 加法定理かほうていり として正ただしいものはどれですか？
    • ・$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
    • ・$\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$
    • ・$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$
    • ・$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
28. 2 倍角の公式2 ばいかくのこうしき を使つかって $\sin 2\theta$ を $\sin\theta, \cos\theta$ で表あらわしなさい。 (式しきをそのまま入力にゅうりょく。 例れい: $2\sin\theta$)
29. $y = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ を 三角関数の合成さんかくかんすうのごうせい により $r\sin(x + \alpha)$ の形かたちに変形へんけいした時とき、 $r$ の値あたいはいくつですか？
    • ・$1$
    • ・$2$
    • ・$\sqrt{2}$
    • ・$\sqrt{3}$
30. 三角関数さんかくかんすう の性質せいしつとして 正ただしい ものをすべて選えらびなさい。
    • ・$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
    • ・$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ ($\cos\theta \ne 0$)
    • ・$\sin\theta$ の 周期 は $2\pi$ で あ る
    • ・$\tan\theta$ の 周期 は $2\pi$ で あ る
31. $2^3 \times 2^4$ を 計算けいさんしなさい。
    • ・$2^{12} = 4096$
    • ・$4^7$
    • ・$2^7 = 128$
    • ・$2^{34}$
32. $\log_2 8$ の値あたいを答えこたえなさい。
33. 指数法則しすうほうそく $a^{-n}$ ($a \ne 0$、 $n$ は正せいの整数せいすう) と等ひとしい式しきはどれですか？
    • ・$-a^n$
    • ・$a^{1/n}$
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{a^n}$
34. $\log_{10} 2 + \log_{10} 5$ の値あたいを答えこたえなさい。
35. 方程式ほうていしき$4^x = 32$ を解ときなさい。
    • ・$x = 2$
    • ・$x = 3$
    • ・$x = \dfrac{5}{2}$
    • ・$x = 5$
36. 対数たいすう について 正ただしい 性質せいしつをすべて選えらびなさい。 ($a > 0, a \ne 1$、 $M, N > 0$)
    • ・$\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
    • ・$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
    • ・$\log_a M^r = r \log_a M$
    • ・$\log_a (M + N) = \log_a M + \log_a N$
37. $f(x) = x^3$ の 導関数どうかんすう $f'(x)$ はどれですか？
    • ・$3x^2$
    • ・$3x$
    • ・$x^2$
    • ・$\dfrac{x^4}{4}$
38. $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ の 導関数どうかんすう $f'(x)$ を求もとめなさい。 (整理せいりした式しきを入力にゅうりょく。 例れい: $4x+1$)
39. $f(x) = x^2$ の $x = 3$ における 微分係数びぶんけいすう $f'(3)$ はいくつですか？
    • ・$3$
    • ・$6$
    • ・$9$
    • ・$12$
40. 曲線きょくせん$y = x^2$上の点$(2, 4)$ における 接線せっせん の傾きかたむきを求もとめなさい。
41. 曲線きょくせん$y = x^3 - 3x$上の点$(1, -2)$ における 接線せっせん の方程式ほうていしきはどれですか？
    • ・$y = -2$
    • ・$y = 3x - 5$
    • ・$y = x - 3$
    • ・$y = -2x$
42. 微分びぶん について 正ただしい 公式こうしきをすべて選えらびなさい。 ($k$ は定数ていすう)
    • ・$(x^n)' = nx^{n-1}$ ($n$ は 正 の 整数)
    • ・$\{kf(x)\}' = k f'(x)$
    • ・$\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)$
    • ・$\{f(x) \cdot g(x)\}' = f'(x) \cdot g'(x)$
43. 関数かんすう$f(x)$ が $x = a$ で 極大きょくだい となるための条件じょうけんとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$x=a$ の 前後 で $f'(x)$ が 負 か ら 正 に 変 わ る
    • ・$x=a$ で $f''(x) = 0$
    • ・$x=a$ の 前後 で $f'(x)$ が 正 か ら 負 に 変 わ る
    • ・$x=a$ で $f(x) = 0$
44. $f(x) = x^3 - 3x$ の 極大値きょくだいち を求もとめなさい。
45. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の 極小値きょくしょうち はいくつですか？
