曲線の長さきょくせんのながさ

媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ$x=f\left(t\right), y=g\left(t\right)$（$\alpha \le t\le \beta$）で表あらわされる曲線きょくせんの長ながさは、次つぎの式しきで計算けいさんできます。（発展はってん）

表あらわし方かた	曲線きょくせんの長ながさ $L$
媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ	$\int \alpha \beta \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\hspace{0.17em}dt$
$y=f\left(x\right)$ の形かたち	$\int ab\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}\hspace{0.17em}dx$

これは、速度そくどベクトル $(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt})$ の大おおきさ（＝速はやさ）を時間じかんで積分せきぶんした「道みちのり」と解釈かいしゃくできます。たとえば点てんが時刻じこく$t$ で動うごくとき、各かく瞬間しゅんかんの速はやさを足たし合あわせれば走はしった距離きょりになる、という考かんがえ方かたです。サイクロイドの 1 山やまの長ながさなどがこの式しきで求もとめられます。

ポイント 「速はやさを時間じかんで積分せきぶんすると道みちのり」が長ながさの公式こうしきの意味いみ。被ひ積分せきぶん関数かんすうは速度そくどベクトルの大おおきさ、と物理ぶつり的てきにイメージしよう。