不動点ふどうてん

不動点ふどうてんとは、漸化式ぜんかしき $a_{n+1}=p{a}_n+q$ で「その値あたいを代入だいにゅうしても次つぎの項こうが同おなじ値あたいになる」点てん、すなわち $\alpha =p\alpha +q$ を満みたす $\alpha$ のことです。これは特性方程式とくせいほうていしきの解かいそのものです。

用語ようご	内容ないよう
不動点ふどうてん$\alpha$	$\alpha =p\alpha +q$ の解$\alpha =\frac{q}{1-p}$
ずらし	$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$
帰着きちゃく先さき	$\{a_n-\alpha \}$ が公おおやけ比ひ$p$ の等比数列とうひすうれつ

もし最初さいしょから $a_1=\alpha$ だったら、以後いごすべての項こうが $\alpha$ のまま動うごきません。だから「不動ふどう（動うごかない）点てん」と呼よびます。一般いっぱん項こうを求もとめるときは、この $\alpha$ を全ぜん項こうから引ひいて等比とうひ数列すうれつに変かえるのが核心かくしんです。

ポイント 「不動点ふどうてんをさがして、そこからのずれ $a_n-\alpha$ を考かんがえる」のが $a_{n+1}=p{a}_n+q$型の必勝ひっしょう法ほう。$\alpha$ は特性とくせい方程式ほうていしきを解とくだけで求もとまる。