重心 (ベクトル)じゅうしん

三角形さんかくけい$ABC$ の重心じゅうしん$G$ の位置いちベクトルべくとるは、3 頂点ちょうてんの位置いちベクトルの平均へいきん$g⃗=\frac{a⃗+b⃗+c⃗}{3}$ で与あたえられます。

図形ずけい	重心じゅうしんの位置いちベクトル
三角形さんかくけい ABC	$\frac{a⃗+b⃗+c⃗}{3}$
$n$個の点てん	$\frac{1}{n}(a_1⃗+\cdots +a_n⃗)$

この式しきは、重心じゅうしんが各かく中ちゅう線せん（頂点ちょうてんと対辺たいへんの中点ちゅうてんを結むすぶ線分せんぶん）を頂点ちょうてん側がわから $2:1$ に内分ないぶんするという性質せいしつとも一致いっちします。たとえば $A(0,0),B(6,0),C(0,3)$ なら重心じゅうしんは $\frac{1}{3}(6,3)=(2,1)$ です。物理ぶつりの質量しつりょう中心ちゅうしん（重おもさの釣つり合あう点てん）も、まったく同おなじ平均へいきんの考かんがえ方かたで求もとめられます。

試験しけんでは 「重心じゅうしんの位置いちベクトルを $a⃗,b⃗,c⃗$ で表あらわせ」や、重心じゅうしんが中ちゅう線せんを $2:1$ に分わける証明しょうめいが定番ていばん。3 点てんの平均へいきん、と覚おぼえれば即答そくとうできる。