極座標の面積きょくざひょうのめんせき

極座標きょくざひょうの面積めんせき公式こうしきは、極ごく方程式ほうていしき$r=f\left(\theta \right)$ と 2 本ほんの半はん直線ちょくせん$\theta =\alpha ,\theta =\beta$ で囲かこまれた扇形おうぎがた状じょうの領域りょういきの面積めんせきを $S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta$ で求もとめる式しきです。

図形ずけい	面積めんせき
円$r=a$	$\pi a^2$
カージオイドかーじおいど $r=a(1+\cos \theta )$	$\frac{3}{2}\pi a^2$

微小びしょうな扇形おうぎがたの面積めんせき$\frac{1}{2}{r}^2\hspace{0.17em}d\theta$ を $\alpha$ から $\beta$ まで積つみ重かさねたもの、と解釈かいしゃくできます。たとえば $r=a$ を $0$ から $2\pi$ まで積分せきぶんすると $\frac{1}{2}{a}^2\cdot 2\pi =\pi a^2$ と、円えんの面積めんせきが得えられます。

試験しけんでは カージオイドやバラ曲線きょくせんの囲かこむ面積めんせきを求もとめる定番ていばん問題もんだい。積分せきぶん区間くかん（$\theta$ の範囲はんい）の取とり方かたを間違まちがえないことが鍵かぎ。