期待値の線形性きたいちのせんけいせい

期待きたい値ちの線形せんけい性せいとは、任意にんいの確率変数かくりつへんすう $X,Y$ と定数ていすう$a,b,c$ について $E(aX+bY+c)=aE\left(X\right)+bE\left(Y\right)+c$ が成なり立たつことです。

性質せいしつ	式しき	独立どくりつが必要ひつようか
定数ていすう倍ばい・和わ	$E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$	不要ふよう
和わの期待きたい値ち	$E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$	不要ふよう
積せきの期待きたい値ち	$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$	独立どくりつなら成立せいりつ

$X$ と $Y$ が独立な確率変数どくりつなかくりつへんすうでなくても和わの期待きたい値ちが成なり立たつのが強力きょうりょくな点てんで、複雑ふくざつな確率かくりつ変数へんすうを単純たんじゅんな和わに分解ぶんかいして計算けいさんできます。二項分布にこうぶんぷの期待きたい値ち$np$ もこの性質せいしつで簡単かんたんに導みちびけます。

ポイント 「和わの期待きたい値ちは独立どくりつでなくても成なり立たつ」が決きめ手て。一方いっぽう、分散ぶんさんの加法かほう性せいや積せきの期待きたい値ちは独立どくりつ性せいが必要ひつようなので、期待きたい値ちだけは別格べっかくに扱あつかいやすいと覚おぼえておこう。