無限級数の和むげんきゅうすうのわ

無限むげん級数きゅうすうの和わ $\sum n=1\infty a_n$ は、部分和ぶぶんわ $S_n=a_1+\cdots +a_n$ の数列すうれつが $S$ に収束しゅうそくするとき、級数きゅうすうの和わを $S$ と定義ていぎします。

部分ぶぶん和わの挙動きょどう	級数きゅうすうの和わ
$\lim S_n=S$	$S$（存在そんざい）
$S_n$ が発散はっさん	和わは存在そんざいしない

最もっとも重要じゅうような例れいは等比とうひ級数きゅうすうで、 のとき和わは $\frac{a}{1-r}$ です（無限等比級数むげんとうひきゅうすう）。

たとえば 初はつ項こうも公おおやけ比ひも $\frac{1}{2}$ の等比とうひ級数きゅうすうでは、部分ぶぶん和わが $S_n=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ となり、$S_1=0.5$、$S_2=0.75$、$S_3=0.875$ と $1$ に近ちかづきます。公式こうしき$\frac{a}{1-r}$ に入いれた $\frac{1/2}{1/2}=1$ とちょうど一致いっちします。

ポイント 無限むげん級数きゅうすうの和わは「部分ぶぶん和わの極限きょくげん」として定義ていぎされる。直接ちょくせつ無限むげん個こを足たすのではなく、$S_n$ を求もとめてから $n\to \infty$ をとる。部分ぶぶん和わが発散はっさんすれば和わは存在そんざいしない。