    • ・$2$
    • ・$0$
    • ・$4$
    • ・$8$
46. 区間くかん$0 \le x \le 3$ における $f(x) = x^3 - 3x^2$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$-4$
    • ・$3$
    • ・$9$
    • ・$0$
47. 周しゅうの長ながさが $20$ の長方形ちょうほうけいのうち、 面積めんせきが最大さいだいとなるものの面積めんせきはいくつですか？
    • ・$16$
    • ・$20$
    • ・$36$
    • ・$25$
48. 微分びぶん と 増減ぞうげん の関係かんけいについて 正ただしい 記述きじゅつをすべて選えらびなさい。
    • ・区間 で $f'(x) > 0$ な ら $f(x)$ は そ の 区間 で 増加
    • ・区間 で $f'(x) < 0$ な ら $f(x)$ は そ の 区間 で 減少
    • ・$f'(a) = 0$ な ら 必 ず $x = a$ で 極値きょくち を と る
    • ・極値きょくち を と る 点 で は $f'(x) = 0$ で あ る (微分可能 な 場合)
49. $\int x \, dx$ を求もとめなさい。 ($C$ は 積分定数せきぶんていすう)
    • ・$x + C$
    • ・$2x + C$
    • ・$x^2 + C$
    • ・$\dfrac{x^2}{2} + C$
50. 定積分ていせきぶん $\int_0^2 x \, dx$ の値あたいを求もとめなさい。
51. $\int (3x^2 - 2x + 1) \, dx$ を求もとめなさい。 ($C$ は 積分せきぶん定数ていすう)
    • ・$x^3 - x^2 + x + C$
    • ・$6x - 2 + C$
    • ・$x^3 - 2x^2 + x + C$
    • ・$3x^3 - 2x^2 + x + C$
52. $\int_1^3 (2x + 1) \, dx$ を求もとめなさい。
53. $\int_{-1}^{1} (x^2 - 1) \, dx$ を求もとめなさい。
    • ・$-\dfrac{2}{3}$
    • ・$-\dfrac{4}{3}$
    • ・$\dfrac{2}{3}$
    • ・$\dfrac{4}{3}$
54. 定積分ていせきぶん の性質せいしつについて 正ただしい ものをすべて選えらびなさい。
    • ・$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$
    • ・$\int_a^a f(x)dx = 0$
    • ・$\int_a^b \{f(x) + g(x)\} dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$
    • ・$\int_a^b f(x)g(x) dx = \int_a^b f(x)dx \times \int_a^b g(x)dx$
55. 曲線きょくせん$y = f(x)$ ($f(x) \ge 0$) と $x$軸、 $x = a$、 $x = b$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせき$S$ はどの式しきで求もとめられますか？
    • ・$S = f(b) - f(a)$
    • ・$S = f'(b) - f'(a)$
    • ・$S = \int_a^b f(x) \, dx$
    • ・$S = \dfrac{f(a) + f(b)}{2}$
56. 曲線きょくせん$y = x^2$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x = 2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめなさい。 (分数ぶんすう OK)
57. 曲線きょくせん$y = x^2$ と直線ちょくせん$y = 4$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめなさい。
    • ・$\dfrac{8}{3}$
    • ・$\dfrac{16}{3}$
    • ・$\dfrac{32}{3}$
    • ・$16$
58. 6分の1公式6ぶんの1こうしき (放物線ほうぶつせんと直線ちょくせんで囲かこまれた面積めんせき) として正ただしいものはどれですか？ ($\alpha < \beta$)
    • ・$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = \dfrac{(\beta-\alpha)^3}{3}$
    • ・$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = \dfrac{(\beta-\alpha)^2}{6}$
    • ・$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = 0$
    • ・$\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$
59. 2 つの曲線きょくせん$y = x^2$ と $y = -x^2 + 2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめなさい。
    • ・$\dfrac{4}{3}$
    • ・$\dfrac{16}{3}$
    • ・$4$
    • ・$\dfrac{8}{3}$
60. 曲線きょくせん$y = x^3$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x = 1$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを分数ぶんすうで答えこたえなさい。