複素数による回転ふくそすうによるかいてん

複素数ふくそすうによる回転かいてんとは、複素数ふくそすうを掛かけることで複素数ふくそすう平面へいめん上じょうの点てんを回まわす操作そうさです。原点げんてんまわりに角$\theta$回まわす回転かいてんは $z\mapsto (\cos \theta +i\sin \theta )z$、中心ちゅうしん$\alpha$ まわりの回転かいてんは $z\mapsto \alpha +(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$ と1 行くだりで書かけます。

回転かいてんの中心ちゅうしん	式しき	ポイント
原点げんてん	$z^{\prime }=(\cos \theta +i\sin \theta )z$	絶対ぜったい値ち 1 の数かずを掛かける
点$\alpha$	$z^{\prime }=\alpha +(z-\alpha )(\cos \theta +i\sin \theta )$	「ずらして回まわして戻もどす」

たとえば点$z=2$ を原点げんてんまわりに $90°$回まわすには $i$ を掛かけて $iz=2i$ となり、確たしかに虚うろ軸じく上じょうへ移うつります。同おなじ操作そうさを回転かいてん行列ぎょうれつ でも表あらわせますが、複素数ふくそすうなら平行へいこう移動いどうとの合成ごうせいも 1 つの式しきにまとまります。

試験しけんでは 「点$z$ を点$\alpha$ のまわりに $\frac{\pi }{3}$回まわした点てんを求もとめよ」が定番ていばん。中心ちゅうしんを引ひいて回まわして足たし戻もどす、の手順てじゅんを機械きかい的てきに使つかえるようにしておこう。