極限値きょくげんち

極限きょくげん値ちとは、数列すうれつ$a_n$ が収束しゅうそくするときに $a_n$ が限かぎりなく近ちかづくただ一ひとつの値あたい $\alpha$ のことで、${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$ と書かきます。関数かんすうについても ${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\beta$ を極限きょくげん値ちと呼よびます。

対象たいしょう	表記ひょうき	極限きょくげん値ちの例れい
数列すうれつ	${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\alpha$	$\lim 1/n=0$
関数かんすう	${\lim }_{x\to a}f\left(x\right)=\beta$	${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

たとえば $a_n=(2n+1)/n$ は $3,2.5,2.33\dots$ と $2$ に近ちかづくので、極限きょくげん値ちは $2$ です。

ポイント 極限きょくげん値ちは一意いちいに決きまる。もし二ふたつの値あたいに近ちかづくなら矛盾むじゅんするので、収束しゅうそくする限かぎり極限きょくげん値ちは一ひとつしかない。$+\infty$ は値あたいではないので「極限きょくげん値ちが $\infty$」とは言いわず「$\infty$ に発散はっさん」と表現ひょうげんする。