∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2k=1∑nk3={2n(n+1)}2。
立方りっぽうの和わの公式こうしきは ∑k=1nk3=13+23+⋯+n3={n(n+1)2}2\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2k=1∑nk3=13+23+⋯+n3={2n(n+1)}2 です。
右辺うへんはΣkの公式しぐまけーのこうしきの値あたいをそのまま 2 乗じょうした形かたちになっており、∑k3=(∑k)2\displaystyle\sum k^3 = \left(\sum k\right)^2∑k3=(∑k)2 という美うつくしい関係かんけいが成なり立たちます。たとえば 13+23+33=36=62=(1+2+3)21^3 + 2^3 + 3^3 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^213+23+33=36=62=(1+2+3)2 です。
覚おぼえ方かた 「立方りっぽうの和わは、和わの 2 乗じょう」と覚おぼえるとよい。∑k\sum k∑k の値あたいを出だしてから 2 乗じょうするだけなので、公式こうしきを別個べっこに暗記あんきする必要ひつようはない。
