媒介変数表示での面積ばいかいへんすうひょうじでのめんせき

媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ$x=f\left(t\right), y=g\left(t\right)$ で閉曲線へいきょくせんが囲かこむ面積めんせきは、次つぎの公式こうしき（グリーンの定理ていりから導みちびかれる）で求もとめられます。

公式こうしき	式しき
一般いっぱん形がた	$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta (x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt})dt$
楕円だえんの面積めんせき	$\pi ab$
サイクロイドさいくろいど1 山やまと $x$軸	$3\pi a^2$

たとえば楕円だえん$x=a\cos t, y=b\sin t$ にこの公式こうしきを当あてはめると、面積めんせき$\pi ab$ が得えられます。$x=y$ で表あらわしにくい複雑ふくざつな閉曲線へいきょくせんでも、媒介ばいかい変数へんすうのまま面積めんせきを計算けいさんできるのが大おおきな利点りてんです。

試験しけんでは サイクロイドや楕円だえんが囲かこむ面積めんせきを媒介ばいかい変数へんすうのまま求もとめる問題もんだいが頻出ひんしゅつ。$\frac{1}{2}\int (x\hspace{0.17em}dy-y\hspace{0.17em}dx)$ の形かたちを覚おぼえておくと、置換ちかんせずに一気いっきに計算けいさんできる。