テイラー展開 (発展)てーらーてんかい

テイラー展開てんかい（発展はってん、大学だいがく範囲はんい）は、関数かんすう$f\left(x\right)$ を $x=a$ の近ちかくで多項式たこうしき（べき級数きゅうすう）で表あらわす方法ほうほうで、$f\left(x\right)=\sum n=0\infty \frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}(x-a{)}^n$ です。

関数かんすう	マクローリン展開てんかい（$a=0$）
$e^x$	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$
$\sin x$	$x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$
$\cos x$	$1-\frac{x^2}{2!}+\cdots$

$a=0$ の特殊とくしゅな場合ばあいをマクローリン展開てんかいと呼よびます。

ポイント 高階導関数こうかいどうかんすうを使つかって関数かんすうを多項式たこうしきで近似きんじする強力きょうりょくな道具どうぐ。近似式きんじしきの 1 次じ近似きんじ$f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$ は、テイラー展開てんかいの最初さいしょの 2 項こうにあたる。