対数関数の積分たいすうかんすうのせきぶん

対数たいすう関数かんすうの積分せきぶんの公式こうしきは次つぎの通とおりです（$\log$ は自然対数しぜんたいすう）。

関数かんすう	積分せきぶん
$\log x$	$x\log x-x+C$
$\frac{1}{x}$	$\log \mid x\mid +C$

$\int \log x\hspace{0.17em}dx$ は部分積分ぶぶんせきぶん（$f=\log x, g^{\prime }=1$）で導みちびきます。$f^{\prime }=\frac{1}{x}$ なので $x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=x\log x-x+C$ です。

たとえば $\int 1e\log x\hspace{0.17em}dx$ を求もとめるなら、原始げんし関数かんすう$x\log x-x$ に上端じょうたんと下端かたんを入いれて $(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$ となります。$\log e=1$ と $\log 1=0$ を使つかうだけで、この面積めんせきが $1$ だとわかります。

ポイント $\int \frac{1}{x}\hspace{0.17em}dx=\log \mid x\mid +C$ は絶対ぜったい値ちを付つけることで でも成立せいりつする重要じゅうよう公式こうしき。$\log x$単独たんどくの積分せきぶんは $g^{\prime }=1$ と見みる部分ぶぶん積分せきぶんが定石じょうせき。