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用語集

Σk²の公式しぐまけーじじょうのこうしき

∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}。

数学

平方へいほうの和わの公式こうしきは ∑k=1nk2=12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} です。

nn∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} k^2計算けいさん
3314143⋅4⋅76\dfrac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6}
5555555⋅6⋅116\dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6}

分母ぶんぼが 66、分子ぶんしに (2n+1)(2n+1) が入はいるのが特徴とくちょうです。この公式こうしきは数学的帰納法すうがくてききのうほうで証明しょうめいできます。たとえば ∑k=15k2=5⋅6⋅116=55\displaystyle\sum_{k=1}^{5} k^2 = \dfrac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 55 となります。

試験しけんでは ∑(k2+3k)\displaystyle\sum (k^2 + 3k) のように複数ふくすうの公式こうしきを組くみ合あわせる問題もんだいが頻出ひんしゅつ。Σの線形性Σのせんけいせいで ∑k2+3∑k\sum k^2 + 3\sum k に分わけてから、それぞれの公式こうしきを当あてはめる。