積分の平均値の定理せきぶんのへいきんちのていり

積分せきぶんの平均へいきん値ちの定理ていりとは、関数かんすう$f\left(x\right)$ が $[a,b]$ で連続れんぞくならば、$\frac{1}{b-a}\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=f\left(c\right)$ を満みたす $c$ が $(a,b)$ に少すくなくとも 1 つ存在そんざいする、という定理ていりです。

前提ぜんてい	結論けつろん
$f$ が $[a,b]$ で連続れんぞく	積分の平均値せきぶんのへいきんちに等ひとしい $f\left(c\right)$ をとる $c$ が存在そんざい

幾何きか的てきには「グラフの下したの面積めんせきと等ひとしい面積めんせきをもつ長方形ちょうほうけいの高たかさ $f\left(c\right)$ を実現じつげんする点$c$ がある」ことを意味いみします。

たとえば $f\left(x\right)=x^2$ を $[0,3]$ でみると $\int 03x^2\hspace{0.17em}dx=9$ で、区間くかんの幅$3$ で割わった平均へいきんは $3$ です。$c^2=3$ を満みたす $c=\sqrt{3}$ はおよそ $1.73$ で、たしかに $0$ と $3$ のあいだに収おさまっています。

ポイント 区分求積法くぶんきゅうせきほうと中間値の定理ちゅうかんちのていりを組み合わせくみあわせた帰結きけつ。連続れんぞく関数かんすうなら必かならず「平均へいきん値ちに一致いっちする点てん」が区間くかん内ないに存在そんざいする。