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用語集

三角形の相似条件 (複素数)さんかくけいのそうじじょうけん

△ABC∼△PQR\triangle ABC\sim\triangle PQR ⇔ c−ab−a=r−pq−p\frac{c-a}{b-a}=\frac{r-p}{q-p} (向むき 込こみ)。

数学

複素数ふくそすう平面へいめん上じょうの三角形さんかっけいの相似そうじ条件じょうけんは、頂点ちょうてんを複素数ふくそすうで表あらわしたときの「辺あたりの比ひ」を 1 つ調しらべるだけで判定はんていできます。△ABC\triangle ABC の頂点ちょうてんを α,β,γ\alpha,\beta,\gamma、△PQR\triangle PQR を p,q,rp,q,r とします。

条件じょうけん相似そうじのタイプ
γ−αβ−α=r−pq−p\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\dfrac{r-p}{q-p}同おなじ向むきの相似そうじ
γ−αβ−α=(r−pq−p)‾\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}=\overline{\left(\dfrac{r-p}{q-p}\right)}鏡かがみ映うつ（裏返うらがえし）の相似そうじ

この比γ−αβ−α\dfrac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} は、絶対ぜったい値ちが辺あたりの比ACAB\dfrac{AC}{AB}、偏へん角かくが頂いただき角かく∠BAC\angle BAC を表あらわします。つまり「辺あたりの比ひ」と「角かく」を 1 つの複素数ふくそすうにまとめて持もっているので、2 つの三角形さんかっけいでこの値ねが等ひとしければ形かたちがぴったり一致いっちするわけです。

試験しけんでは 「3 点α,β,γ\alpha,\beta,\gamma が正三角形せいさんかっけいをなす条件じょうけんを求もとめよ」などで使つかう。比ひの値ねが等ひとしい＝相似そうじ、という言い換いかえを覚おぼえておくと証明しょうめいが一気いっきに短みじかくなる。