原始n乗根げんしえぬじょうこん

原始げんし$n$乗の根ねとは、$z^n=1$ の解かい（1 の n 乗根1 の n じょうね）のうち、${\omega }^n=1$ を満みたし、かつ $n$ より小ちいさい正せいの整数せいすう$k$ では ${\omega }^k\ne 1$ となる複素数ふくそすう$\omega$ のことです。1 つの原始げんし根ねを累乗るいじょうするだけで、残のこりの $n$乗の根ねをすべて生うみ出だせます。

$n$	原始げんし$n$乗の根ねの例れい	性質せいしつ
2	$-1$	$(-1{)}^2=1$、$(-1{)}^1\ne 1$
3	$\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$	$\omega ,{\omega }^2$ で全ぜん解かい
4	$i$	$i,i^2,i^3,i^4$ で全ぜん解かい

たとえば $n=3$ では $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$ を 1 回かい・2 回かい・3 回かいと累乗るいじょうすると $\omega ,{\omega }^2,{\omega }^3=1$ となり、単位たんい円上えんじょうの正三角形せいさんかっけいの 3 頂点ちょうてんがちょうど出でそろいます。代表だいひょうの原始げんし根ねは $\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ です。

ポイント 原始げんし根ねは「単位たんい円えんを $n$等分とうぶんする点てんを 1 つの数かずの累乗るいじょうで全部ぜんぶ作つくる種たね」。大学だいがくの群論ぐんろんでは巡回じゅんかい群ぐんの生成せいせい元もとの概念がいねんに直結ちょっけつする。