円の方程式 (複素数平面)えんのほうていしき

複素数ふくそすう平面へいめんでの円えんの方程式ほうていしきは、中心ちゅうしん$\alpha$、半径はんけい$r$ の円えんを $\mid z-\alpha \mid =r$ とたった 1 行くだりで書かけます。「$\alpha$ からの距離きょりが $r$ で一定いってい」という円えんの定義ていぎがそのまま式しきになっています。

図形ずけい	複素数ふくそすうでの表あらわし方かた
中心ちゅうしん$\alpha$・半径はんけい$r$ の円えん	$\mid z-\alpha \mid =r$
アポロニウスの円えん	$\mid z-\alpha \mid =k\mid z-\beta \mid$（$k\ne 1$）
2 点てんを結むすぶ直線ちょくせん	$\arg \frac{z-\alpha }{z-\beta }=0$ または $\pi$

たとえば中心ちゅうしん$1+2i$、半径はんけい 3 の円えんは $\mid z-(1+2i)\mid =3$ です。直交ちょっこう座標ざひょうの $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=9$ より短みじかく、図形ずけい的てきな意味いみも読よみ取とりやすくなります。

試験しけんでは $\mid z-\alpha \mid =k\mid z-\beta \mid$ の形かたちが「円まどか直線ちょくせんか」を判定はんていさせる問題もんだいが定番ていばん。$k=1$ なら直線ちょくせん（垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん）、$k\ne 1$ ならアポロニウスの円えんになる。