極座標での面積きょくざひょうでのめんせき

極座標きょくざひょうでの面積めんせきは、極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$ と 2 本ほんの動どう径$\theta =\alpha , \theta =\beta$ で囲かこまれた領域りょういきの面積めんせきで、$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta \left\{f\right(\theta ){\}}^2\hspace{0.17em}d\theta$ で求もとめます。

公式こうしき
$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta$

これは微小びしょうな扇形おうぎがた（半径はんけい$r$・中心ちゅうしん角かく$d\theta$）の面積めんせき$\frac{1}{2}{r}^2\hspace{0.17em}d\theta$ を足たし集あつめた発想はっそうです。

たとえば $r=2$（原点げんてんを中心ちゅうしんとする半径はんけい$2$ の円えん）で $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動うごかすと、$S=\frac{1}{2}\int 02\pi 2^2\hspace{0.17em}d\theta =\frac{1}{2}\times 4\times 2\pi =4\pi$ となります。円えんの面積めんせきの公式こうしき$\pi r^2=4\pi$ と同おなじ値あたいです。

試験しけんでは 直交ちょっこう座標ざひょうでは計算けいさん困難こんなんなカージオイドかーじおいど $r=a(1+\cos \theta )$ やバラ曲線きょくせんの面積めんせきを容易よういに求もとめられる。$\frac{1}{2}$ と「$r$ の 2 乗じょう」を忘わすれないのがポイント。