投影 (射影)とうえい

投影とうえい（射影しゃえい）とは、ベクトル $a⃗$ をベクトル $b⃗$ の方向ほうこうと、それに直交ちょっこうする方向ほうこうに分解ぶんかいしたときの、$b⃗$方向ほうこうの成分せいぶんのことです。$a⃗$ の影かげを $b⃗$ の上うえに落おとしたイメージです。

量りょう	式しき
射影しゃえいの長ながさ（正せい射影しゃえい）	$\frac{a⃗\cdot b⃗}{\mid b⃗\mid }$
射影しゃえいベクトル	$\frac{a⃗\cdot b⃗}{\mid b⃗{\mid }^2}b⃗$

たとえば $a⃗=(3,4), b⃗=(1,0)$ なら、$b⃗$方向ほうこう（$x$軸じく方向ほうこう）への射影しゃえいは $(3,0)$ で、$a⃗$ の $x$成分せいぶんにあたります。物理ぶつりの仕事しごと$W=F⃗\cdot s⃗$（力ちからの移動いどう方向ほうこう成分せいぶん）や、統計とうけいの最小さいしょう二に乗法じょうほうも、この射影しゃえいの考かんがえ方かたが土台どだいになっています。

ポイント 内積ないせき$a⃗\cdot b⃗=\mid a⃗\mid \mid b⃗\mid \cos \theta$ は「$a⃗$ を $b⃗$方向ほうこうに射影しゃえいした長ながさ × $\mid b⃗\mid$」と読よめる。射影しゃえいと内積ないせきはセットで理解りかいしよう。