内分点・外分点 (空間)ないぶんてんがいぶんてん

線分せんぶん$AB$ を一定いっていの比ひに分わける点てんの位置いちベクトルべくとるを、平面へいめんでも空間くうかんでも同おなじ公式こうしきで求もとめられるのが内分ないぶん点てん・外そと分ぶん点てんの便利べんりなところです。

点てん	比ひ	位置いちベクトル
内分ないぶん点てん	$m:n$	$\frac{na⃗+mb⃗}{m+n}$
外そと分ぶん点てん	$m:n$	$\frac{-na⃗+mb⃗}{m-n}$（$m\ne n$）
中点ちゅうてん	$1:1$	$\frac{a⃗+b⃗}{2}$

たとえば $A(1,0,2), B(4,3,-1)$ を $2:1$ に内分ないぶんする点てんは $\frac{1\cdot a⃗+2\cdot b⃗}{3}=(3,2,0)$ です。内分ないぶんの式しきで $n$ を $-n$ に変かえると外そと分ぶんの式しきになる、と覚おぼえると公式こうしきが 1 つで済すみます。

試験しけんでは 内分ないぶん点てん・外そと分ぶん点てんの公式こうしきを使つかった重心じゅうしんや交点こうてんの位置いちベクトルを求もとめる問題もんだいが頻出ひんしゅつ。「分母ぶんぼは比ひの和わ（外そと分ぶんは差さ）、分子ぶんしは反対はんたい側がわの比ひで重みおもみづけ」を機械きかい的てきに。