独立な確率変数どくりつなかくりつへんすう

確率変数かくりつへんすう $X,Y$ が独立どくりつであるとは、任意にんいの値$x,y$ について「$X=x$ かつ $Y=y$」の確率かくりつが、それぞれの確率かくりつの積せきに等ひとしい、すなわち $P(X=x, Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$ が成なり立たつことです。

性質せいしつ	独立どくりつなときの式しき
積せきの期待きたい値ち	$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$
和わの分散ぶんさん	$V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)$

独立どくりつとは「一方いっぽうの結果けっかがもう一方いっぽうに影響えいきょうしない」ことです。たとえば 2 個このサイコロの出でる目めは独立どくりつで、上うえの式しきがそのまま使つかえるため計算けいさんが大幅おおはばに簡単かんたんになります。

注意ちゅうい $E(X+Y)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)$ は独立どくりつでなくても成なり立たつが、$E\left(XY\right)=E\left(X\right)E\left(Y\right)$ と $V(X+Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)$ は独立どくりつが前提ぜんてい。どの式しきに独立どくりつが必要ひつようかを区別くべつしておこう。