帰納の基底きのうのきてい

帰納きのうの基底きてい（base case）とは、数学的帰納法すうがくてききのうほうの第だい 1 段階だんかいで、出発しゅっぱつ点てんとなる $n=1$（場合ばあいにより別べつの値あたい）で命題めいだい$P\left(1\right)$ が成なり立たつことを直接ちょくせつ示しめすステップです。

帰納きのう法ほうの 2 段階だんかい	役割やくわり
帰納きのうの基底きてい	最初さいしょの 1 個こ（$P\left(1\right)$）を確認かくにんする
帰納のステップきのうのすてっぷ	$P\left(k\right)\to P(k+1)$ を示しめす

ドミノ倒たおしの喩たとえでいえば「最初さいしょのドミノを倒たおす」部分ぶぶんにあたります。最初さいしょの 1 枚まいが倒たおれなければ、いくら「次々つぎつぎ倒たおれる」仕組しくみがあってもドミノは始はじまりません。

たとえば $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ を証明しょうめいするときは、まず $n=1$ を入いれて左辺さへんが $1$、右辺うへんも $\frac{1\times 2}{2}=1$ で等ひとしいことを確たしかめます。ここが基底きていで、この 1 行くだりを書かき忘わすれると、あとのステップがすべて宙ちゅうに浮ういてしまいます。

注意ちゅうい 基底きていの確認かくにんを $n=1$ で省略しょうりゃくすると証明しょうめい全体ぜんたいが無効むこうになる。問題もんだいによっては $n=2$ や $n=3$ から始はじめることもあるので、命題めいだいが成なり立たつ最小さいしょうの $n$ を出発しゅっぱつ点てんにする。