3次関数のグラフさんじかんすうのぐらふ

3 次じ関数かんすうのグラフとは、$f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d (a\ne 0)$ のグラフです。

条件じょうけん	グラフの形かたち
$a>0$	左下ひだりしたから右みぎ上じょうへ流ながれる
	左上ひだりうえから右みぎ下かへ流ながれる
$f^{\prime }\left(x\right)=0$ が 2 解かい	極大値きょくだいちと極小値きょくしょうちを持もつ
$f^{\prime }\left(x\right)=0$ が重じゅう解かい・解かいなし	単調たんちょう関数かんすう（極値きょくちなし）

$f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2bx+c$ の判別式はんべつしきの符号ふごうで、極値きょくちを持もつかどうかが決きまります。

たとえば $y=x^3-6x^2+9x$ を考かんがえると $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ で、$x=1$ に極大きょくだい値ち$4$、$x=3$ に極小きょくしょう値ち$0$ をもちます。$x^3$ の係数けいすうが正せいなので左下ひだりしたから右みぎ上じょうへ流ながれ、極小きょくしょう値ちが $0$ なのでグラフはそこで $x$軸に接せっします。

試験しけんでは 3 次じ関数かんすうは必かならず 1 つ以上いじょうの実数じっすう解かいを持もつ（グラフが必かならず $x$軸を横切よこぎる）。方程式の実数解の個数ほうていしきのじっすうかいのこすうを、極大きょくだい値ち・極小きょくしょう値ちと $0$ の大小だいしょうで判定はんていする問題もんだいが頻出ひんしゅつ。