定積分で表された関数ていせきぶんであらわされたかんすう

定てい積分せきぶんで表あらわされた関数かんすうとは、$F\left(x\right)=\int axf\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$ の形かたちで定義ていぎされた関数かんすうで、上端じょうたんが変数へんすう、下端かたんが定数ていすうです。

性質せいしつ	式しき	根拠こんきょ
微分びぶんすると	$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$	微分積分学の基本定理びぶんせきぶんがくのきほんていり
下端かたんを代入だいにゅう	$F\left(a\right)=0$	区間くかんの幅はばが 0

これらを使つかって元もとの関数かんすう$f$ を復元ふくげんしたり、関数かんすう方程式ほうていしきを解といたりします。

たとえば $F\left(x\right)=\int 1x(2t+3)\hspace{0.17em}dt$ を計算けいさんすると $F\left(x\right)=x^2+3x-4$ になり、微分びぶんすると $F^{\prime }\left(x\right)=2x+3$ で中身なかみがそのまま戻もどります。$x=1$ を入いれれば $1+3-4=0$ で、下端かたんを代入だいにゅうした値あたいが $0$ になることも確たしかめられます。

試験しけんでは 「$\int axf\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$ を含ふくむ等式とうしきから $f\left(x\right)$ と $a$ を求もとめよ」が定番ていばん。両辺りょうへんを $x$ で微分びぶんすれば $f\left(x\right)$ が、$x=a$ を代入だいにゅうすれば積分せきぶんが 0 になり $a$ が求もとまる。